(典型题)初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测题(含答案解析)(1)

一、选择题
1．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
2．在一个四边形ABCD 中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC 与BD 需要满足的条件是（ ）
A ．垂直
B ．相等
C ．垂直且相等
D ．不再需要条件
3．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．若要使四边形ABCD 为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A ．60AO
B ∠=︒ B ．A
C B
D = C ．AC BD ⊥ D ．AB BC = 4．如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，5AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的
E 处，折痕为PQ ，当点E 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点E 在BC 边上可移动的最大距离为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
5．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，90C ∠=︒，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（ ）．
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
6．如图，在平面直角坐标系中，将边长为a 的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式连续旋转2021次得到正方形202120212021OA B C ，那么点2021A 的坐标是（ ）
A ．22,22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．22,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．22,22a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．22,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 7．已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，则菱形ABCD 的周长为（ ）
A ．30
B ．20
C ．15
D ．12
8．如图，正方形ABCD 中，6AB =，G 是BC 的中点．将ABG 沿AG 对折至AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3.5
D ．4 9．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于
（ ）
A ．40
B ．7
C ．24
D ．20
10．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是（ ）
A ．（2，10）
B ．（﹣2，0）
C ．（2，10）或（﹣2，0）
D ．（10，2）或（﹣2，0）
11．如图，AC ，BD 是四边形ABCD 对角线，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，连接EM ，MF ，NE ，要使四边形EMFN 为正方形，则需要添加的条件是（ ）
A ．,A
B CD AB CD =⊥
B ．,AB CD AD B
C == C ．,AB C
D AC BD =⊥
D ．,//AB CD AD BC = 12．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原
来面积相等的正方形，则（ ）
A ．甲、乙都可以
B ．甲、乙都不可以
C ．甲不可以、乙可以
D ．甲可以、乙不可以
二、填空题
13．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB ＝1，AC ＝8，以AC 为一边作等腰直角△ACD ，使∠CAD ＝90°，连接BD ，则线段BD 的长度为________．
14．如图，在菱形ABCD 中，2,60AB BAD =∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形,AEFG 点E 在AC 上．EF 与CD 交于点,P 则PE 的长是____．
15．如图，已知正方形OPQR 的顶点O 是正方形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，正方形OPQR 绕点O 逆时针旋转一定角度后，△OPR 能与△OBC 重合，已知∠BOR=55°，那么旋转角等于________．
16．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA 1A 2A 3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA 1、A 1A 2、A 2A 3、A 3A 4…的圆心依次是B 、C 、D 、A 循环，则点A 18的坐标是______________．
17．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若∠DHO=20°，则∠HDB 的度数是________．
18．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为()2,1--点B 坐标为________．
19．正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，正方形3332A B C C ，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，若点1A 、2A 、3A 和1C 、2C 、3C …分别在直线1y x =+和x 轴上，则点
2020B 的坐标是__________．
20．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA=OC ，OB=OD ．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD 成为菱形．
三、解答题
21．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：
（问题呈现）
（1）如图1，ABC 中分别以,AB AC 为边向外作等腰ABE △和等腰ACD △，使AE AB =，AD AC =,BAE CAD ∠=∠，连结,BD CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．
（问题再探）
（2）如图2，ABC 中分别以,AB AC 为边向外作等腰Rt ABE △和等腰Rt ACD △，90EAB CAD ∠=∠=︒，连结,BD CE ，若4,2,45AB BC ABC ==∠=︒，求BD 的长．
（问题拓展）
（3）如图3，四边形ABCD 中，连结AC ，CD BC =，60BCD ∠=︒，30BAD ∠=︒，15AB =，25AC =，请直接写出AD 的长．
22．综合与实践
已知四边形ACBD 与AEFG 均为正方形．
数学思考：
（1）如图1，当点E在AB边上，点G在AD边上时，线段BE与DG的数量关系是
______，位置关系是______．
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
拓展探索：
（3）如图3，若点D，E，G在同一直线上，且222
==，则线段BE长为
AB AE
_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）．
23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”如下图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A的“正轨点”的坐标是．
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标．
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x＋2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x＋m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
24．如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD边在y轴上，OB=15，OD=9，在BC上取一点E，使△CDE沿DE折叠后，点C落在x轴上，记作点F．
（1）求点F 的坐标；
（2）求点E 的坐标．
25．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，点P 是AB 上的动点，联结CP ，并以CP 为边作等边CPE △（点E 在线段CP 上方），M 是线段AB 的中点，联结EM ．
（1）请猜想：线段EM 与PB 的数量关系？线段EM 与CB 的位置关系？
（2）请证明上题中你的猜想；
（3）请猜想：点P 在BM 上移动时，四边形ECPM 的面积是否发生变化？并加以说明．
26．如图，正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上点A 表示的数为-1，正方形ABCD 的面积为16.
（1）数轴上点B 表示的数为 ；
（2）将正方形ABCD 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为''''A B C D ，移动后的正方形''''A B C D 与原正方形ABCD 重叠部分的面积记为S.
① 当S =4时，画出图形，并求出数轴上点'A 表示的数；
② 设正方形ABCD 的移动速度为每秒2个单位长度，点E 为线段'AA 的中点，点F 在线段'BB 上，且. 经过t 秒后，点E ，F 所表示的数互为相反数，求出t 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．
【详解】
解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，
故选C．
【点睛】
此题主要考查菱形的性质：四边相等．
2．A
解析：A
【分析】
根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．
【详解】
解：如图，
∵四边形EFGH 是矩形，
∴∠FEH ＝90°，
又∵点E 、F 、分别是AD 、AB 边的中点，
∴EF 是三角形ABD 的中位线，
∴EF ∥BD ，
∴∠FEH ＝∠OMH ＝90°，
又∵点E 、H 分别是AD 、CD 各边的中点，
∴EH 是三角形ACD 的中位线，
∴EH ∥AC ，
∴∠OMH ＝∠COB ＝90°，
即AC ⊥BD ．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．
3．B
解析：B
【分析】
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．
【详解】
∵在四边形ABCD 中， OA OC =，OB OD =
∴四边形ABCD 是平行四边形
若添加60AOB ∠=︒，无法判断，故A 不符合题意；
若添加AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；
若添加AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故C 不符合题意；
若添加AB BC =，则四边形ABCD 是菱形，故D 不符合题意；
故选B ．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据翻折变换，当点Q 与点D 重合时，点E 到达最左边，当点P 与点B 重合时，点E 到达最右边，所以点E 就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB 的长度，然后两数相减就是最大距离．
【详解】
解：如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得
ED=AD=5，
在Rt △ECD 中，ED 2=EC 2+CD 2，
即52=（5-EB ）2+32，
解得EB=1，
如图2，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，
∵3-1=2，
∴点E 在BC 边上可移动的最大距离为2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E ，根据角平分线和平行线性质，推导得5AD AB ==；通过判定四边形AECD 为矩形，得5EC AD ==，4AE CD ==；再根据勾股定理计算，得BE ，从而得到四边形ABCD 的周长．
【详解】
如图，过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E
∵BD 平分ABC ∠
∴ABD CBD ∠=∠
∵//AD BC
∴ADB CBD ∠=∠
∴ABD ADB ∠=∠
∴5AD AB ==
∵AE BC ⊥，90C ∠=︒
∴//AE DC
∴四边形AECD 为矩形
∴5EC AD ==，4AE CD ==
又∵AE BC ⊥，即90AEB =︒∠ ∴223BE AB AE =-=
∴四边形ABCD 的周长22AB BE EC CD AD =++++=
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线、角平分线、等腰三角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解． 6．C
解析：C
【分析】
由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】
解：∵四边形OABC 是正方形，且OA=1，
∴A （0，a ），
∵将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，
∴A 1)，A 2（a ，0），A 3)，A 4（0，-a ）…， 发现是8次一循环，
∵2021÷8=252…5，
∴点A 2021的坐标为,⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
7．B
解析：B
【分析】
由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，4AO =，3BO =，然后利用勾股定理求出AB=5，即可求出周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，118422AO AC =
=⨯=，116322
BO BD ==⨯=； 在直角△ABO 中，由勾股定理，得 22435AB ,
∴菱形的周长为：4520⨯=；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的性质进行解题． 8．A
解析：A
【分析】
连接AE ，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △AFE ≌Rt △ADE ，在直角△ECG 中，根据勾股定理求出DE 的长．
【详解】
解：连接AE ，
∵正方形ABCD 中，6AB =
∴AB=AD=BC=CD 6=，∠B=∠D=90°，
由折叠的性质得：AB =AF 6=，∠B=∠AFG=90°，BG=GF
∴AD=AF ，∠AFE=180°－∠AFG=90°=∠D
在Rt △AFE 和Rt △ADE 中，
∵AE AE AF AD =⎧⎨=⎩
∴Rt △AFE ≌Rt △ADE ，
∴EF=DE ，
设DE=FE=x ， EC=6−x ．
∵G 是BC 的中点
∴BG=CG=
12
BC =3， ∴GF=BG=3 在Rt △ECG 中，根据勾股定理，得：
(6−x)2+9=(x+3)2，
解得x=2．
则DE=2
故选A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用．证明Rt △AFE ≌Rt △ADE 是解答本题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142
AO AC ==，AC ⊥BD ， 则在Rt △ABO 中，根据勾股定理得：22345AB +=，
∴菱形ABCD 的周长=4×5=20．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10．C
解析：C
【分析】
分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【详解】
解：∵点D （5，3）在边AB 上，
∴BC ＝5，BD ＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D 在x 轴上，O D ＝2，
所以，D （﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D 到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2，
所以，D （2，10），
综上所述，点D 的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
11．A
解析：A
【分析】
证出EN 、NF 、FM 、ME 分别是ABD △、BCD 、ABC 、ACD △的中位线，得出////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12
ME CD NF ==，证出四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，得出平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，即可得出菱形EMFN 是正方形．
【详解】 解：点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，
EN ∴、NF 、FM 、ME 分别是ABD △、BCD 、ABC 、ACD △的中位线， ∴////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM =
=，12ME CD NF ==， ∴四边形EMFN 为平行四边形，
当AB CD =时，EN FM ME NF ===，
∴平行四边形EMFN 是菱形；
当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，
则90MEN ∠=︒，
∴菱形EMFN 是正方形；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练
掌握三角形中位线定理是解题的关键．
12．A
解析：A
【解析】
试题分析：剪拼如下图：
乙
故选A
考点：剪拼，面积不变性，二次方根
二、填空题
13．或【分析】AC作为直角边有两种情况需要分情况讨论画出图后进行计算【详解】解：情况一：延长AB交CD于E∠BAC＝45°∠CAD＝90°所以AE是等腰直角△ACD的高线中线所以CE=DE因为∠BAC＝
513
【分析】
AC作为直角边，有两种情况，需要分情况讨论，画出图后进行计算．
【详解】
解：情况一：延长AB交CD于E
∠BAC ＝45°，∠CAD ＝90°
所以AE 是等腰直角△ACD 的高线，中线
所以，AE CD ⊥，CE=DE 因为8AC ＝，AE CD ⊥，∠BAC ＝45°
所以△ACE 也是等腰直角三角形，根据勾股定理，AE=CE=2
所以BE=AE-AB=2-1=1
又因为DE=CE=2，AE CD ⊥
所以，BD=22145BE DE +=+=
情况二：延长直线AB ，分别过C 、D 作垂线，交直线AB 于F 、E ．
与情况一类似，可以证出CF=AF=2，BF=AF-AB=2-1=1
所以，BE=EF-BF ；
因为∠BAC ＝45°，CF AB ⊥
所以，∠ACF ＝180°-∠BAC-∠F=45°
因为△ACD 是等腰直角三角形，∠CAD ＝90°
所以∠ACD ＝45°
所以 ，∠FCD ＝∠ACD+∠ACF=45°+45°=90°
又因为,DE AB CF AB ⊥⊥
所以四边形DEFC 是矩形
所以DE=CF=2，EF=DC ；
因为在等腰直角△ACD 中，∠CAD ＝90°，8AC ＝
所以，根据勾股定理，CD=4
所以，BE=EF-BF=DC-BF=4-1=3 因此，22223213BD DE BE =+=+=
故答案为5或13．
【点睛】
这道题考察的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握这些知识点，画出辅助线，是解题的关键．
14．【分析】连接BD 交AC 于O 由菱形的性质得出CD=AB=2∠BCD=∠BAD=60°由直角三角形的性质求出OB=AB=1由直角三角形的性质得出由旋转的性质得出AE=AB=2∠EAG=∠BAD=60°求 解析：31-
【分析】
连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，
1ACD 302
︒∠=∠=∠=BAC BAD ，由直角三角形的性质求出OB=12AB=1，由直角三角形的性质得出23AC =，由旋转的性质得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE=AC-AE 232=-，证出∠CPE=90°，由直角三角形的性质得出PE 的长
【详解】
解：连接BD 交AC 于O ，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，1ACD 302︒∠=∠=
∠=BAC BAD ，OA=OC ，AC ⊥BD ， ∴112OB AB =
= ∴33,==OA OB
∴23AC =由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，
∴232,=-=CE AC AE
∵四边形AEFG 是菱形，
∴EF ∥AG ，
∴∠CEP=∠EAG=60°，
∴∠CEP+∠ACD=90°，
∴∠CPE=90°，
∴112
PE CE ==
1
【点睛】
本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
15．35°【分析】利用正方形的性质得BA=BC ∠ABC=90°然后根据旋转的定义可判断旋转角为35°【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BOC=90°∵四边形OPQR 是正方形∴∠POR=90°∴∠P
解析：35°
【分析】
利用正方形的性质得BA=BC ，∠ABC=90°，然后根据旋转的定义可判断旋转角为35°．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠BOC=90°，
∵四边形OPQR 是正方形，
∴∠POR=90°，
∴∠POB=90°-∠BOR=35°，
∵△OPR 逆时针旋转后能与△OBC 重合，
∴旋转角∠POB=35°；
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
16．(－371)【分析】先求出A1（-1-3）A2（-51）A3（17）A4（9-1）再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1二象限纵坐标都为1三象限横坐标都为-1四象限纵坐标都为-1；相
解析：(－37，1)
【分析】
先求出A 1（-1，-3），A 2（-5，1），A 3（1,7），A 4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A 18在第二象限，横坐标为：-5-4×8计算即可写出A 18的坐标．
【详解】
正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)． AB=1-（-1）=2，A 1与B 平行y 轴，A 1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A 1（-1，-3） CA 1=1-（-3）=4，A 2与C 平行x 轴，A 2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A 2（-5，1）
DA 2=1-（-5）=6，A 3与D 平行y 轴，A 3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A 3（1,7） AA 3=7-（-1）=8，A 4与A 平行x 轴，A 4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A 4（9，-1） A(1，﹣1)，A 1（-1，-3），A 2（-5，1），A 3（1,7），A 4（9，-1），A 5（-1，-11，A 6（-13，1），
每四次变化回到相同的象限，
第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1，
相应变化的坐标一周差8，
18÷4=4…2，A 18在第二象限，
4×8=32，四周差32，
A 18的横坐标为：-5-4×8=-37，
A 18（-37，1），
故答案为：（-37，1）．
【点睛】
本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．
17．20°【分析】根据菱形的性质得出OB=OD 根据直角三角形斜边的一半等于斜边的一半得出OH=OD 即可得出∠HDB=∠DHO=20°【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形∴OB=OD ∵DH ⊥AB 于点H ∴OH
解析：20°
【分析】
根据菱形的性质得出OB=OD ，根据直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，得出OH=OD ，即可得出∠HDB=∠DHO=20°．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OB=OD ，
∵ DH ⊥AB 于点H ，
∴OH=12
BD=OD ， ∴ ∠HDB=∠DHO=20°．
故答案为：20°．
【分析】
此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△OBH 是等腰三角形是关键．
18．【分析】过点作轴于过点作轴过点作交CE 的延长线于先证明得到根据点的坐标定义即可求解【详解】解：如图过点作轴于过点作轴过点作交CE 的延长线于四边形是正方形易求又∴点的坐标为点到轴的距离为点的坐标为故答 解析：()3,1-
【分析】
过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．先证明AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，得到1AD CE BF ===，
2OD OE CF ===，根据点的坐标定义即可求解．
【详解】
解：如图，过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．
()2,1C --，
2OE ∴=，1CE =．
四边形OABC 是正方形，
OA OC BC ∴==．
易求AOD COE BCF ∠=∠=∠．
又90ODA OEC F ∠=∠=∠=︒
∴AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，
1AD CE BF ∴===，2OD OE CF ===，
∴点A 的坐标为()1,2-，211EF =-=，
点B 到y 轴的距离为123+=，
∴点B 的坐标为()3,1-．
故答案为：()3,1-
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
19．【分析】根据直线解析式先求出OA1=1再求出第一个正方形的边长为2第三个正方形的边长为22得出规律即可求出第n 个正方形的边长从而求得点Bn 的坐标即可求得点B2020的坐标【详解】解：∵直线y=x+1
解析：20202019201921,2()B ﹣
【分析】
根据直线解析式先求出OA 1=1，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第n 个正方形的边长，从而求得点B n 的坐标，即可求得点B 2020的
坐标．
【详解】
解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
∴OA1=1，
∴B1（1，1），
∵OA1=1，OA=1，
∴∠OAA1=45°，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=21，
∴B2（3，2）
同理得：A3C2=4=22，…，
∴B3（7，4）；
B4（24-1，24-1），即B（15，8），
∴B n（2n-1，2n-1），
∴B（22020-1，22019）
故答案为（22020-1，22019）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解题的关键．
20．AB=AD【分析】由条件OA=OCAB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定【详解】添加AB=AD
解析：AB=AD.
【分析】
由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定．
【详解】
添加AB=AD，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为AB=AD．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
三、解答题
21．（1）BD CE =，理由见解析；（2）6；（3）20
【分析】
（1）首先证明EAC BAD ∠=∠，再证明()AEC ABD SAS △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得到AE AB =，AC AD =，BAE CAD ∠=∠，证明()EAC BAD SAS △≌△，得到CE BD =，再根据勾股定理计算即可；
（3）连接BD ，把△ABD 绕点D 逆时针旋转60︒得到△ECD ，连接AE ，由旋转的性质得到EC=AB=15，△ADE 是等边三角形，由勾股定理可求得AE 的长，即可得解；
【详解】
解：（1）BD CE =，理由如下：
∵BAE CAD ∠=∠，
∴EAC BAD ∠=∠，
又∵AB AE =，
AD AC =，
∴()AEC ABD SAS △≌△，
∴BD CE =；
（2）∵等腰Rt ABE 和等腰Rt ACD ，
∴AE AB =，AC AD =，BAE CAD ∠=∠，
∴EAC BAD ∠=∠，
∴()EAC BAD SAS △≌△，
∴CE BD =，
∵45ABC EBA ∠=∠=︒，
∴90EBC ∠=︒，
∵4AB AE ==， ∴224432EB =+=，
在Rt EBC 中，
22(32)26EC =+=，
∴6BD =；
（3）∵CD BC =，60BCD ∠=︒，
∴△BCD 是等边三角形，
连接BD ，把△ABD 绕点D 逆时针旋转60°得到△ECD ，连接AE ，
则EC=AB=15，△ADE 是等边三角形，
∴AE AD =，60DEA ∠=︒，
∵30BAD ∠=︒，
∴306090CEA ∠=︒+︒=︒，
在Rt △AEC 中，
2222251540020AE AC CE =--==，
∴20AD AE ==．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，准确结合勾股定理和旋转的性质计算是解题的关键． 22．（1）BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立．证明见解析；（371
【分析】
（1）根据正方形的性质得到AB AD =，AG AE =，90A ∠=︒，即可证明BE DG =，BE DG ⊥；
（2）延长BE ，与DG 交于点H ，证明BAE DAG ≌，得BE DG =，
ABE ADG ∠=∠，再由()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒即可证明结论； （3）过点A 作AM BE ⊥于点M ，由ABE ADG ≅△△，证明AEM △是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM 和EM 的长，再算出BM 的长，即可得到BE 的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ACBD 与AEFG 均为正方形，
∴AB AD =，AG AE =，
∴AB AE AD AG -=-，即BE DG =，
∵90A ∠=︒，
∴BE DG ⊥，
故答案是：BE DG =，BE DG ⊥；
（2）成立，
如图，延长BE ，与DG 交于点H ，
∵四边形ABCD 与AEFG 均为正方形，
∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒，
∴BAD EAD EAG EAD ∠+∠=∠+∠，
∴
BAE DAG ∠=∠，
∴BAE DAG ≌，
∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠， ∵18090OBA BOA BAO ∠+∠=︒-∠=︒，DOH BOA ∠=∠，
∴90ADG DOH ∠+∠=︒，
∴()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒，
∴DG BE ⊥；
（3）如图，过点A 作AM BE ⊥于点M ，
由（2）知ABE ADG ≅△△，
∵GE 是正方形AEFG 的对角线，
∴45AEB AGD ∠=∠=︒，
则AEM △是等腰直角三角形， ∵222AB AE == ∴2AE =
∵222AM EM AE +=， ∴1AM EM ==， ∴22817BM AB AM =-=-= ∴71BE BM EM =+=
， 71．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．
23．（1）①（-3，-1）或（2，2）；②（-1，1）；（2）14,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
或（-3，-4）；（3）22m -<<且0m ≠
【分析】
（1）①根据题中“正轨点”的定义求解即可；
②根据题中“正轨点”的定义，写出一个点A 的“正轨点”的坐标，验证即可；
（2）根据点B （1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，列出方程组即可得出结果；
（3）分情况讨论①若H 在C 的右上方；②若H 在C 的左上方；③若H 在C 的左下方；④若H 在C 的右下方，解得即可．
【详解】
解：（1）①由图得点A 与点（－3，－1），（2，2）的连线都可以是边与坐标轴垂直的正方形的对角线，
∴点A 的“正轨点”的坐标（-3，-1），（2，2）；
②（-1，1），∵(3-1)×[]1(1)--=4，
∴（-1，1）符合要求；
（2）∵点B （1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，
∴221y x y x =+⎧⎨=-+⎩或221
y x y x =+⎧⎨=-⎩． ∴1343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或34x y =-⎧⎨=-⎩ ∴点B 的“正轨点”的坐标是14,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
，（-3，-4） （3）设C 的“正轨点”为H(n,2n+m)，
①若H 在C 的右上方，此时m ＜0，
则n-m=2n+m ，n=-2m ，
∴H(-2m ，-3m)，
∵(-2m-m)(-3m-0)＜4，
∴9m²＜4，m²＜
49， ∴-2233
m <<， ∴203
-<<m ； ②若H 在C 的左上方，此时m ＞0，
m-n=2n+m ，3n=0,n=0，
∴H(0，m)，而C(m ，0)，
∴m×n ＜4，
∴-2＜m ＜2，
∴02m <<；
③若H 在C 的左下方，此时m ＞0，
m-n=0-(2n+m)，n=-2m ，
∴H(-2m,-3m)，而C(m ，0)，
∴(m+2m)(0+3m)＜4，
∴9m²＜4，m²＜
49， ∴-2233
m <<， ∴203m <<
； ④若H 在C 的右下方，此时m ＜0，
n-m=0-(2n+m)，n=0，∴H(0，m)，而C(m,0)，
∴(0-m)(0-m)＜4，m²＜4，
∴-2＜m ＜2，
∴-2＜m ＜0；
综上所述：22m -<<且0m ≠．
【点睛】
本题考查了新定义的理解和应用，正方形的性质以及一次函数解析式，解题的关键是：运用分类讨论的思想解决问题．
24．（1）点F(12，0)；（2）点E(15，4) ．
【分析】
（1）由四边形OBCD 是长方形可得CD=OB=15、BC=OD=9、∠DOB=∠OBC=900，由折叠的性质可得DF=CD=15，然后运用勾股定理求得OF ，即可确定F 点的坐标；
（2）运用线段的和差可得BF=OB-OF=3，再由折叠的性质可得CE=EF, 设BE=x ，则CE= =9-x ，然后运用勾股定理求得x 即可解答．
【详解】
解：（1）∵四边形OBCD 是长方形
∴CD=OB=15，BC=OD=9，∠DOB=∠OBC=900
由折叠△CDE 得△FDE 可知：DF=CD=15 ∴
12OF ===
∴点F （12，0）；
（2）由（1）得OF=12
∴BF=OB-OF=15-12=3
由折叠可知：CE=EF
设BE=x ，则CE=EF=BC-BE=9-x
∴()2
2293x x -=+，解得x=4 ∴点E （15，4）．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理的应用，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
25．（1）EM PB =；//EM CB ；（2）见解析；（3）面积不变；见解析
【分析】
（1）连接CM ，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得CM=CB ，然后根据题意运用SAS 定理证明△ECM ≌△PCB ，从而求得EM 与PB 的数量及位置关系；
（2）利用（1）中的思路进行推理证明；
（3）结合全等三角形的的性质可得△ECM 与△PCB 面积相等，从而四边形ECPM 的面积即△MCB 的面积，根据题意可求其面积为定值，从而得出结论
【详解】
解：（1）EM PB =；//EM CB
（2）连接CM
∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，M 是线段AB 的中点
∴CM=
12
AB BM =，∠B=60° ∴△CBM 是等边三角形
∴CM=CB ，∠MCB=60° 又∵以CP 为边作等边CPE △
∴CE=CP ，∠ECP=60°
∴∠ECM+∠MCP=∠PCB+∠MCP
∴∠ECM =∠PCB
在△ECM 和△PCB 中EC PC ECM PCB MC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ECM ≌△PCB
∴EM=PB ，∠EMC=∠B=60°
又∵∠MCB=60°
∴∠EMC=∠MCB
∴//EM CB
（3）过点M 作MN ⊥BC
由（2）已证△MCB 为等边三角形
∴MB=BC=2
∵MN ⊥BC
∴∠BMN=
1302BMC ∠=
∴BN=112
BM = ∴在Rt △MCB 中，223MN BM BN =
-= ∴1123322
BCM S BC MN ==⨯=△ 又∵△ECM ≌△PCB
∴点P 在BM 上移动时，
3ECM MCP PCB MCP BCM ECPM S S S S S S =+=+==△△△△△四边形
即四边形ECPM 的面积不会发生变化．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线及含30°的直角三角形的性质，题目难度不大有一定的综合性，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 26．（1）－5；（2）– 4或2；（3）t=4．
【分析】
(1)、根据正方形的面积得出AB=4，根据点A 所表示的数得出点B 所表示的数；
(2)、①、根据题意得出矩形的一边长为4，要使面积为4，则另一边长为1，然后根据向左移动和向右移动两种情况分别画出图形得出答案； ②、用含t 的代数式分别表示出点E 和点F 所表示的数，然后根据互为相反数的两个数的和为零列出方程得出答案．
【详解】
解：(1)、正方形ABCD 的面积为16，
∴AB=4，
点A 表示的数为-1，
∴AO=1，
∴BO=5，
∴数轴上点B 表示的数为：–5；
(2)、①∵正方形ABCD 的面积为16，
∴边长为4．
当S=4时，分两种情况：
（I ）若正方形ABCD 向左平移，如图1，
重叠部分中的A ＇B =1，
∴AA ＇=3．
则点A ＇表示–1–3= – 4．
（II ）若正方形ABCD 向右平移，如图2，
重叠部分中的AB ＇=1，
∴AA ＇=3．
则点A ＇表示–1+3= 2，
综上所述：点A ＇表示的数为– 4或2．
图1 图2
②t=4．
理由如下：
当正方形ABCD 沿数轴负方向运动时，点E 、F 表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；
当点E 、F 所表示的数互为相反数时，正方形ABCD 沿数轴正方向运动，如图3，
11222
AE AA t t '==⨯=，点A 表示-1， ∴点E 表示的数为1t -+，
1112442
BF BB t t '==⨯=，点B 表示-5， ∴点F 表示的数为152
t -+， 点E 、F 所表示的数互为相反数，
11502t t ⎛⎫∴-++-+= ⎪⎝
⎭ 解得4t =．
【点睛】
本题主要考查的就是数轴上的动点问题以及在数轴上两点之间的距离计算，属于中等难度的题型，解答这个问题最关键的就是要明确两点之间的距离方法．在用代数式来表示点所表示的数时，同学们一定要注意向右移动，则用原数加上移动的距离；向左移动，则用原数减去移动的距离．。