王思俭冲刺阶段高考数学复习中的热点与冷点

讲座提纲
冲刺阶段高考数学复习中的热点与冷点
江苏省苏州中学 王思俭
一、高考数学试题中的冷点回顾
1.07年四点共面问题；方程的解集问题.
2.08年数列中反证法；探求充要条件、证明函数的单调性（含有绝对值的函数）；三角形数表.
第10题：将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
. . . . .
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲
第19题（1）设n a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当4=n 时，求d
a 1
的数值；②求n 的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
n b b b ,......,21，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列.
第20题：若1
2
12()3
,()23
x p x p f x f x --==⋅，x R ∈，12,p p 为常数，
且⎩⎨⎧>≤=)()(),()
()(),()(212
211x f x f x f x f x f x f x f （1）求)()(1x f x f =对所有实数x 成立的充要条件（用21,p p 表示）
（2）设b a ,为两实数，b a <且),(,21b a p p ∈若)()(b f a f =
求证：)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为
2
a
b -（闭区间[]n m ,的长度定义为m n -）。

3.09年数列中项的讨论类问题；含有绝对值的函数的最值问题、解一元二次不等式问题.
第13题如图，在平面直角坐标系xoy 中，
1212,,,A A B B 为
椭圆22
2
21(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线
12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭
圆的离心率为 ★ .
第17题：设
{}n a 是公差不为零的等差数列，
n S 为其前n 项和，满足
2222
234577a a a a ,S +=+=
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
（2）试求所有的正整数m ，使得1
2m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.?
第20题：设a 为实数，函数
2
()2()||f x x x a x a =+--.
若
(0)1f ≥，求a 的取值范围；
求
()f x 的最小值；
设函数
()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.
4.直线与圆锥曲线的交点、动点轨迹；数列与不等式问题；平面向量与平行四边形；点到平面距离；抽象函数；不等式的基本性质.
第12题设实数x,y 满足3≤2
xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43
y
x 的最大值是 ▲ .
第15题：在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长
(2)设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值
第16题：如图，四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900
(1)求证：PC⊥BC
(2)求点A 到平面PBC 的距离
第17题：某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H 的值
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大
第18题：在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15
92
2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；
（2）设3
1
,221=
=x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.
第19题：设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n
S 是
公差为d 的等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；
（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立.求证：c 的最大值为
2
9
.
第20题：设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数
)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P .
(1)设函数)(x f )1(1
2
)(>+++
=x x b x h ，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P
求函数)(x f 的单调区间
(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定
为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，
若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围
二、高考数学复习中的冷点排查
1.集合与函数
（1）集合的运算（特别是新定义的相关运算、讨论集合中元素个数、某数或式子是否为集合中的元素）.
（1）抽象函数（研究函数的性质、对称性、周期性）.
（2）导数中曲线的切线问题（过一点作曲线的切线，讨论切线的条数、或由已知切线的条数求参数的取值；切线与坐标轴所围成三角形的面积、或由切线所产生的线段长度等）. 例 1.已知集合},,,{21n a a a A Λ=中的元素都是正整数，且n a a a <<<Λ21，对任意的
,,A y x ∈且x y ≠，有25
xy
y x ≥
-．
（1）求证：
25
1111-≥-n a a n ； （2）求证：9≤n ；
（3）对于9=n ，试给出一个满足条件的集合A ．
例2. 设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点
将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式
M x
f x f n
i i i
≤-∑=-1
1
)()(（n i ,,2,1Λ=）恒成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.
（1）函数2)(x x f =在]1,0[上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数)(x f 是],[b a 上的单调递减函数，证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数；
（3）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的1x 、],[2b a x ∈ 时，
2121)()(x x k x f x f -⋅≤-.证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.
2．三角与平面向量
（1）解斜三角形（测量类问题、正弦定理、余弦定理）.
（2）三角函数求值（给角求值、给式求值，主要考查三角恒等变换、二倍角公式、拆角变换）.
（3）平面向量——平面几何中的共线向量、向量的数量积（涉及三角形、三角函数、面积、线段长度等）.
F
C
A
例3.已知锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别是
,,a b c .且222()tan b c a A +-=.
（1）求角A
的大小;
（2）求sin(10)[110)]A A +︒⋅-︒的值.
3.立体几何
（1）求空间角与距离、空间几何体的侧面积与体积、几何体中的截面面积.
例 4.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，
2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．
（1）求证：BM ∥平面ADEF ；
（2）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；
（3）求平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角
的余弦值．
4.数列
（1）数列中的项的讨论类问题、数列与不等式（主要是由数列建立含有参数不等式或含有
(1)n -，需要分类讨论）、数列分组（三角形数表、回形表等）.
例5.对于数列{}n a ，若存在一个常数M ，使得对任意的*,||n n N a M ∈≤都有，则称{}n a 为有界数列.
（1）判断2sin n a n =+是否为有界数列并说明理由.
（4）是否存在正项等比数列{},n a 使得{}n a 的前n 项和n S 构成的数列{}n S 是有界数列？
若存在，求数列{}n a 的公比q 的取值范围；若不存在，请说明理由.
（3）判断数列1111
(2)35721
n a n n =
++++≥-L 是否为有界数列，并证明. 例6. 已知数列{}n b 满足11124n n b b +=
+，且17
2
b =，n T 为{}n b 的前n 项和. (1)求证：数列1
{}2
n b -
是等比数列，并求{}n b 的通项公式； (2)如果对任意*N n ∈，不等式
7221212-≥-+n T n k
n
恒成立，求实数k 的取值范围.
5.解析几何
（1）直线与圆锥曲线的位置关系（与坐标轴平行的特殊直线、过曲线上一点的直线、具体直线与具体曲线的交点等）.
（2）简单的轨迹方程（利用圆锥曲线的定义、圆的定义判断动点的轨迹形状，再写方程；利用代入法求动点轨迹方程）.
例7.设,A B 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,2在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P 为直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点
M ，证明：△MBP 为钝角三角形．
例8.已知ABC ∆的边AB 边所在直线的方程为3x -
(20)M ，满足MC BM =, 点(11)T -，在AC 且满足0=⋅AB AT ．
（1）求AC 边所在直线的方程；
（2）求ABC ∆外接圆的方程；
（3）若动圆P 过点(20)N -，，且与ABC ∆的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．
6.不等式
（1）不等式的简单性质（若0,0x y >>，则0xy >；若0x >，a b >，则ax bx >等）；解含有参数的一元二次不等式、或分式不等式、或等价转化为一元二次不等式组等.
例9.记定义在［－１，１］上的函数2()f x x px q =++（p,q ∈R ）的最大值、最小值分别为M 、N ，又记()h p M N =-.
（1）当02p ≤≤时，求M 、N （用p 、q 表示），并证明()1h p ≥；
（2）写出()h p 的解析式；
（3）在所有形如题设的函数f(x)中，求出所有这样的f(x)使得|f(x)|的最大值为最小.
例10.某隧道长2150m,通过隧道的车速不能超过20m ∕s ，一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速度为40m/s ），匀速通过该隧道，设 为
x(m/s),根据安全和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持（211
63
x x +）m 的距
离，自第一辆车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用时间为y(s).
（1）将y表示为x的函数；
（2）求车队通过隧道时间y的最小值及车队的速度.
7.概率问题
正题部分的概率不会有难题，但要注意课本中几个模型，最基本的计数原理要掌握；附加题部分要重视几种模型，会计算期望与方差.
例10．如图，两个圆形转盘A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的1
2
和
1
4
.某“幸运转
盘积分活动”规定，当指针指到A，B转盘阴影部分
时，分别赢得积分1000分和2000分.先转哪个转盘
由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转为另
一个转盘，此时活动结束，若第一次未赢得积分，
则终止活动.
（1）记先转A转盘最终所得积分为随机量X，则X的取值分别是多少？
（2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由.。