九年级数学上册第四章图形的相似2平行线分线段成比例1
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(1)如图AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？
(1 )
EF∥ EF ,
A
AE AF ,
A E 7, E B 5, F C 4,
EB
FC
解： A F A E • F C 7 4 2 8 .
EB
5
5
E
(2 )
则： AB DE 2 .
BC EF 3
平行线等分线段定理(dìnglǐ)
第六页，共十八页。
我们已经得到
若l1 //l2 //l3 ,
AB BC
2 3
，
则
DE EF
2 3
即： AB DE BC EF
Al B
C
lD l1
E
l2
F
ìng)线段成比例吗？
怎样 用 AB
B
C l3
第十页，共十八页。
平行线分线段(xiànduàn)成比例定理与平行线等分线段 (xiànduàn)定理有何联系？
AD
B
E
当 AB 1
A
D
BC
B
E
C
F
当 AB 1 BC
C
F
结论(jiélùn)：后者是前者的一种特殊情况！
第十一页，共十八页。
例 如图,△ABC中,E,F分别(fēnbié)是AB和AC上的点，且EF//BC.
AB AC
DE DF
平行线等分线段成比例(bǐlì)定理 三条平行线截两条直线,所得(suǒ dé)的对应线段成比例.
第九页，共十八页。
推论(tuīlùn)
平行于三角形一边的直线截其他两边(liǎngbiān)(或两边
的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
A
l1
El
l
D l1
D
E l2
A
l2
B
C l3
分析(fēnxī): 分别在△ABC及△ADC中利用平
行线分线段成比例定理的推论.
证明(zhè在 ngmíngA) BC中,DE∥BC , AB AC
F
AD AE D
在 A DC中,E F ∥ C D ,
AD AF
AC AE
B
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项.
求证 A： D AEDE AB AC BC
DE//BC EF//AB
AD AE AB AC
AE BF AC BC
DE=BF
第十五页，共十八页。
A
D
E
B
F
C
AD AE DE AB AC BC
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理(dìnglǐ)： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比
例. （关键要能熟练地找出对应线段） 二、要熟悉该定理(dìnglǐ)的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
第十六页，共十八页。
三、注意(zhù yì)该定理在三角形中的应用
第十七页，共十八页。
内容(nèiróng)总结
No 2 平行(píngxíng)线分线段成比例。如何不通过测量，运用所学知识，快速将一条长5厘米的细线分
成两部分，使这两部分之比是2:3。相邻的两条平行(píngxíng)线间的距离相等。设线段AB的中点为P1， 线段BC的三等分点为P2、P3.。AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C。DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F。分别过点P1,P2, P3作直线a1,a2,a3平行(píngxíng)于l,与l 的交点分别为Q1,Q2,Q3.。//l。反 比。DE//BC
第十三页，共十八页。
A
E C
如图，有一块形状为直角梯形的草地(cǎodì)，周围均为水泥 直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直 道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长c米. 求CF.
解： 由题：由题意
A B 900， EF AB
AD//EF//BC
Al
B?
(cāixiǎng)
? 猜若
AB BC
2 ,那 么 ，DE
3
EF
？
2 3
C
： 想若 A B 3 ， 那 么 , DE ？ 3
BC 4
EF
4
lD l1
?E
l2
?F
l3
你能否利用所学过的相关知识进行(jìnxíng)说明？
第五页，共十八页。
考察AB 2 BC 3
设线段(xiànduàn)AB的中点为P1，线段
AE DF , 即 a c EB CF b CF
CF bc (米) a
第十四页，共十八页。
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三
角形,所截得的三角形的三边(sān biān)与原三角形的三
边(sān biān)对应成比例.
已知:如图,DE//BC,DE分别(fēnbié)交AB、AC于点D、E
EF∥ BC
AE AF .
AB
AC
B
A B 10, A E 6, A F 5,
A C A B • A F 10 5 25 .
AE
6
3
F C A C A F 25 5 10 .
3
3
第十二页，共十八页。
F
C
例 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证(qiúzhèng):AD是AB和AF的比例中项.
BC的三等分点为P2、P3. AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C
分别过点P1,P2, P3作直线a1,a2,a3
Al
P1
B
P2 P3
C
lDQEQ1 QF2 3aalal12123
l3
平行于l,与l 的交点分别为
Q1,Q2,Q3.
这时你想到(xiǎnɡ dào)了什么？
DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F
BC (zěnyàng)
DE
EF
得到(dé dào)其他比例式？
第七页，共十八页。
AB BC
DE EF
反比
合比
BC EF AB DE
合比
AB BC DE EF
AC BC
DF EF
反比
AC AB
DF DE
? AB BC AC DE EF DF
BC EF AC DF
合比
BECF
AC DF
第八页，共十八页。
Image
12/11/2021
第十八页，共十八页。
A
则 AB 2 BC 3
第三页，共十八页。
B C
获取新知
平行线等分线段定理(dìnglǐ)的条件 相邻的两条平行线间的距离(jùlí)相等
一组平行线中相邻(xiānɡ lín)两条平行
线间距离不相等,结论如何?
第四页，共十八页。
三条距离不相等的平行线截 两条直线(zhíxiàn)会有什么结果?
平行线分线段 成比例 2
(xiànduàn)
第一页，共十八页。
复习旧知
推论 1 推论 2 平行线等分线段定理(dìnglǐ)
(tuīlùn)
(tuīlùn)
平行线等分线段定理的应用 ➢把线段n等分 ➢证明同一直线上的线段相等
第二页，共十八页。
如何不通过(tōngguò)测量，运用所学知识，快速将一条 长5厘米的细线分成两部分，使这两部分之比是2:3?
(1 )
EF∥ EF ,
A
AE AF ,
A E 7, E B 5, F C 4,
EB
FC
解： A F A E • F C 7 4 2 8 .
EB
5
5
E
(2 )
则： AB DE 2 .
BC EF 3
平行线等分线段定理(dìnglǐ)
第六页，共十八页。
我们已经得到
若l1 //l2 //l3 ,
AB BC
2 3
，
则
DE EF
2 3
即： AB DE BC EF
Al B
C
lD l1
E
l2
F
ìng)线段成比例吗？
怎样 用 AB
B
C l3
第十页，共十八页。
平行线分线段(xiànduàn)成比例定理与平行线等分线段 (xiànduàn)定理有何联系？
AD
B
E
当 AB 1
A
D
BC
B
E
C
F
当 AB 1 BC
C
F
结论(jiélùn)：后者是前者的一种特殊情况！
第十一页，共十八页。
例 如图,△ABC中,E,F分别(fēnbié)是AB和AC上的点，且EF//BC.
AB AC
DE DF
平行线等分线段成比例(bǐlì)定理 三条平行线截两条直线,所得(suǒ dé)的对应线段成比例.
第九页，共十八页。
推论(tuīlùn)
平行于三角形一边的直线截其他两边(liǎngbiān)(或两边
的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
A
l1
El
l
D l1
D
E l2
A
l2
B
C l3
分析(fēnxī): 分别在△ABC及△ADC中利用平
行线分线段成比例定理的推论.
证明(zhè在 ngmíngA) BC中,DE∥BC , AB AC
F
AD AE D
在 A DC中,E F ∥ C D ,
AD AF
AC AE
B
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项.
求证 A： D AEDE AB AC BC
DE//BC EF//AB
AD AE AB AC
AE BF AC BC
DE=BF
第十五页，共十八页。
A
D
E
B
F
C
AD AE DE AB AC BC
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理(dìnglǐ)： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比
例. （关键要能熟练地找出对应线段） 二、要熟悉该定理(dìnglǐ)的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
第十六页，共十八页。
三、注意(zhù yì)该定理在三角形中的应用
第十七页，共十八页。
内容(nèiróng)总结
No 2 平行(píngxíng)线分线段成比例。如何不通过测量，运用所学知识，快速将一条长5厘米的细线分
成两部分，使这两部分之比是2:3。相邻的两条平行(píngxíng)线间的距离相等。设线段AB的中点为P1， 线段BC的三等分点为P2、P3.。AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C。DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F。分别过点P1,P2, P3作直线a1,a2,a3平行(píngxíng)于l,与l 的交点分别为Q1,Q2,Q3.。//l。反 比。DE//BC
第十三页，共十八页。
A
E C
如图，有一块形状为直角梯形的草地(cǎodì)，周围均为水泥 直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直 道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长c米. 求CF.
解： 由题：由题意
A B 900， EF AB
AD//EF//BC
Al
B?
(cāixiǎng)
? 猜若
AB BC
2 ,那 么 ，DE
3
EF
？
2 3
C
： 想若 A B 3 ， 那 么 , DE ？ 3
BC 4
EF
4
lD l1
?E
l2
?F
l3
你能否利用所学过的相关知识进行(jìnxíng)说明？
第五页，共十八页。
考察AB 2 BC 3
设线段(xiànduàn)AB的中点为P1，线段
AE DF , 即 a c EB CF b CF
CF bc (米) a
第十四页，共十八页。
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三
角形,所截得的三角形的三边(sān biān)与原三角形的三
边(sān biān)对应成比例.
已知:如图,DE//BC,DE分别(fēnbié)交AB、AC于点D、E
EF∥ BC
AE AF .
AB
AC
B
A B 10, A E 6, A F 5,
A C A B • A F 10 5 25 .
AE
6
3
F C A C A F 25 5 10 .
3
3
第十二页，共十八页。
F
C
例 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证(qiúzhèng):AD是AB和AF的比例中项.
BC的三等分点为P2、P3. AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C
分别过点P1,P2, P3作直线a1,a2,a3
Al
P1
B
P2 P3
C
lDQEQ1 QF2 3aalal12123
l3
平行于l,与l 的交点分别为
Q1,Q2,Q3.
这时你想到(xiǎnɡ dào)了什么？
DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F
BC (zěnyàng)
DE
EF
得到(dé dào)其他比例式？
第七页，共十八页。
AB BC
DE EF
反比
合比
BC EF AB DE
合比
AB BC DE EF
AC BC
DF EF
反比
AC AB
DF DE
? AB BC AC DE EF DF
BC EF AC DF
合比
BECF
AC DF
第八页，共十八页。
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第十八页，共十八页。
A
则 AB 2 BC 3
第三页，共十八页。
B C
获取新知
平行线等分线段定理(dìnglǐ)的条件 相邻的两条平行线间的距离(jùlí)相等
一组平行线中相邻(xiānɡ lín)两条平行
线间距离不相等,结论如何?
第四页，共十八页。
三条距离不相等的平行线截 两条直线(zhíxiàn)会有什么结果?
平行线分线段 成比例 2
(xiànduàn)
第一页，共十八页。
复习旧知
推论 1 推论 2 平行线等分线段定理(dìnglǐ)
(tuīlùn)
(tuīlùn)
平行线等分线段定理的应用 ➢把线段n等分 ➢证明同一直线上的线段相等
第二页，共十八页。
如何不通过(tōngguò)测量，运用所学知识，快速将一条 长5厘米的细线分成两部分，使这两部分之比是2:3?