2015年高考数学总复习精品课件：第4章 第1讲 导数的意义及运算

∴cosx＝－12.∵x∈(0，π)，∴x＝23π.
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考点 3 曲线的几何意义
例 3：(2012 年辽宁)已知 P，Q 为抛物线 x2＝2y 上的两点，
点 P，Q 的横坐标分别为 4，－2，过点 P，Q 分别作抛物线的
切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为(
f′(x)＝____－__s_in_x__ f′(x)＝_____a_xl_n_a__ f′(x)＝______e_x___
1 f′(x)＝_____x_l_n_a__
1 f′(x)＝_______x___
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4.导数的运算法则
[f(x)±g(x)]′＝________f′_(x_)_±_g_′_(x_)_______； [f(x)·g(x)]′＝_______f′_(x_)_g_(_x_)＋__g_′_(_x_)f_(x_)_____；
3．几种常见函数的导数
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q* )
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
f(x)＝lnx
导函数 f′(x)＝______0____ f′(x)＝_____n_x_n－__1 _ f′(x)＝_____c_o_s_x__
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(2)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0，13x30＋43，则切线的斜率 k＝y′|x＝x0＝x20. ∴切线方程为 y－13x30＋43＝x20(x－x0)， 即 y＝x20·x－23x30＋43. ∵点 P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，
则曲线 y＝f(x)上切点处的切线斜率 k≥－1.
又∵k＝tanα，结合正切函数的图象，可得α∈ 故 tanα的取值范围为[－1,0)．
,
3π 4
,
π
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易错、易混、易漏
⊙过点求切线方程应注意该点是否为切点
例题：已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
(3) lim x0
fx0＋2ΔxΔ－x fx0＋Δx；
(4) lim x0
fx0＋Δx－Δxfx0－2Δx.
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)
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解析：(1) lim x0
fx0－fx0－2Δx 2Δx
＝ lim 2x0
【方法与技巧】(1)求函数的导数要准确地把函数分割为基 本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导
数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣 求导法则，联系基本函数求导公式．求导之前，应利用代数、
三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少 运算量，提高运算速度，减少差错； (2)第(2)小题给我们的启 示是：求含有多个字母的函数的导数时，一定要清楚该函数的
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(4) lim x0
fx0＋Δx－fx0－2Δx Δx
＝3 lim 3x0
fx0－2Δx＋33ΔΔxx－fx0－2Δx＝3f′(x0).
所以(1)(3)正确，故选 B. 答案：B 【方法与技巧】本题需直接变换出导数的定义式
lim
k 0
fx0＋k－fx0
k
＝f′(x0).其中k(一般用Δx
第四章 导 数
第1讲 导数的意义及运算
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考纲要求
考情风向标
从近两年的试题来看，求导公式和法
则，以及导数的几何意义是高考的热
1.了解导数概念的实际背景． 点，题型有选择题、填空题，也有解
2.理解导数的几何意义．
答题，难度适中，主要考查导数的概
3.能根据导数定义，求函数 y＝ 念及其运算．
fx0－2Δx＋22ΔΔxx－fx0－2Δx＝f′(x0)；
(2) lim x0
fx0＋Δx－fx0－Δx Δx
＝2 lim 2x0
fx0－Δx＋22ΔΔxx－fx0－Δx＝2f′(x0)；
(3) lim x0
fx0＋2Δx－fx0＋Δx Δx
＝ lim x0
fx0＋Δx＋ΔΔxx－fx0＋Δx＝f′(x0)；
f′xgx－g′xfx
[gfxx ]′＝______________[_g_x__]2__________[g(x)≠0]．
5．复合函数的求导法则
f′[φ(x)]＝____f_′(u_)_φ_′(_x_) __或______y_′_x＝__y_′_u·_u_′x____．
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表示)可正可负，定
义式的关键是一定要保证分子与分母中 k 的一致性.
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【互动探究】
1.若
f′(x0)＝2，则lim k 0
fx0－k2k－fx0＝(源自A)A.－1B.－2
C.－1
1
D. 2
解析：∵f′(x0)＝lim k 0
f[x0＋－－kk]－fx0＝2，
∴lim k 0
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即 x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0. ∴x20 (x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0. ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求的切线方程为 x－y＋2＝0 或 4x－y－4＝0. 【失误与防范】(1)通过此题的学习，要彻底改变“切线与 曲线有且只有一个公共点” “直线与曲线只有一个公共点，则 该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y＝1 与 y＝sinx 相 切，却有无数个公共点”，而“直线 x＝1 与 y＝x2 只有一个公
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4．物体的运动方程是s＝－ t13＋2t2－5，则物体在t＝3时 3
的瞬时速度为____3___，加速度为_____－__2_. 5．已知函数 f(x)＝xex，则 f′(x)＝____(_x_＋__1；)ex函数 f(x)的图
象在点(0，f(0))处的切线方程为_____y_＝_.x 解析：∵f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，∴f′(0)＝1，f(0)＝0，
共点，显然直线 x＝1 不是切线”．
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答案：C 【方法与技巧】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从 而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，利用点斜式写出切线
方程，然后求两直线的交点．
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【互动探究】 3．(2014 年广东广州调研)已知点 P 在曲线 y＝ex＋4 1上， α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 tanα的取值范围是______．[－1,0) 解析：根据题意，得 f′(x)＝－e2x＋42eexx＋1， ∵k＝－ex＋4e1x＋2≥－2＋4 2＝－1，且 k<0.
)
A．1
B．3
C．－4
D．－8
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解析：∵点 P，Q 的横坐标分别为 4，－2，代人抛物线方 程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由x2＝2y，则y1＝ x2，∴y′＝x，
2 ∴过点 P，Q 的抛物线的切线斜率分别为 4，－2，∴过点 P， Q 的抛物线的切线方程分别为 y＝4x－8，y＝－2x－2，联立方 程组解得 x＝1，y＝－4，故点 A 的纵坐标为－4.
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1.函数导数的定义
一般地，函数 y＝f(x)在
x＝x0 处的瞬时变化率是 lim x0
ΔΔxy＝
lim
x0
fx0＋ΔΔxx－fx0，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，
记作
f′(x0)或
y′
x x0
，即
f′(x0)＝
lim
x0
ΔΔyx＝l_ixm__0 _f_(_x_0 ___x_x)___f_(_x_0 ).
1．已知函数 f(x)＝4π2x2，则 f′(x)＝(
C)
A．4πx
B．8πx
C．8π2x
D．16πx
解析：函数f(x)＝4π2x2 的自变量为x，π为常量，所以f′(x)
＝8π2x.
2．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为( A )
A．1
B. 2
C．－1
D．0
解析：∵f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a＝2.∴a＝1.
故函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝x.
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考点 1 导数的概念
例 1：设 f(x)在 x0 处可导，下列式子中与 f′(x0)相等的是
()
(1) lim x0
fx0－f2Δx0x－2Δx；
(2) lim x0
fx0＋ΔxΔ－xfx0－Δx；
自变量是什么，对谁求导，如 f(x)＝x2＋sinα的自变量为x，而 f (α)=x2＋sinα的自变量为α.
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【互动探究】
2．已知 y＝
sinx
1＋cosx
，x∈(0，π)，当 y′＝2 时，x＝(
B)
π
2
π
π
A.3
B.3π
C.4
D.6
解析：∵y′＝cosx·1＋c1o＋sxc－ossxin2x·－sinx＝1＋1cosx＝2，
c，y＝x，y＝x2 ，y＝1 的导数. 预测 2015 年高考在考查方式和内容
x
4. 能利用给出的 8 个基本初等 函数公式和导数的四则运算法
则求简单函数的导数.
上不会有太大的变化，在保持稳定的 基础上可能对条件的设置进行创新， 考查方式仍然会以客观题为主，考查 内容以运算公式和法则为基础，以导
数的几何意义为重点.
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2．导数的几何意义和物理意义 (1)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0) 的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0). 相应地，切线方程为__y_－_f_(x_0_)＝__f′_(x_0_)(_x_－_x_0_) ____．
∴y′＝12sinx－cosx－12′＝12(sinx－cosx)′
＝12(cosx＋sinx)．
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(4)y′＝1＋sinx′1－co1s－x－cos1x＋2 sinx1－cosx′ ＝cosx1－co1s－x－cos1x＋2 sinxsinx＝cos1x－－csoinsxx－2 1.
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3.若 f(x)在 x0 处可导，则 f′(x0)等于(
A)
A. lim x0
fx0－fx0－Δx Δx
B. lim x0
fx0＋Δx－fx0－Δx Δx
C. lim x0
fx0＋Δx－fx0－2Δx Δx
D. lim x0
fx0＋2Δx－fx0－Δx Δx
(2)导数的物理意义：①在物理学中，如果物体运动的规律
是 s＝s(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度 v＝_______s_′(.t②0)如 果物体运动的速度随时间变化的规律是 v＝v(t)，则该物体在时 刻 t0 的瞬时加速度为 a＝___v_′(_t0_)__.
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解：(1)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
(2)∵函数 f(x)＝sinx＋a2 的自变量为 x，a 为常量，
∴f′(x)＝cosx.
(3)∵y＝cos2xsin2x－cos2x＝cos2xsin2x－cos2
x 2
＝12sinx－12(1＋cosx)＝12(sinx－cosx)－12，
fx0－k2k－fx0＝－12
lim
k 0
f[x0＋－－kk]－fx0＝
－12 f′(x0)＝－12×2＝－1.
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考点 2 导数的计算 例 2：求下列函数的导数： (1)y＝xx2＋1x＋x13； (2)f(x)＝sinx＋a2； (3)y＝cos2xsin2x－cos2x； (4)y＝11－＋csoinsxx.