青岛版八年级上册数学《什么是几何证明》
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条直线被第三条直线所截，如果同位角相
等，那么两直线平行”这句话是（ D ）．
A．假命题
C．定理
B．定义
D．基本事实
18
2 ．如图，直线 a ， b 相交，∠ 1 ＝ 55 °，则
∠2＝____ 55 °，推理的依据是_____________ 对顶角相等 ．
1 2
b
19
a
3 ．阅读并理解下列各题的证明过程，并在每步后的
括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，B，C是线段AD上的两点，且AB＝CD．
求证：AC＝BD． A B C D
证明：∵AB＝CD（ 已知 ），
∴AB＋BC＝CD＋BC（ 等式的性质 ），
∴AC＝BD（ 线段和的定义 ）．
20
4．阅读并理解下列各题的证明过程，并在每步后 的括号内填写该步推理的依据． 已知：如图，∠ ABC ＝∠ A'B'C' ， BD 和 B'D' 分别 是∠ABC和∠A'B'C'的平分线． 求证：∠1＝∠2． C D C'
11
思考：∠AOD＝∠BOC吗？你能试着证明一下吗？
已知：如图，∠AOD和∠BOC是对顶角．
求证：∠AOD＝∠BOC．
D A O B
C
12
证明：∵∠AOD和∠BOC是对顶角（已知）， ∴∠AOD＋∠AOC＝180°， ∠AOC＋∠BOC＝180°（平角的定义）． ∴∠AOD＋∠AOC＝∠AOC＋∠BOC（等量代换）． ∴∠AOD＝∠BOC（等式的基本性质）． D A O
2
A
A'
22
5．求证：同角的补角相等． 已知：∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°． 求证：∠2＝∠3．
证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°（已知），
∴∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠1（等式的性质）．
∴∠2＝∠3（等量代换）．
23
1．基本事实：
公认为正确的命题叫做基本事实．
限地追根溯源．因此必定存在某些原始的命题，在它们的前
面不再有已证实的命题．这种不加证明而承认其真实性的命
题，称之为“基本事实．
5
从已经了解的数学命题中，挑选出一部分人们通过长
期实践总结出来，被大家所公认的命题作为基本事实，用
基本事实作为证实所有其他几何命题的起始依据．
6
2．基本事实： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （ 4 ）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么两直线平行；
3
（ 3 ）如图， AB//CD ，则∠ 1 ＝∠ 2 ，但∠ 1
与∠2不是对顶角．
E A C F （6）2是质数，但不是奇数．
4
2 1
B D
探究一：基本事实
思考：怎样运用推理的方法证实一个命题是真命题呢？
1．为什么要规定基本事实？
真命题的证明根据必须是以前证明的命题，而已证明的
命题依据是更前面的已证实的命题，……这个过程不可能无
1
什么是几何证明
下列句子哪些是命题？如果是命题，请指出命题的真假．
（1）同角的余角相等；
（2）在直线AB上任取一点C；
（3）相等的角是对顶角；
（4）全等的两个三角形的面积相等；
（5）不相交的两条直线叫做平行线；
（6）所有的质数都是奇数．
答：命题有：（ 1 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 6 ）；真命题有（ 1 ） （4）；假命题有（3）（6）．
7
2．基本事实： （5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； （8）三边分别相等的两个三角形全等．
8
说明：等式的基本性质和不等式的基本性质都可以看 作基本事实，讲解“等量代换”的含义． 用符号表示就是：“如果a＝b，b＝c，那么a＝c”， “如果a＞b，b＝c，那么a＞c”．我们把它们也作为基本 事实，称为“等量代换”． 除上述基本事实外，以前所学过的以及今后要学到的 其他几何命题，都需要由基本事实、定义、已证实的结论 及已知条件出发，通过逻辑推理的方法加以证实．推理的 过程叫作证明．
24
2．8大基本事实：
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（ 4 ）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么两直线平行；
25
2．8大基本事实： （5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； （8）三边分别相等的两个三角形全等．
15
例1．求证：同角的余角相等． 已知：如图5-3，∠1与∠α互余，∠2与∠α互余． 求证：∠1＝∠2．
2
α
1 图5-3
16
证明：∵∠1与∠α互余（已知）， ∴∠1＋∠α＝90°（余角的定义）． ∴∠1＝90°－∠α（等式的基本性质）． 又∵∠2与∠α互余（已知）， ∴∠2＋∠α＝90°（余角的定义）． ∴∠2＝90°－∠α（等式的基本性质）． ∴∠1＝∠2（等量代换）．
9
3．思考：怎样证明命题“如果两个角是对顶角，那么 这两个角相等”的真实性呢？ 已知：如图，∠AOC和∠BOD是对顶角． 求证：∠AOC＝∠BOD． D A
O
B C
10
证明：∵∠AOC和∠BOD是对顶角（已知）， ∴∠AOC＋∠AOD＝180°， ∠AOD＋∠BOD＝180°（平角的定义）． ∴∠AOC＋∠AOD＝∠AOD＋∠BOD（等量代换）． ∴∠AOC＝∠BOD（等式的基本性质）． D A O B C
D' B'
2
B
1
A
A'
21
证明：∵∠ABC＝∠A'B'C'（ 已知 ）， 1 1 ∴ ∠ABC＝ ∠A'B'C'（ 等式的性质 ）， 2 2 1 ∵∠1＝ ∠ABC（角平分线的定义）， 1 2 ∠2＝ ∠A'B'C'（ 角平分线定义 ）， 2 ∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）． C' C D B
1
D' B'
B
13
C
思考：你能用简单的文字语言来叙述上面的定理吗？
14
探究二：几何证明的步骤
回顾并分析上面定理的证明过程，包括了哪几个步骤？
你认为今后在定理证明的书写格式上有哪些应当注意的问题？
（1）根据题意，画出图形；
（2）结合图形，根据条件、结论，写出已知、求证；
（3）找出由已知推出求证的途径，写出“证明”．
等，那么两直线平行”这句话是（ D ）．
A．假命题
C．定理
B．定义
D．基本事实
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2 ．如图，直线 a ， b 相交，∠ 1 ＝ 55 °，则
∠2＝____ 55 °，推理的依据是_____________ 对顶角相等 ．
1 2
b
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a
3 ．阅读并理解下列各题的证明过程，并在每步后的
括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，B，C是线段AD上的两点，且AB＝CD．
求证：AC＝BD． A B C D
证明：∵AB＝CD（ 已知 ），
∴AB＋BC＝CD＋BC（ 等式的性质 ），
∴AC＝BD（ 线段和的定义 ）．
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4．阅读并理解下列各题的证明过程，并在每步后 的括号内填写该步推理的依据． 已知：如图，∠ ABC ＝∠ A'B'C' ， BD 和 B'D' 分别 是∠ABC和∠A'B'C'的平分线． 求证：∠1＝∠2． C D C'
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思考：∠AOD＝∠BOC吗？你能试着证明一下吗？
已知：如图，∠AOD和∠BOC是对顶角．
求证：∠AOD＝∠BOC．
D A O B
C
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证明：∵∠AOD和∠BOC是对顶角（已知）， ∴∠AOD＋∠AOC＝180°， ∠AOC＋∠BOC＝180°（平角的定义）． ∴∠AOD＋∠AOC＝∠AOC＋∠BOC（等量代换）． ∴∠AOD＝∠BOC（等式的基本性质）． D A O
2
A
A'
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5．求证：同角的补角相等． 已知：∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°． 求证：∠2＝∠3．
证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°（已知），
∴∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠1（等式的性质）．
∴∠2＝∠3（等量代换）．
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1．基本事实：
公认为正确的命题叫做基本事实．
限地追根溯源．因此必定存在某些原始的命题，在它们的前
面不再有已证实的命题．这种不加证明而承认其真实性的命
题，称之为“基本事实．
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从已经了解的数学命题中，挑选出一部分人们通过长
期实践总结出来，被大家所公认的命题作为基本事实，用
基本事实作为证实所有其他几何命题的起始依据．
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2．基本事实： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （ 4 ）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么两直线平行；
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（ 3 ）如图， AB//CD ，则∠ 1 ＝∠ 2 ，但∠ 1
与∠2不是对顶角．
E A C F （6）2是质数，但不是奇数．
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B D
探究一：基本事实
思考：怎样运用推理的方法证实一个命题是真命题呢？
1．为什么要规定基本事实？
真命题的证明根据必须是以前证明的命题，而已证明的
命题依据是更前面的已证实的命题，……这个过程不可能无
1
什么是几何证明
下列句子哪些是命题？如果是命题，请指出命题的真假．
（1）同角的余角相等；
（2）在直线AB上任取一点C；
（3）相等的角是对顶角；
（4）全等的两个三角形的面积相等；
（5）不相交的两条直线叫做平行线；
（6）所有的质数都是奇数．
答：命题有：（ 1 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 6 ）；真命题有（ 1 ） （4）；假命题有（3）（6）．
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2．基本事实： （5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； （8）三边分别相等的两个三角形全等．
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说明：等式的基本性质和不等式的基本性质都可以看 作基本事实，讲解“等量代换”的含义． 用符号表示就是：“如果a＝b，b＝c，那么a＝c”， “如果a＞b，b＝c，那么a＞c”．我们把它们也作为基本 事实，称为“等量代换”． 除上述基本事实外，以前所学过的以及今后要学到的 其他几何命题，都需要由基本事实、定义、已证实的结论 及已知条件出发，通过逻辑推理的方法加以证实．推理的 过程叫作证明．
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2．8大基本事实：
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（ 4 ）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么两直线平行；
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2．8大基本事实： （5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； （8）三边分别相等的两个三角形全等．
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例1．求证：同角的余角相等． 已知：如图5-3，∠1与∠α互余，∠2与∠α互余． 求证：∠1＝∠2．
2
α
1 图5-3
16
证明：∵∠1与∠α互余（已知）， ∴∠1＋∠α＝90°（余角的定义）． ∴∠1＝90°－∠α（等式的基本性质）． 又∵∠2与∠α互余（已知）， ∴∠2＋∠α＝90°（余角的定义）． ∴∠2＝90°－∠α（等式的基本性质）． ∴∠1＝∠2（等量代换）．
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3．思考：怎样证明命题“如果两个角是对顶角，那么 这两个角相等”的真实性呢？ 已知：如图，∠AOC和∠BOD是对顶角． 求证：∠AOC＝∠BOD． D A
O
B C
10
证明：∵∠AOC和∠BOD是对顶角（已知）， ∴∠AOC＋∠AOD＝180°， ∠AOD＋∠BOD＝180°（平角的定义）． ∴∠AOC＋∠AOD＝∠AOD＋∠BOD（等量代换）． ∴∠AOC＝∠BOD（等式的基本性质）． D A O B C
D' B'
2
B
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A
A'
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证明：∵∠ABC＝∠A'B'C'（ 已知 ）， 1 1 ∴ ∠ABC＝ ∠A'B'C'（ 等式的性质 ）， 2 2 1 ∵∠1＝ ∠ABC（角平分线的定义）， 1 2 ∠2＝ ∠A'B'C'（ 角平分线定义 ）， 2 ∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）． C' C D B
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D' B'
B
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C
思考：你能用简单的文字语言来叙述上面的定理吗？
14
探究二：几何证明的步骤
回顾并分析上面定理的证明过程，包括了哪几个步骤？
你认为今后在定理证明的书写格式上有哪些应当注意的问题？
（1）根据题意，画出图形；
（2）结合图形，根据条件、结论，写出已知、求证；
（3）找出由已知推出求证的途径，写出“证明”．