广东省河源市龙川县第一中学高中数学 2.2.1 对数函数

2.2.1 对数函数（三课时）
第一课时
教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函
数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； （2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
教学重点：掌握对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用． 教学过程： 一、引入课题
1．（知识方法准备）
○1 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？ 设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的
方法——借助图象研究性质．
○
2 对数的定义及其对底数的限制． 设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．
2．（引例） 教材P 81引例
处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：
然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关
系P t 2
15730
log
=，
生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数” ．（进而引入对数函数的概念）
二、新课教学
（一）对数函数的概念
1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmic function ）
其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，
5
log 5
x
y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○
2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 巩固练习：（教材P 68例2、3）
（二）对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：
○1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）
（1） x y 2log = （2） x y 2
1log =
（3） x y 3log = （4） x y 3
1log =
2 图象特征 函数性质
1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<
函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1） 11=α
自左向右看，
图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10><<x x a 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
0log ,10<<<x x a
0log ,1<>x x a
○3 思考底数a 是如何影响函数x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． （三）典型例题
例1．（教材P 83例7）． 解：（略） 说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．
巩固练习：（教材P 85练习2）． 例2．（教材P 83例8） 解：（略）
说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法． 注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式． 巩固练习：（教材P 85练习3）． 例2．（教材P 83例9） 解：（略）
说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．
注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象． 巩固练习：（教材P 86习题2．2 A 组第6题）． 三、归纳小结，强化思想
本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点． 四、作业布置
1． 必做题：教材P 86习题2．2（A 组） 第7、8、9、12题． 2． 选做题：教材P 86习题2．2（B 组） 第5题．
第二课时
教学目标：1．掌握对数函数单调性
2．掌握比较同底数对数大小的方法 3．培养学生数学应用意识
教学重点：利用对数函数单调性比较对数大小 教学难点：不同底数的对数比较大小 教学方法：学导式 教学过程
（I ）复习回顾
师：上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即 当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数； 当10<<a 时, x y a log =在（0，+∞） 是减函数。

这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用。

（Ⅱ）讲授新课 1． 例题讲解：
例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）5.8log ,4.3log 22； （2）7.2log ,8.1log 3.03.0； （3）)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a
分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小。

解：（1）考查对数函数x y 2log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log 4.3log 22<。

（2）考查对数函数x 3.0log ，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是7.2log 8.1log 3.03.0>。

师：通过例2（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤： （1） 确定所要考查的对数函数；
（2） 根据对数底数判断对数函数增减性；
（3） 比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小
解：（3）当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a < 当10<<a 时，x y a log =在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log 1.5log a a >
评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于是还是小于是。

而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握。

例3．比较下列各组中两个值的大小：
（1）6log ,7log 76； （2）8.0log ,log 23π
分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小。

解：（1）16log 7log 66=>Θ，
6
log 7log 17log 6log 7677>∴=<
（2）01log log 33=>πΘ；
8
.0log log 0
1log 8.0log 2322>∴=<π；
评述：例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例3（2）题也可与1比较。

（Ⅲ）课堂练习 课本P 练习
补充：比较7.0log 2与8.0log 3
1两个值的大小
要求：学生板演，教师讲评 （Ⅳ）课时小结
师：通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能逐步掌握分类讨论的思想方法。

（V ）课后作业
一、课本P 习题2.
二、1．预习内容：函数单调性、奇偶性证明 2． 预习提纲：
（1） 判断、证明函数单调性的通法； （2） 判断、证明函数奇偶性的通法。

第三课时
教学目标：1．掌握对数函数单调性
2．掌握比较同底数对数大小的方法 3．培养学生数学应用意识
教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用
教学方法：学导式 教学过程
（I ）复习回顾
师：上一节，我要求大家预习函数单调性、奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾。

1．判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设—作差—变形—判断
说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断。

2．判断及证明函数奇偶性的基本步骤： ① 考查函数定义域是否关于原点对称；
② 比较)(x f -与)(x f 或者)(x f -的关系；
③ 根据函数奇偶性定义得出结论。

说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意。

师：接下来，我们一起来看例题 （Ⅱ）讲授新课
例4．判断下列函数的奇偶性： （1）x
x
x f +-=11lg
)(；（2）)1ln()(2x x x f -+= 分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行
解：（1）由
011>+-x x
可得11<<-x ，所以函数的定义域为：
（1,1-）关于原点对称， 又x x x f -+=-11lg )(111lg()lg ()11x x
f x x x ---==-=-++，即)()(x f x f -=-，所以函数
x
x
x f +-=11lg
)(奇函数。

评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质。

说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形。

解：（2）由012>-+x x 可得R x ∈，所以函数的定义域为R 关于原点对称，又
)1ln()(2x x x f ++=-
()x f x ===-=-
即)()(x f x f -=-，所以函数)1ln()(2x x x f -+=是奇函数。

评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握。

例5．（1）证明函数)1(log )(2
2+=x x f 在),0(+∞上是增函数。

（2）问：函数
)1(log )(22+=x x f 在)0,(-∞上是减函数还是增函数？
分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法。

证明：设),0(,21+∞∈x x ，且21x x <，则)1(log )1(log )()(2
222
1221+-+=-x x x f x f
1102
22121+<+∴<<x x x x Θ，又x y 2log =Θ在),0(+∞上是增函数，
∴)1(log )1(log 2
222
12+<+x x ，即)()(21x f x f < ∴函数)1(log )(2
2+=x x f 在)0,(-∞上是增函数 （2）题证明可以依照上述证明过程给出
评述：此题可引导学生总结函数)1(log )(2
2+=x x f 的增减性与函数12
+=x y 的增
减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论。

（Ⅲ）课堂练习
（1）证明函数)1(log 221+=x y 在)0,(-∞上是减函数； （2）判断函数)1(log 2
21+=x y 在)0,(-∞上的增减性。

（Ⅳ）课时小结
师：通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性、奇偶性的通法，提高数学应用的能力。

（V ）课后作业
1．求)2(log 2
3.0x x y -=的单调递减区间；
2．求)4(log 2
2x x y -=的单调递增区间；。