人教A版选修4-5 第2讲 3 反证法与放缩法 作业

第二讲 三 第8课时 反证法与放缩法
提能达标过关
一、选择题
1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1
D ．x 0≠1
解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．
②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾． 综合①②知，x 0＝1. 答案：B
2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 2
2 B ．ab ≤
a 2＋
b 2
2≤1 C ．1<ab <
a 2＋
b 2
2
D ．ab <1<
a 2＋
b 2
2
解析：由不等式 a 2＋b 22
≥
a ＋
b 2
≥ab ，得
a 2＋
b 22
≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<
a 2＋
b 2
2
.
答案：D
3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：
a ＋1
b ，b ＋1
c ，c ＋1
a
的值( )
A ．都大于2
B ．至少有一个不大于2
C ．都小于2
D ．至少有一个不小于2 解析：假设3个数：a ＋1
b <2，b ＋1
c <2，c ＋1
a <2，则⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6， ∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝
⎛
⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫b ＋1b
＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：
a ＋1
b ，b ＋1
c ，c ＋1
a
中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D
4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，
c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
解析：因为结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”，可得题设为a ，b ，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.
答案：B
5．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋
b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：对于①，a ，b 均可以小于1；对于②，a ，b 均可以等于1；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2，这与③矛盾，则a ，b 中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a ，b 可以是负数．
答案：A 二、填空题
6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝
∠B ＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.
答案：③①② 7．已知M ＝1210＋1210
＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1
，则M 与1的大小关系是________．
解析：M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210
2
10＝1，即
M <1.
答案：M <1
8．若a >0，则a ＋1
a
＋
a 2＋1
a 2的最小值为________．
解析：∵a >0，∴a ＋1a
＋
a 2
＋1
a
2≥2
a ·1
a
＋2a ·1
a
＝2＋2，当且仅
当a ＝1时取等号．
答案：2＋ 2 三、解答题
9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋x
y <4
与2＋y
x
<4中至少有一个成立．
证明：假设2＋x
y <4和
2＋y
x
<4都不成立，
即2＋x
y
≥4和
2＋y
x
≥4同时成立．
因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ， 两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，
所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >4
3
相矛盾，
所以
2＋x
y
<4与
2＋y
x
＜4中至少有一个成立．
10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，
S 3＝9＋3 2.
(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n
n
(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2＋1，
3a 1＋3d ＝9＋32，
解得d ＝2，
∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．
(2)证明：由(1)知b n ＝S n
n
＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，
即(q ＋2)2
＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨
⎧
q 2
－pr ＝0，2q －p －r ＝0，
∴⎝
⎛⎭⎪⎫p ＋r 22
＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，
故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。