广东省佛山市顺德区普通高中2024届高三上学期教学质量检测(一)数学试题

B．当 0 时， DP 的长度的取值范围为 3, 2
C．当
1 2
时，存在点
P
，使得
BP
DP
D．当 2 1 时，存在点 P ，使得 DP 平面 ABC
三、填空题 13．5 名同学去听同时举行的 3 个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的 1 个讲
座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是
n
项的和为 Tn
，若
S3
9
，证明 Tn
1 2
．
五、问答题
18．已知函数 f x ex a x 1 ． (1)求函数 f x 的单调区间； (2)当 x 1, 时， f x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
19．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA PD 2 ，底面 ABCD 为菱形， AB 2 ， DAB 60 ，设点 E 、 F 分别为 AB 、 PC 的中点．
(1)判断直线 EF 与平面 PAD 的位置关系，并证明； (2)若四棱锥 P ABCD 的体积为 2 3 ，求平面 PBC 与平面 PAD 所成角的大小．
3
六、应用题 20．在十一黄金周期间，某商场规定单次消费超过 500 元的顾客可参与如下的游戏．活 动规则如下：现有甲，乙，丙三个游戏，每位参与者从中随机选择一个游戏，若不通过， 则游戏结束，若通过，则再从剩下的两个游戏中随机选择一个游戏，若不通过，则游戏 结束，若通过，则再进行最后一个游戏，最后一个游戏无论是否通过都结束游戏．每通 过一个游戏都可获得对应的奖金，且参与游戏的顺序由顾客确定，顾客是否通过每个游 戏相互独立，已知通过游戏的概率以及获得相应的奖金如下表所示
sinA sinB sinA sinB sinBsinC ．
(1)若 c 2b ，求角 A ； (2)证明： ① A 2B ； ② cosA cosB cosC 1 ．
八、计算题
22．已知点
P 1,1 为椭圆 C
：
x2 a2
y2 b2
1（a
b
0 ）内一点，过点 P 的直线 l 与 C 交
x2 y2 6y 28 0 的交点．则圆 M 的面积为（ ）
A． 5π
B． 25π
C． 10π
D． 25π 2
6．已知抛物线 C ： y2 4
3x 的焦点为
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
:
x2 a2
y2 b2
1
（ a 0,b 0 ）的两条渐近线分别交于 A, B 两点，若△ABF 是正三角形，则双曲线 的
2
垂直，则 ab 的最大值为（ ）
A．1
B．
1 2
C． 1 4
D． 1 4
4．在
ABC
中，点
D
在边
AB
上，且
BD
2DA ．点
E
满足
CD
2CE
．若
AB
AC
3，ห้องสมุดไป่ตู้
uuur uuur AB AC
3 ，则
AE
（
）
A． 3
B． 3 2
C． 1 3
D．3
5．已知圆 M 的圆心为 1, 2 ，且经过圆 Q ： x2 y2 6 x 4 0 与圆 O2 ：
离心率为（ ）
A． 21
3
B． 7 2
C． 2 3 3
7．已知
π 2
,
π
，
tan
2
4 3
，则
cos
3 4
π
sin
π 4
（
）
D． 7 3
A． 1 3
B． 3
C． 3
D．
1 3
8．已知函数 f x 的定义域为 R ，且 f x 1 f 3 x 0 ， f x 1 2 为奇函数，则
A．2, 4,6
B．0, 2, 4,6
C．1, 0, 2, 4, 6
D．1, 0, 2, 4
2．已知复数 z 与复数 z 22 8i 都是纯虚数，则 z （ ）
A． i
B． 2i
C． 2i
D． 2i
3．已知函数 f x 1 ax2 bx 1（ a 0 ）在点 1, f 1 处的切线与直线 l ： x y 1 0
A． 0 z y x 1
B．1 z y x
C． 0 z x2 y 1
D．1 y z x 2
12．如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AC 3，△BCD 是边长为 2 的正三角形，平面
ABC
平面
BCD
，点
P
满足
BP
BC
BA
，
0,1
，
0,1
，则（
）
A．当 1 时， PCD 的面积为定值 2 试卷第 2页，共 5页
第四名抽到的书是《夏侯阳算经》．老师说，每个名次都有人猜对，则积分第一名和第
五名分别抽到的书是
．
四、证明题
17．已知数列 an 的前
n
项的和为
Sn
，数列
Sn n
是公差为
1
的等差数列．
(1)证明：数列an是公差为 2 的等差数列；
试卷第 3页，共 5页
(2)设数列
1 anan1
的前
．
14．如图，圆台 O1O2 的上底面圆的半径为 2 ，下底面圆的半径为 2 2 ，若圆台 O1O2 的
外接球（上下底面圆在同一球面上）的表面积为 40π 且其球心 O 在线段 O1O2 上．则圆台
O1O2 的体积为
．
15．已知函数 f x
3cosx
sinx
1
（
0
）在区间
0,
2 3
有且仅有
3
广东省佛山市顺德区普通高中 2024 届高三上学期教学质量 检测（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集U x Z x 4 5 ， A 1,3,5, 7,8,9 ，则 ðU A （ ）
个零点，
则 的取值范围为
．
16．某中学高三 10 班为了激励学生学习数学的热情，对平时数学课堂展示及分享获得
的积分位于班级前 5 名的同学每位奖励一本我国古代数学名著，每位同学从《九章算术》、
《周脾算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》5 本名著中随机抽取一本．公
布结果前，老师让甲、乙、丙、丁、戊五位同学猜一猜积分班级前 5 名的同学各人抽到
的是什么书．甲说：第三名抽到的书是《周脾算经》，第五名抽到的书是《孙子算经》；
乙说：第四名抽到的书是《五经算术》，第五名抽到的书是《夏侯阳算经》；丙说：第一
名抽到的书是《九章算术》，第四名抽到的书是《五经算术》；丁说：第一名抽到的书是
《孙子算经》，第二名抽到的书是《周脾算经》；戊说：第三名抽到的书是《九章算术》，
于 A, B 两点．当直线 l 经过 C 的右焦点 F2 3, 0 时，点 P 恰好为线段 AB 的中点．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)椭圆的光学性质是指：从椭圆的一个焦点出发的一束光线经椭圆反射后会经过椭圆的
另一个焦点．设从椭圆 C 的左焦点 F1 出发的一束光线经过点 P ，被直线 l 反射，反射后
游戏
甲乙丙
通过的概率
0.8 0.6 0.4
获得的奖金金额/元 100 200 300 (1)求参与游戏的顾客没有获得奖金的概率； (2)现有王先生、李先生两名顾客分别以甲→乙→丙、丙→乙→甲的顺序进行游戏，请问 哪位顾客获得奖金的期望值较大？
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七、证明题 21．在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知
试卷第 1页，共 5页
f 2023 （ ）
A． 2
B． 1
C．1
D．2
二、多选题 9．甲、乙两台机床同时生产同一种零件，在 10 天中，两台机床每天生产的次品数分别 为：
甲：0，1，2，2，0，2，3，3，3，4：乙：1，3，1，1，0，2，0，1，0，1． 则下列说法正确的是（ ）
A．甲台机床生产的次品数的平均值大于乙台机床生产的次品数的平均值 B．甲台机床生产的次品数的方差大于乙台机床生产的次品数的方差 C．从这两组次品数的平均数和方差来看，乙台机床的性能更好 D．从这两组次品数的平均数和方差来看，甲台机床的性能更好
10．已知数列an 的前 n 项的和为 Sn ， S1 4 ， S2 8 ， 4Sn Sn1 4Sn1 n 2 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． S4 32
B．an1 2an 是等比数列
C．
an
4, n 2n1
1 4,n
2
D．
an
4, n 1 2n, n 2
11．已知 log2 x log3 y log5 z ，则下列不等式可能成立的是（ ）
的光线经过椭圆二次反射后恰好经过点 F1 ，由此形成的三角形称之为“光线三角形”．求 此时直线 l 的方程，并计算“光线三角形”的周长．
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