2013年高考数学总复习 8-4椭圆 新人教B版

8-4椭圆
基础巩固强化
1.(2011·东莞模拟)设P 是椭圆x 225＋y 2
16＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|
＋|PF 2|等于( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10 [答案] D
[解析] ∵a 2
＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.
2．“m >n >0”是“方程mx 2
＋ny 2
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵方程mx 2
＋ny 2＝1，即x 21m
＋y 21
n
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴需有：
⎩⎪⎨⎪⎧
1
m >0，1n >0，1m <1n .
∴m >n >0，故互为充要条件．
3．(文)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1、B 2，焦点为F 1、F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )
A.2
2 B.12 C.
32
D ．以上都不是
[答案] A
[解析] 画出草图(图略)，根据题意可得e ＝c a ＝cos45°＝
2
2
，故选A. (理)(2012·新课标全国，4)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为
直线x ＝3a
2
上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )
A.12
B.23
C.34
D.45
[答案] C
[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法．
设直线x ＝3a
2与x 轴交于点M ，则由条件知，∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2M ＝60°，
在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a
2－c ，
故cos60°＝F 2M PF 2＝32a －c 2c ＝1
2
，
解得c a ＝34，故离心率e ＝3
4
.
[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用，在图形中设法寻求a 、c 所满足的数量关系，从而确定离心率的值．
4．(文)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆x 216＋y 2
25＝1的焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上
一点，若连接F 1、F 2、P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( )
A.165 B ．3 C.163
D.253
[答案] A
[解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°. 设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±16
5.
即点P 到y 轴的距离是16
5
.
(理)(2012·抚顺质检)椭圆x 2
4＋y 2
＝1的左、右焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上，MF 1→
·MF 2
→
＝0，则M 到y 轴的距离为( )
A.23
3 B.
26
3
C.
33
D. 3
[答案] B
[分析] 条件MF 1→
·MF 2→
＝0，说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，点M 又在椭圆上，通过方程组可求得点M 的坐标，即可求出点M 到y 轴的距离．
[解析] 解法1：椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2
＋y 2
＝3，即y 2
＝3－x 2
，代入椭圆得x 2
4＋3－x 2＝1，解得x 2
＝83，即|x |＝263
，
此即点M 到y 轴的距离．
解法2：由MF 1→
·MF 2→
＝0知，MF 1⊥MF 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
|MF 1|＋|MF 2|＝4，
|MF 1|2＋|MF 2|2
＝4×
4－1，
∴⎩⎨
⎧
|MF 1|＝2＋2，
|MF 2|＝2－2，
由|MF 1|2
＝t ·|F 1F 2|得t ＝3＋
26
3
， ∴M 到y 轴的距离为t －3＝26
3.
解法3：设M (x 0，y 0)，则x 20
4＋y 2
0＝1，
∴y 20
＝1－x 20
4，①
∵MF 1→
·MF 2→
＝0，∴MF 1⊥MF 2， ∴|MF 1|2
＋|MF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝4c 2
＝12， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴(x 0＋3)2
＋y 2
0＋(x 0－3)2
＋y 2
0＝12， 将①代入解得x 0＝±26
3，
∴M 到y 轴的距离为26
3
.
[点评] 满足MF →
·MB →
＝0(其中A 、B 是平面上两个不同的定点)的动点M 的轨迹是以线段
AB 为直径的圆．
5．(文)已知F 是椭圆x 225＋y 2
9＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积
最大值为( )
A ．6
B ．15
C ．20
D ．12
[答案] D
[解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤1
2
|OF |·2b ＝12.
(理)已知点M (3，0)，椭圆x 2
4＋y 2
＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周
长为( )
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
[答案] B
[解析] 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 2
4＋y 2
＝1的两个焦
点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.
6．(文)(2011·安徽省皖北联考)椭圆x 249＋y 2
24＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的
连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )
A ．20
B ．22
C ．24
D ．28
[答案] C
[解析] 椭圆的焦点坐标是(±5,0)，点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2
＋y 2
＝25，代入椭圆方程得y 2
＝242
25，即|y |＝245，所以S △PF 1F 2＝12×10×24
5
＝24，故选C.
[点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解．由定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝14 (1)，由△PF 1F 2为直角三角形及c ＝49－24＝5得|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝100 (2)，(1)式两边平方与(2)式相减得：|PF 1|·|PF 2|＝48，∴S △PF 1F 2＝1
2
|PF 1|·|PF 2|＝24.
(理)(2011·河北唐山市二模)P 为椭圆x 24＋y 2
3
＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，
若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→
·PF 2→
等于( )
A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2
[答案] D
[解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2
－3|PF 1||PF 2|，
所以4＝42
－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→
·PF 2→
＝|PF 1→
||PF 2→
|·cos60°＝4×12
＝2，故选D.
7．(2011·安徽省“江南十校”高三联考、吉林质检)设F 1、F 2分别是椭圆
x 2
25
＋
y 2
16
＝1
的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．
[答案] 4
[解析] |OM |＝3，|PF 2|＝6， 又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.
8．若方程x 2
sin2α－y 2
cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．
[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z [解析] 根据题意知，⎩⎪⎨⎪⎧
－1cos α>1
sin2α，
cos α<0，
sin2α>0.
化简得，⎩⎪⎨
⎪⎧
－1≤sin α<－12，cos α<0.
解得α∈⎝
⎛⎭⎪⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )．
9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨
⎧
|x |≤2，|y |≤ 3.
内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π
4
，则椭圆M 的方程为________．
[答案]
x 24
＋y 2
3
＝1 [解析]
平面区域Ω：
⎩⎨
⎧
|x |≤2，|y |≤ 3.
是一个矩形区域，如图所示，
依题意及几何概型，可得πab 83＝π
4，即ab ＝2 3.
因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3. 所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
10．(2012·会昌中学月考)椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点M (1，－
32
)． (1)求椭圆方程；
(2)过点N (－6
5，0)作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于P 、Q 两点，A 为椭圆的左顶点，
试判断∠PAQ 的大小是否为定值，并说明理由．
[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点M (1，－3
2)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－b 2
＝3，1a 2＋3
4b
2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，
b 2
＝1.
∴椭圆方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)设直线PQ ：x ＝ty －6
5，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ty －6
5，x 2
4＋y 2
＝1.
消去x 得，(t 2＋4)y 2
－125ty －6425
＝0，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∴y 1y 2＝－
64
25
t 2＋4，y 1＋y 2＝
12t
5
t 2＋4
，
又A (－2,0)， ∴AP →·AQ →
＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)
＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋45)(ty 2＋4
5)＋y 1y 2
＝(t 2
＋1)y 1y 2＋45t (y 1＋y 2)＋1625＝0，
∴∠PAQ ＝π
2
(定值).
能力拓展提升
11.(2011·浙江文，9)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2
－y 24
＝1有公共的
焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )
A ．a 2
＝132
B ．a 2
＝13 C ．b 2
＝12
D ．b 2＝2
[答案] C [解析]
由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2
＋y 2
＝a 2
，则|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ |＝13|AB |＝2a
3
，
∴|OP |＝a 3.则点P 坐标为(5a 15，25a
15
)，
又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2
225
b
2＝1.①
又∵a 2
－b 2
＝5，∴b 2
＝a 2
－5.②，解①②得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝112
，b 2
＝1
2.
故选C.
12．(文)设F 是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝
1,2,3，…，2011)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2011|的长度成等差数列，若|FP 1|＝2，|FP 2011|＝8，则点P 2010的横坐标为( )
A.2008
2011 B.1005
201 C.1004
201
D.53667
[答案] C
[解析] ∵椭圆x 225＋y 2
16＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2011|＝8＝a ＋c ，可知
点P 1为椭圆的左顶点，P 2011为椭圆的右顶点，即x 1＝－5，x 2011＝5＝－5＋2010d ，∴d ＝1
201
，则数列{x i }是以－5为首项，
1201为公差的等差数列，∴x 2010＝－5＋2009×1201＝1004201
. (理)(2011·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2.则下列结论不正确的是( )
A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2
B ．a 1－c 1＝a 2－c 2
C ．a 1c 2<a 2c 1
D ．a 1c 2>a 2c 1
[答案] D
[解析] 依题意得，a 1>a 2，c 1>c 2，a 1＋c 1>a 2＋c 2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a 1－c 1＝a 2－c 2；由a 1>a 2，得1a 1<1a 2，又a 1－c 1＝a 2－c 2，因此a 1－c 1a 1<a 2－c 2a 2，即有c 2a 2<c 1
a 1
，
a 1c 2<a 2c 1.因此，不正确的结论是D ，选D.
13．如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭
圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为________．
[答案] e 2
－1
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，
由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b 2＝1，作差得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2
，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a
2＝e 2
－1.
14．以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e 等于________．
[答案]
3－1
[解析] 由题意知，MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝|OF 2|＝c ，
又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ， 由椭圆的定义，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ，∴e ＝c
a
＝3－1.
15．(文)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b
2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E
相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列．
(1)求|AB |；
(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
[解析] (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3.
(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2
.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标满足方程组
⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ＋c ，x 2＋y 2
b 2＝1.
化简得(1＋b 2
)x 2
＋2cx ＋1－2b 2
＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 2
1＋b
2.
因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即4
3＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2 ＝41－b
2
1＋b
2
2
－41－2b
2
1＋b
2
＝
8b 4
1＋b
2
2
.
解得b ＝
22
. (理)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的
左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2
＝4x 相切，求直线l 的方程． [解析] (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)， 所以c ＝1，
将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1
b
2＝1，
即b 2
＝1，所以a 2
＝b 2
＋c 2
＝2， 所以椭圆C 1的方程为x 2
2
＋y 2
＝1. (2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 22＋y 2
＝1，y ＝kx ＋m ，
消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2
－2＝0
因为直线l 与椭圆C 1相切，
所以Δ1＝16k 2m 2
－4(1＋2k 2
)(2m 2
－2)＝0 整理得2k 2
－m 2＋1＝0，①
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得，
k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，
因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2
－4k 2m 2
＝0， 整理得km ＝1，② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝22，
m ＝2，或⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝－22，
m ＝－ 2.
所以直线l 的方程为y ＝
22x ＋2或y ＝－2
2
x － 2. 16．(文)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2
3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →
|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．
[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
由题意⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝
b 2＋
c 2，
a b ＝23
，
c ＝2.
解得a 2＝16，b 2
＝12.
所以椭圆C 的方程为x 2
16＋y 2
12
＝1.
(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 2
12
＝1，故－4≤x ≤4.
因为MP →
＝(x －m ，y )，
所以|MP →
|2
＝(x －m )2
＋y 2
＝(x －m )2
＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
16. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14
(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →
|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，
即当x ＝4时，|MP →
|2
取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.
又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．
(理)(2011·北京文，19)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63
，右焦点为(22，
0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．
(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
[解析] (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63
， 解得a ＝23， 又b 2
＝a 2
－c 2
＝4，
所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 212＋y
24
＝1.消去y 得
4x 2
＋6mx ＋3m 2
－12＝0.①
设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则
x 0＝x 1＋x 22
＝－3m 4
，
y 0＝x 0＋m ＝m 4
.
因为AB 是等腰△PAB 的底边，
所以PE ⊥AB ，
所以PE 的斜率k ＝2－m
4
－3＋
3m 4＝－1.
解得m ＝2，
此时方程①为4x 2
＋12x ＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝0，
所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB |＝32，
此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝32
2，
所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9
2
.
1．若椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2
＝1有相同的焦点，则
该椭圆的方程是( )
A.x 24＋y 22＝1
B.x 2
3＋y 2
＝1 C.x 22＋y 2
4＝1 D ．x 2
＋y 2
3
＝1
[答案] A
[解析] 抛物线y 2
＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2
－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，
∵c 2
＝a 2
－b 2
，∴b 2
＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
2．椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一
个顶点，若2DF 1→
＝DA →
＋DF 2→
，则该椭圆的离心率为( )
A.12
B.13
C.14
D.15
[答案] B
[解析] 由2DF 1→＝DA →＋DF 2→
知F 1是AF 2的中点， ∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝1
3
.
3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的
外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 [答案] A
[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝1
2(|PA |＋|PF 2|)＝a ，
∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．
4．若椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2
＝2bx 的
焦点F 分成3:1两段，则此椭圆的离心率为( )
A.12
B.13
C.22
D.33
[答案] C
[解析] 椭圆中c 2
＝a 2
－b 2
，
∴焦距2c ＝2a 2－b 2
，抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b
2，0，
由题意知|F 1F |＝3|FF 2|，∴|F 1F 2|＝4|FF 2|，
∴c ＝2|FF 2|，即c ＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
c －b 2，∴c ＝b ，
∴c 2
＝a 2
－c 2
，∴e ＝
22
. 5．(2011·银川二模)两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，且a >b ，则椭圆x
2
a
2
＋y 2
b
2＝1的离心率e 等于( ) A.32 B.
133
C.53
D.13
[答案] C
[解析] 由题意可知⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝5a ·b ＝6
，又因为a >b ，
所以解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝3
b ＝2
，所以椭圆的半焦距为c ＝5，
所以椭圆的离心率e ＝c
a ＝
5
3
，故选C. 6．(2012·沈阳市二模)已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点，点P 为椭
圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )
A.
x 236＋y 2
27
＝1(y ≠0) B.4x 2
9＋y 2
＝1(y ≠0) C.9x 2
4＋3y 2
＝1(y ≠0) D ．x 2
＋4y
2
3
＝1(y ≠0)
[答案] C
[解析] 椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1中，a 2＝4，b 2
＝3，
∴c 2
＝a 2
－b 2
＝1，∴焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设G (x ，y )，P (x 1
，y 1
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋1＋x 1
3
，y ＝y
1
3.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝3x ，
y 1＝3y .
∵P 在椭圆C 上，∴
3x
2
4
＋
3y 2
3
＝1，∴9x 2
4
＋3y 2
＝1.
当y ＝0时，点G 在x 轴上，三点P 、F 1、F 2构不成三角形，
∴y ≠0，∴点G 的轨迹方程为9x 2
4＋3y 2
＝1.(y ≠0)。