3.5 探索与表达规律 课件-北师大版数学七年级上册

二
星期
三
星期
四
星期
五
星期
六
2
5
7
11
12
13
14
16
3
a-6
10
a+1
17
a+8
4
6
1
a-8
8
a-1
15
a+6
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
9
a
五个数之和=a+(a-8)+(a+8)+(a-1)+(a+1)+(a-6)+(a+6)=7a
规律: “H”形中七数之和=7×中间数
4 9 16 25
C)
2n－1
n2－4
2n－1
2n＋1
A.
B. 2
C. 2
D. 2
n
n
n
n
2．如图所示，第①个图形中共有1个小平行四边形，第②个图形中共有
5个小平行四边形，第③个图形中共有11个小平行四边形……则第⑩个
图形中小平行四边形的个数是( D )
A．54
B．110
C．19
D．109
四、当堂练习
利用本章所学知识，我们可以进一步探索和表达规律。
二、新知探究
探究一：数字和数式中的规律
星期
日
星期
一
请同学们认真观察月历表，回答下列问题：
(1)日历图的套色方框中的 9 个数之和与该
方框正中间的数有什么关系?你有什么猜想？
图中蓝色方框中九个数之和=90=9×10.
星期
二
星期
三
星期
四
星期
五
星期
六
1
2
3
探究二：图形中的规律
下面是用棋子摆成的“小房子”。摆第n个这
样的“小房子”呢?你是如何得到的?
（1）填写下表：
+6
+6
+6
+6
图案编号 （1） （2） （3） （4） （5）
棋子颗数
5
11
（2）摆第n个图案需要
17
23
29
（1）（2） （3）
…
…
(6n-1) 颗棋子.
（3）摆第100个这样的“小房子”需要
方框中第一列和第三列的六个数之和=中间一列三个数之和×2.
二、新知探究
做一做
(1)如果将方框改为十字形框，你能发
现哪些规律？
图中十字形框中5个数之和=45=9×5.
星期
日
星期
一
星期
二
星期
三
星期
四
2
3
a-7
8
9 a+1
10
a-1
a
15 a+7
16
17
1
6
7
13
14
设正中间数为a:则五个数之和
20
21
…
5+6(n-1)=6n-1
599 枚棋子.
（4）
二、新知探究
方法归纳
表达图形中规律的方法：
1.先观察图形的变化趋势，观察相邻两个图形的变化量与位置序号有怎
样的关系；
2.然后运用从特殊到一般的探索方式，找出变化规律，并用含n的代数式
表示出来；
3.最后用代入法求出特殊情况下的数值．
二、新知探究
探究三：借助运算解释规律
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
猜想：套色方框中的 9 个数之和是该方框正中间数的9倍。
二、新知探究
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗?你能用代数式
表示这个关系吗?
用代数式表示:
设正中间数为a，请用a表示出其他数.
a-8 a-7 a-6
－（a－3）]枚棋子，右堆有（a－4）枚棋子．
因为（a＋3＋4）－（a－3）＝a＋7－a＋3＝10．
所以此时中堆有10枚棋子．
三、典例精析
例1:将从1开始的正整数按一定规律排列，如
图所示．
5
4
(1)数40排在第____行，第____列．
解：(1)因为40÷9＝4……4，所以数40排在第
5行第4列．
三、典例精析
例2：寻找规律，求代数式的值．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的
情况如图所示：
(1)当从2开始的n个连续偶数相加时，它们的和S与n之间有什么关系，用公
式表示出来；
(2)按此规律计算2＋4＋6＋…＋100的值．
[解析] (1)由图中数据可知，从2开始的连续偶数的
和，正好等于加数的个数×(加数的个数＋1)，由此
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘5，
最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两
位数．
我的结果是93
你心里想的数
是78
你知道小明是怎样算出来的吗？
我的结果是27
你心里想的数
是12
二、新知探究
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘5，
四
星期
五
星期
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
其他月份的日历仍然可以用以上方法表示
12
13
14
15
16
17
18
出：方框中九个数之和=9×正中间的数。
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
(4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?用代数式表示.
答案不唯一，
例如：方框中第一行和第三行的六个数之和=中间一行三个数之和×2.
二、新知探究
(3)你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
星期
日
“X”形
星期
一
星期
二
星期
三
星期
四
星期
五
星期
六
1
2
3
4
56Leabharlann 78910
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
规律: “X”形中五数之和=5×中间数
二、新知探究
方法归纳
用图形框数问题的求解方法：
右堆中堆取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子
数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？请做一做，并解释其中的道理．
解：假设三堆棋子的数目都为a(a≥4)．
第一轮取放结束后，左堆有（a－3）枚棋子，中堆有（a＋3＋4）
枚棋子，右堆有（a－4）枚棋子．
第二轮取放结束后，左堆有2（a－3）枚棋子，中堆有[（a＋3＋4）
是如何猜出这个三位数的，并用数学知识说明理由．
解：只要将说出的三位数减去100就知道了．
理由：设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，
则乙按步骤所得的三位数为10[2(5a＋5)＋b]＋c，
化简后为100a＋10b＋c＋100，减去100就是原三位数．
五、课堂小结
本节课你学习了什么？本节课你有哪些收获？
个图形中所有点的个数为________(n是正整数)．
四、当堂练习
5．甲、乙两名同学玩猜数游戏，甲说“你随便选定一个三位数，按如下的
步骤做：(1)百位上的数字乘5；(2)结果加上5；(3)再乘2；(4)再加上十位上
的数字；(5)再乘10；(6)最后加上个位上的数字，只要你告诉我最后的结果，
我便可以说出那个三位数．”乙同学试了几次，果真如此．请你指出甲同学
a-1
a
a+1
a+6 a+7 a+8
则9个数的和为：
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8)
=
9a .
结论:方框中九个数之和=9×正中间的数.
二、新知探究
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立
吗? 为什么?
都成立.
星期
日
星期
一
星期
二
星期
三
星期
即可得出S与n之间的关系；(2)直接利用公式计算即
可．
解：(1)S＝n(n＋1)．
(2)2＋4＋6＋…＋100＝50×51＝2550.
三、典例精析
例3:下图是用棋子摆成的“H”字，第一个“H”字有7颗棋子．
(1)摆成第二个“H”字需要 12 颗棋子,第三个“H”字需要 17 颗棋子.
(2)按这样的规律摆下去，摆成第10个“H”字需要几颗棋子？第n个呢？
北师大版 数学 七年级上册
第三章 整式及其加减
5 探索与表达规律
学习目标
1.经历由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用；
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性；
(重点）
3.能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的一
般规律或现象.（难点）
一、导入新课
复习回顾
去括号
解：(2)摆成第10个“H”字需要52颗棋子，
摆成第n个“H”字需要7＋5(n－1)＝(5n
＋2)颗棋子．
三、典例精析
例4：小明在研究数学问题时发现一个有趣的现象：请你用不同的三位数
再做做，发现什么有趣的现象？用你所学过的知识解释．
解：614－416＝198，198＋891＝1089，结果
一定是1089.
情境导入
游戏：随便想一个自然数，将这个数乘5减7，再把结果乘2加14，
无论开始想的自然数是什么，按照上面方法计算得到的数的个位数
字一定是0.
你能用所学知识解释这其中的道理吗？
我们可以设任意一个自然数为x，则根据上面的方法可得：
2(5x-7)+14=10x-14+14=10x
所以按照上面方法计算得到的数的个位数字一定是0.
最后将得到的数加个位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两
位数．
设十位数字为x，个位数字为y，
则这个两位数表示为10x＋y．
则： (2x＋3)×5＋y＝10x＋15＋y．
=（10x＋y）＋15．
结果减去15就是心里想的数．
利用整式的加减运算可以解释许多规律。
二、新知探究
跟踪练习2
有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚．从左堆中取出3枚放入中堆，从
（1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存
在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律;
（2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系；
（3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，
然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律.
二、新知探究
设中间的数为a，并用含a的代数式表示各个被框数，计算它
们的和，进而解决问题．
二、新知探究
做一做
观察下列等式，找出规律填空：
二、新知探究
跟踪练习1
仔细观察下列各组数,按你发现的规律填空:
n .
(1) 1,2,3,4, 5 , 6 ,第n个数是
(2) 2,4,6,8, 10 , 12 ,第n个数是 2n .
1.进行整式加减运算时，如果遇到括号要先________，再
合并同类项
____________．
2．若多项式3x2－2xy－y2减去多项式M，所得的差是－5x2＋
xy－2y2，则多项式M是( A )
A．8x2－3xy＋y2
B．2x2＋xy＋3y2
C．－8x2＋3xy－y2
D．－2x2－xy－3y2
一、导入新课
设百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为a
－2.
第一步：100a＋10b＋a－2＝101a＋10b－2；
第二步：100(a－2)＋10b＋a＝101a＋10b－
200；
第三步：两式相减一定等于198.
所以，结果一定等于1089.
四、当堂练习
3 5 7 9
1．已知下列一组数：1，，， ， ，…，则第 n(n 是正整数)个数为(
240，所以a＝48. 所以这5个数中间的数为48.
③这5个数的和可能是2025吗，若能，求出这5个数中间的数；若不能，
请说明理由．
③不能．理由：根据题意可得a－9＋a－1＋a＋a＋1＋a＋9＝2025，
则a＝405.
因为405÷9＝45，所以405是第9列的最后一个数，所以这5个数的
和不可能是2025.
3．已知：(1)9×1＋0＝9；(2)9×2＋1＝19；(3)9×3＋2＝29；
(4)9×4＋3＝39；….根据前面的式子构成的规律写出第(n)个式
9n＋(n－1)＝10n－1
子是____________________(n是正整数)．
4．观察图中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第
(n＋1)2
得
出
结
论
探索与表达规律：
具
体
问
题
观
察
、
比
较
猜
想
规
律
表
示
规
律
验
证
规
律
成立
不成立
回头重新探索
六、作业布置
习题3.8-3.9
22
23
24
=a+(a-7)+(a+7)+(a-1)+(a+1)
27
28
29
30
31
=5a
规律: 十字形中五数之和=5×中间数
星期
五
星期
六
4
5
11
12
18
19
25
26
二、新知探究
做一做
(2)如果改为H形框呢，你能发现哪些
规律？
图中十字形框中7个数之和=63=9×7.
设正中间数为a:
星期
日
星期
一
星期
(3)

, , , ,



,


(4)-1,4,-7.10, -13 ,
,第n个数是

+
.
16 ,第2n个数是 6n-2
.

(5)观察下列一组数： ， ， ,···.它们是按一定规律排列的,那么这一组数

−
的第k个数是

.
二、新知探究
方法归纳
用代数式表示数字或数式规律：
(2)探究如图中的“＋”字框中的5个数，设这5个数中间的数为a.