幂级数概念

§11 3 幂级数
一、函数项级数的概念
函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{ u n(x)}, 由这函数列构成的表达式
U i(x)+lb(X)+U3(X)+ x X XUn f X)+ X X X
称为定义在区间I上的(函数项)级数，记为u n(x).
n1
收敛点与发散点:
对于区间I内的一定点X0,若常数项级数U n(X o)收敛,则称
n1
点X0是级数U n(x)的收敛点•若常数项级数U n(X g)发散,则称
n 1 n 1
点X o是级数U n(X)的发散点•
n1
收敛域与发散域:
函数项级数U n(X) 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所
n1
有发散点的全体称为它的发散域•
和函数:
在收敛域上，函数项级数U n(X)的和是X的函数S(X),
n1
S(X)称为函数项级数u n(x)的和函数，并写成S(X) u n (X).
n1 n1
刀U n(x)是U n(x)的简便记法，以下不再重述•
n1
在收敛域上，函数项级数刀lh(x)的和是X的函数S(X),
S(X)称为函数项级数刀®(x)的和函数，并写成S(X)=刀®(x).
这函数的定义就是级数的收敛域,
部分和:
函数项级数U n(x) 的前n 项的部分和记作s n(x),
n1
函数项级数刀U n(x)的前n项的部分和记作S n(x),即
$(x)= U i(x)+ U2(x)+ U3(x)+ x X XUn+x).
在收敛域上有lims n(x) Sx)或S n(x) s(x)(n ).
n
余项：
函数项级数U n(X)的和函数S(X)与部分和S n(x)的差
n 1
r n (X)= S(X)-S n(X)叫做函数项级数U n(x)的余项.
n 1
函数项级数刀U n(X)的余项记为「n(X),它是和函数S(X)与部分和£(X)的差&(X)= S(X)-S n(X). 在收敛域上有,im r n(x) 0.
二、幕级数及其收敛性
幕级数：
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幕函数的函数
项级数,这种形式的级数称为幕级数,它的形式是
a o+ ax+ ax2+ x x x a+x n+ x x x
其中常数st, a1, a2, x x x n ,, x x x叫做幕级数的系数
幕级数的例子：
2 3
1+x+x2+x3+ x x x x++ x x x ,
1 x ix21 n
X .
2!n!
注：幕级数的一般形式是
a+a i(x-x o)+a2(x-x o)2+ x x x a+(x-x o)n+ x x x
经变换t=x-x o就得3+期+駐2+ x x x a+n+ x x x
幕级数
1+x+x2+x3+ x x x x++ x x x
可以看成是公比为X的几何级数.当|x|<1时它是收敛的；当|x| 1时，它是发散的.因此它的收敛
域为(-1, 1),在收敛域内有
1 x 1 X x
2
x
3
x n
a n x n当x=x o (X o1o)时收敛则适合不等式n o 定理1 (阿贝尔定理)如果级数
| x|<| X o|的一切x使这幕级数绝对收敛•反之,如果级数a n x n当
n 0
X=X o时发散,则适合不等式|X| | X o|的一切X使这幕级数发散•
定理1 (阿贝尔定理)如果级数刀a n X n当X=X o (X o1O)时收敛则适合不等式| x|<| X o|的一切X使这幕级数绝对收敛•反之,如果级数刀a n X n当X=X o时发散，则适合不等式|X| | X o|的一切X使这幕级数发散•提示：刀a n X n是a n X n的简记形式•
n O
证先设X o是幕级数a n X n的收敛点,即级数a n X n收敛•根据级数收敛的必要条件,有
n O n O
lim a n X o O,于是存在一个常数M,使
n
| a h X o n| 如(n=O, 1,2, x x x ).
这样级数a n X n的的一般项的绝对值
n O
|a n X n| |a n X o 耳| M p^|n•
X o X o X o
因为当|X|<| X o|时，等比级数M 收敛，所以级数|a n X n|收敛，也就是级数a n X n绝
n O X o n O n O
对收敛•
简要证明设刀a n X n在点X o收敛，则有a n X o n O(n ),于是数列｛a n X o n｝有界，即存在一个常
数M,使| a n X o n| 血(n=O, 1,2, x x x )•
因为|a
n X n
| X
n
| |a
n
X
O
|^^|n M l|n,
X o
X
O
X
O
而当|X| |x o|时,等比级数M |^|n收敛，所以级数刀|a n X n|收敛，也就是级数刀&则绝对收敛
n O x
定理的第二部分可用反证法证明.倘若幕级数当X=X o时发散而有一点X1适合|X i|>| X o|使级数收敛，则根据本定理的第一部分，级数当X=X o时应收敛，这与所设矛盾•定理得证•
推论如果级数a n X n不是仅在点x=0 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛，则必有一
n 0
个完全确定的正数R存在，使得
当| x|< R时,幕级数绝对收敛；
当|x| R时,幕级数发散；
当x=R与x=-R时,幕级数可能收敛也可能发散.
收敛半径与收敛区间：正数R通常叫做幕级数a n x n的收敛半径开区间（R R）叫做
n 0
幕级数a n X n的收敛区间再由幕级数在x R处的收敛性就可以决定它的收敛域幕级n 0
数a n X n的收敛域是（-R, R）（或［-R, R）、（-R, R］、［-R R］之一.
n 0
规定：若幕级数a n X n只在x=0收敛，则规定收敛半径R=0 ,若幕级数a n X n对一切x都n 0 n 0
收敛，则规定收敛半径R=+ ¥ ,这时收敛域为（-¥ , + ¥ ）.
定理2
如果lim |也|其中Oi、昂+1疋幂级
数
O n X n的相邻两项的系数，则这幕级数的收敛半n 0
n a n
径
R10
定理2
如果幕级数a n X n系数满足lim宀，则这幕级数的收敛半径n 0n a n
R10
定理2
a
如果lim 口 |
,则幕级数
a n x n 的收敛半径 R 为
n
a n
n 0
当 0时R — 当 0时R 当 时R 0
简要证明：lim |an lX n | lim |旦^| |x|
|x|.
n
a n X
n
a n
(1)如果0< r <+ ,贝U 只当r | x |<1时幕级数收敛
故R —.
1x n n!
X
的收敛域.
例2求幕级数
1
X n 的收敛域. n 0n!
⑵如果r =0,则幕级数总是收敛的
,故 R =+
⑶如果r =+ 则只当x
0时幕级数收敛，
故 R =0. 例1求幕级数
1)n
1 x 2
n
n
(1)n X
的收敛半径与收敛域
例1求幕级数
1)n 1—的收敛半径与收敛域•
n
解因为
lim|
n
a
n 1
a n
lim n 1 n 1 1 1 ，
n
所以收敛半径为 R — 1.
当X =1时, 幕级数成为
1)n 1
1
,是收敛的；
n
当x =-1时，幕级数成为
(丄)，是发散的•因此，收敛域为(-1, 1]. n 1
n
例2求幕级数
丄x n
o n!
例5求幕级数
(x 1)n n
1 2n n
的收敛域.解令t= x-1,上述级数变为
t n n
12n n
因为lim|anJ|
n a n
2n n 2 (n 1)
1
解因为lim 0,
n a n n 丄n (n 1)!
n!
所以收敛半径为R=+ ¥ ,从而收敛域为(-¥ , + ¥ ).
例3求幕级数n!x n的收敛半径.
n 0
解因为
所以收敛半径为R=0,即级数仅在x=0处收敛.
例4求幂级数no洋/的收敛半径
解级数缺少奇次幕的项，定理2不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径
因为n im 4|x|2
,
11 1 当4| x| 2<1即|x| 2时级数收敛；当4|x|21即|x| 1时级数发散，所以收敛半径为
R -.
所以收敛半径R=2.n
lim
'
a V l lim
n
(n 1)!
n!
幕级数的一般项记为U n(X)(2n)!x2n
(n!)2
提示U n
1(X)
U(x)
[2(n 1)]!x2(n 1)
[(n 1)!]2
(2n)!x2n
2
x
(2n 2)(2n 1) x2
(n 1)2
当t=2时,级数成为1
，此级数发散；当t=-2时,级数成为(卫，此级数收敛.因此级n i n n i n
t n
数--的收敛域为-2 £<2 因为-2 &-1<2,即-1盘<3,所以原级数的收敛域为［-1,3).
n i2 n
三、幕级数的运算
设幕级数a n X n及bnX
n 分别在区间(-R, R)及(-R C R C )内收敛则在(-R, R)与(-R C R C )中较
n0n 0
小的区间内有
加法：a n x n b^(a n b n)x n,
n 0n 0n 0
减法：a n x n bnX n(a n bn)x n,
n 0n 0n 0
设幕级数刀a n X0及刀b n X n分别在区间(-R, R)及(-R C R C )内收敛则在(-R, R)与(-R C,C )中较小的区间内有
加法：刀a n X n+刀b n X0=刀(a n+ ,
减法：刀a n x n-E b n x n=刀(a n-b n)x n.
乘法：(a n x n) ( b n X1"1) = a o b o+(a b i+a i b o)x+(a o b2+a i b i+&b o)x2+ x x x
n 0 n 0
+(a)b n+ a(b n-i+ x x x a+b o)x n+ x x x
性质i幕级数a n x n的和函数sx)在其收敛域I上连续.
n 0
如果幕级数在x= R (或x=- R)也收敛，则和函数s(x)在(-R, R］(或［-R, R))连续.
性质2幕级数a n x n的和函数s(x)在其收敛域I上可积并且有逐项积分公式
n 0
0s(x)dx 0( a n x n)dx ^a^dx -a^x n 1(x I )
n 0 n 0 n 0n 1
逐项积分后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径
性质3幕级数a n X n的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导并且有逐项求导公式n 0
s (x) ( a n x n) (a n x n) na* 1(| x| R)
n 0 n 0 n 1
在xs(x)
亠;x n 1的两边求导得
n 0n 1
逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径 性质1幕级数刀&X 1
的和函数s (x )在其收敛域I 上连续. 性质2幕级数刀&X 1
的和函数s (x )在其收敛域I 上可积 并且有逐项积分公式
3处 0(n o a n X n )dX
no'M dX “缶"以 1 ) 逐项积分后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径 性质3幕级数刀&X 1的和函数s (x )在其收敛区间(R R )内可导 并且有逐项求导公式 s(x) ( a n X n ) (a n X n ) na ・x n 1
(| x | n 0 n 0 n 0 逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径 R )
1 例6求幕级数 —x n 的和函数• n 0n 1
解求得幕级数的收敛域为 [1 1) 设和函数为s (x ),即s(x)
1 %n
n 0n 1
1)
显然 s (0)=1
.
[xs(x)] (
1
x n 1
n 0
n 1
对上式从0到x 积分，得
x n
n 0
1 r_x
xs(x)
x 1
0^dx
ln(1 x).
曰当x 10时,
有 s(x)
ln(1 x
x).从而 s(x)
」ln(1
x 1
x) 0 |x| 1 因为xs(x)
0冷
n 0n
x n
dx
x 1
DE
ln(1 x),
所以，当x 10时，有s(x)
x
ln(1 x)
，
从而 s(x) x
ln(1 x) 0 |x| 1
1
t x 提示
应用公式0 F (x)dx F(x)
7求级数
n
—x n ，此级数在［-1, 1)上收敛，设其和
n 0n 1
由和函数在收敛域上的连续性 S( 1
) x
lim 1 S(x) ln2 综合起来得s(x) 2ln(1 1 x) 1,0) (0,1) x x 2 x 3 x n
从而s(x) 1
ln(1 x) 0 |x| 1 x 1 x 0
例6求幕级数
n 0n 1x n
解求得幕级数的收敛域为 的和函数. [1 1)
设幕级数的和函数为 s (x ), 即 s(x)
n =x n 0n 1
1 1) 显然S (0) 因为
xs(x) 0岸 1]dx
所以，当0 |x| x n dx
0 x 01 —dx x ln(1 x)(
1)， 1 时，有 s(x)
~xln(x)
F(0) x 即 F(x) F(0) 0 F (x)dx 考虑幕级数
1 ( 1)n 1 在例 6 中已得到 xs (x )=l n(1-x ),于是-s (-1)=In 2, s( 1) ln1 ,即 In*.
2 n o n 1 2 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
函数为s (x ),则s( 1) (1)n
n 0 n 1。