高中数学1.1空间几何体1.1.4投影与直观图学案新人教B版必修2

1.1.4 投影与直观图
1．了解平行投影、中心投影主要特征与关系．
2．会用斜二测画法画出简单空间图形直观图，会画出某些建筑物或零件直观图．
3．通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出直观图，了解空间图形不同表示形式．
1．平行投影
(1)平行投影：在一束________光线照射下形成投影，叫做平行投影．平行投影投射线是________(如以下图)．
(2)平行投影性质：
①直线或线段平行投影仍是________或________．
②平行直线平行投影是________或________直线．
③平行于投射面线段，它投影与这条线段__________．
④与投射面平行平面图形，它投影与这个图形________．
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影比________这两条线段比．
【做一做1】当图形中直线或线段不平行于投射线时，以下关于平行投影性质表达正确个数是( )．
①直线或线段平行投影仍是直线或线段；
②平行直线投影仍是平行直线；
③平行于投射面线段，它投影与这条线段平行且等长；
④矩形平行投影一定是矩形．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．直观图
(1)定义：当投射线与投射面成适当角度或改变图形相对于投射面位置时，一个空间图形在投射面上____________可以形象地表示这个空间图形．像这样用来表示空间图形平面图形，叫做空间图形
__________．
(2)空间图形直观图画法：__________.
(3)用斜二测画法画水平放置平面图形直观图步骤是：
①在图形中取互相__________x轴与y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝________(或________)，它们确定平面表示水平面．
②图形中平行于x轴或y轴线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴线段．
③图形中平行于x轴线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴线段，长度为原来________．
(4)用斜二测画法画立体图形直观图步骤：
①在图形所在空间中取水平平面，作互相垂直轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________，∠yOz＝________.
②画出与Ox，Oy，Oz对应轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝__________，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定平面表示水平平面．
③图形中，平行于x轴、y轴与z轴线段，在直观图中分别画成
________于x ′轴、y ′轴与z ′轴线段，并使它们在所画坐标轴中位置关系与图形中相应线段与原坐标轴位置关系一样．
④图形中平行于x 轴与z 轴线段，在直观图中保持长度________，平行于y 轴线段，长度为原来________．
⑤擦除作为辅助线坐标轴，就得到了空间图形直观图．
斜二测画法作图规那么可以简要地说成：“竖直或水平方向放置线段画出时方向、长度都不变，前前方向放置线段画出时方向与水平方向成45°或135°角，长度画成原长度一半(仍表示原长度)〞．
【做一做2－1】关于“斜二测画法〞，以下说法不正确是( )．
A ．原图形中平行于x 轴线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变
B ．原图形中平行于y 轴线段，其对应线段平行于y ′轴，长度
变为原来12
C ．画与直角坐标系xOy 对应x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°
D ．在画直观图时，由于选轴不同，所得直观图可能不同
【做一做2－2】如图，该直观图所表示平面图形是( )．
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
3．中心投影
一个________把一个图形照射到一个平面上，这个图形影子就是它在这个平面上中心投影(如图)．在绘画时，经常使用这种方法．但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．
【做一做3】相片放大与电影都是__________投影；几何画图与工程制图都是__________投影．
1．中心投影与平行投影区别与联系
剖析：中心投影与平行投影都是空间图形根本画法，但应注意是：
(1)画实际效果图时，一般用中心投影法．如人视觉、照片、美术作品等都具有中心投影特点；
(2)中心投影与平行投影区别在于：平行投影投射线都互相平行，中心投影投射线交于同一点；
(3)中心投影与平行投影都是空间图形根本画法，平行投影包括斜二测画法与下节将要学习三视图．经中心投影后图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人视觉效果一致，最像原来物体；
(4)画实际效果图时，一般用中心投影法；画立体几何中图形时，一般用平行投影法．
2．斜二测画法作图技巧
剖析：(1)在图中建立直角坐标系，理论上是在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊直角坐标系，尽量用原有直线为坐标轴或图形对称直线为坐标轴或图形对称点为原点或利用原有垂直正交直线为坐标轴等．
(2)在原图中与x轴或y轴平行线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行线段可以先画出线段端点再连线，画端点时作坐标轴平行线为辅助线．原图中曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中相应点后，用平滑曲线连接而画出．
(3)在画一个水平放置平面时，由于平面是无限延展，通常我们只画出它一局部表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面直观图．
在斜二测画法中，直观图与原图存在如下关系：①平行性不变；
②共点性不变；③平行线段长度比不变．正因为这样，所以直观图形状虽然有很大变化，但我们仍能借助于直观图结合几何体概念，想象出原图形状与性质．
3．教材中“思考与讨论〞
如果一个平面图形所在平面与投射面平行，试问，中心投影后得到图形与原图形有什么关系？
剖析：假设一个平面图形所在平面与投射面平行，那么中心投影后得到图形与原图形关系是相似．
题型一平行投影性质应用
【例1】如果图形所在平面不平行于投射线，那么以下说法正确是( )．
A．矩形平行投影一定是矩形
B．梯形平行投影一定是梯形
C．正方形平行投影一定是矩形
D．正方形平行投影一定是菱形
反思：平行投影性质是分析原图形与其投影关系理论依据．
题型二画直观图
【例2】画出一个锐角是45°平行四边形直观图．
分析：画水平放置平面图形直观图时，建系至关重要，应将尽量多点放在坐标轴上，这样，点在直观图中位置更容易确定．反思：画平面图形直观图时，首先要在原图中建好坐标系，再依据作图规那么逐步作出．
【例3】有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥直观图．
分析：根据斜二测画法，先选择恰当坐标系画出正三角形直观图，再确定出正三棱锥顶点即可．
反思：正棱锥直观图在今后学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图画法思路，以便在今后学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥草图．画草图步骤为：先画底面、找底面中心、作高连线．题型三直观图复原
【例4】图形A′B′C′D′是一个平面图形直观图，∠A′＝45°，请画出它实际图形．
分析：直观图是一个锐角为45°平行四边形
→建立直观图坐标系→建立平面直角坐标系→复原实际图形反思：复原图形过程是画直观图逆过程，它主要包括平行于x′轴线段长度不变，平行于y′轴线段长度变为原来2倍等．
题型四易错辨析
【例5】利用斜二测画法得到：①三角形直观图是三角形；②平行四边形直观图是平行四边形；③正方形直观图是正方形；④菱形直观图是菱形．
以上结论正确个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
错解：A
错因分析：混淆了直观图与平行投影区别，直观图形是利用平行投影性质画出来一种能反映原物体整体特征一种图示，而平行投影情况就较多了．
1以下命题中真命题个数是( )．
①正方形平行投影一定是菱形；②平行四边形平行投影一定是平行四边形；③三角形平行投影一定是三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
2以下说法正确是( )．
A．相等线段在直观图中仍然相等
B．假设两条线段平行，那么在直观图中对应两条线段仍然平行C．两个全等三角形直观图一定也全等
D．两个图形直观图是全等三角形，那么这两个图形一定是全等三角形
3(2021·福建福州高一期末)利用斜二测画法，作出直线AB直观图如下图，假设O′A′＝O′B′＝1，那么直线AB在直角坐标
系中对应函数表达式是( )．
A ．y ＝－x ＋1
B ．y ＝x －1
C ．y ＝－2x ＋2
D ．y ＝2x －2
4假设线段AB 平行于投影面，O 是线段AB 上一点，且AO OB ＝m n
，那么O 平行投影O ′分线段AB 平行投影A ′B ′长度之比A ′O ′O ′B ′
为________．
5用斜二测画法画出图中水平放置四边形OABC 直观图． 答案：
根底知识·梳理
1．(1)平行 平行 (2)①直线 线段 ②平行 重合 ③平行且等长 ④全等 ⑤等于
【做一做1】B ①③正确．
2．(1)平行投影(平面图形) 直观图 (2)斜二测画法
(3)①垂直 45° 135° ②平行 ③不变 一半 (4)①90° 90° ②45°(或135°) 90° ③平行 ④不变 一半
【做一做2－1】C 画与直角坐标系xOy 对应x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′也可以是135°，所以C 项不正确．
【做一做2－2】B 因为在直观图中三角形两条边平行于坐标轴，所以原来平面图形是直角三角形．
3．点光源
【做一做3】中心 平行
典型例题·领悟
【例1】B 结合平行投影性质去判断．
【例2】解：如图①，四边形ABCD 是以∠A 为45°平行四边形，以AB 所在直线为x 轴，过点D 且与AB 垂直直线为y 轴，建立直角坐标系．画出对应x ′轴与y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②，在x ′轴上截取O ′A ′＝OA ，O ′B ′＝OB ，在y ′轴上
截取O ′D ′＝12
OD ，经过点D ′作D ′C ′∥x ′轴且使D ′C ′＝DC .连接A ′D ′，B ′C ′，所得四边形A ′B ′C ′D ′即是所给平面图形直观图，如图③.
【例3】解：(1)先画出边长为3 cm 正三角形水平放置直观图，如图①所示；
(2)过正三角形中心O ′建立z ′轴，画出正三棱锥顶点V ′，使V ′O ′＝3 cm ，连接V ′A ′，V ′B ′，V ′C ′，如图②所示；
(3)擦去辅助线，遮住局部用虚线表示，得到正三棱锥直观图，如图③.
【例4】解：(1)在原图中建立如图①所示坐标系x ′O ′y ′，再建立一个直角坐标系，如图②所示；
(2)在x 轴上截取线段AB ＝A ′B ′，在y 轴上截取线段AD ，使AD ＝2A ′D ′；
(3)过点B 作BC ∥AD ，过D 作DC ∥AB ，使BC 与DC 交于点C ，那么四边形ABCD 即为A ′B ′C ′D ′实际图形．
【例5】C 正解：正方形、菱形直观图通常为平行四边形而不
具有其他性质，即命题③④为假命题，应选C.
随堂练习·稳固
1．A 假设平面图形所在平面与投射线平行，那么上述三个命题中平面图形平行投影都是线段，可知三个命题都不成立．应选A.
2．B 直角坐标系选取不同时，图形直观图也会不同，所以选项A ，C ，D 错误，但平行关系不会发生变化．
3．D 由直观图复原规律可得A ，B 在直角坐标系中位置如下图．
令函数关系式为y ＝kx ＋b ，
将A (1,0)，B (0，－2)代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝2，b ＝－2，
∴函数表达式为y ＝2x －2.
4．m n
由题意，知AB ∥A ′B ′，OO ′∥AA ′，OO ′∥BB ′， 那么有A ′O ′O ′B ′＝AO OB ＝m n
. 5．解：如下图．(1)画O ′x ′轴，O ′y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，O ′x ′轴，O ′y ′轴与xOy 坐标系对应轴单位长度一样．
(2)在x ′轴上取点H ，使O ′H ＝3，作HA ′∥O ′y ′，并取A ′H ＝1，在y ′轴上取C ′，使O ′C ′＝1，在x ′轴上取B ′，使O ′B ′＝4.
(3)顺次连接O ′，A ′，B ′，C ′，便得到所求四边形OABC 直观图．。