江西省南昌市新建县第一中学高二上学期期中考试数学理试卷含答案

高二数学（理）试卷
总分值：150分 时间：120分钟
温馨提示：此次考试卷面分为5分
说明：1. 书写整齐无大面积涂改且主观题基本完成的得5分
2. 书写有涂改或主观题未完成的，根据情况扣（1—5） 分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 3310x y ++=的倾斜角是（ ） A.
6π B.3
π
C.
56
π
D.
23π 2. 当0ab <时，方程2
2
ax ay b -=所表示的曲线是（ ） A. 焦点在x 轴的椭圆 B. 焦点在x 轴的双曲线 C. 焦点在y 轴的椭圆
D. 焦点在y 轴的双曲线
3. 直线210ax y +-=与直线220x ay ++=平行，则实数a 的值为（ ） A. 0
B. 2
C. 2-
D. 2或2-
4. 圆221:2220C x y x y ++--=与圆22
2:680C x y x y +--=的位置关系是（ ）
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D.
内含
5. 已知椭圆22
2
125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）
A. 9
B. 4
C. 3
D. 2
6. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）
A.2
214
y x -=
B.2
214
x y -=
C.2
214
y x -=
D.2
214
x y -=
7. 已知抛物线2
2y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. (－1，0) B. (1，0) C. (0，－1)
D. (0，1)
8. 已知圆2
2
:4O x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为（ ）
A. 2-2
B. 2 2
D. 22
9. 已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C
的离心率为（ ） A. 3
12
- B. 23- C.
31
2
- D.
31-
10. 已知直线l 过点P (3,－2)且与椭圆C:22
12016
x y +=相交于
两点，则使得点P 为弦AB
中点的直线斜率为（ ）
A. 3
5
-
B. 6
5
- C.
6
5
D.35
11. 已知双曲线（
）的左、右焦点为、，是曲线上的一点，且
21PF 4PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. (1，
B. (1，
C. (1，
D. (1，
12. 设A 、B 是椭圆C ：
22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足AMB ∠ =120°，则m 的取值范围是（ ） A. (0,1][9,)+∞U B. 3][9,)+∞U C. (0,1][4,)+∞U
D. 3][4,)+∞U
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 将极坐标（2，
32
π
）化为直角坐标为 . 14. 设F 为抛物线C ：y 2
=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = .
15. 在极坐标系中，A 为直线013sin 4cos 3=++θρθρ上的动点， B 为曲线0
cos 2=+θρ上的动点，则AB 的最小值为 .
16. 已知F 是双曲线C ：2
2
18
y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，6)A ，当APF ∆ 周长最小时，该三角形的面积为 .
三、解答题（本大题共6小题，共65分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）在极坐标系中，极点为O ，已知曲线1C ：2ρ=与曲线2C ：sin 4πρθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
交于不同的两点A ，B . （1）求AB 的值；
（2）求过点()1,0C 且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.
18.（11分） 已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离． （1）试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；
（2）若曲线C 与直线:1m y x =-相交于A B 、两点，求OAB ∆的面积.
19.（11分）已知双曲线C 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，实轴长为2；
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A,B ，且线段AB 的中点在圆2
2
5
x y +=上，求实数m 的值.
20.（11分）已知圆2
2
:24200C x y x y +---=.
（1）过点(4,4)P -的直线l 被圆C 截得的弦长为8，求直线l 的方程；
（2）当k 取何值时，直线310kx y k -++=与圆C 相交的弦长最短，并求出最短弦长.
21.（11分）椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点(1, （1）求椭圆方程；
（2）过点6
(,0)5
-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点,证明
NA MA ⊥.
22.（11分）已知12,0F （-）,）（0,22F ,点P 满足221=-PF PF ，记点P 的轨迹为E .
（1）求轨迹E 的方程；
（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，点(1,0)M -，求MPQ ∆面积的最小值.
高二数学（理）试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

13.（0，－2） 14. 2 . 15. 1 . 16.
三、解答题（本大题共6小题，共65分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）解：（1）∵2
ρ=，∴224
x y
+=，
又∵sin
4
π
ρθ⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
(sin cos)2
ρθθ
-=,∴2
y x
=-，
圆心(0,0)到直线2
y x
=-的距离为d==
∴AB===.
（2）∵曲线
2
C的斜率为1，∴过点()
1,0且与曲线
2
C平行的直线l的直角坐标方程为1
y x
=-，
∴直线l的极坐标为sin cos1
ρθρθ
=-
，即cos
4
2
π
ρθ⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭.
18.（11分）
（Ⅰ）
因点P到点F的距离等于它到直线
l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线l 为准线的抛物线，其方程为24
y x
=；
（Ⅱ）设()()
1122
,,,
A x y
B x y, 联立
24
1
y x
y x
⎧=
⎨
=-
⎩
，得2610
x x
-+=, 126
x x
∴+=,
Q直线m经过抛物线C的焦点F,
12
628
AB x x p
∴=++=+=
点O到直线的距离2
d==
，
11
8
22
OAB
S AB d
∆
∴=⋅=⨯=
19.（11分）解：（1）依题意得22,1a a ==
，e =
c ∴=
2222b c a ∴=-=，
所以双曲线方程为：22
1
2y x -=...........5分
（2）设点1122(,),(,)A x y B x y AB 的中点00(,)M x y ，
由2222
x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩得22220x mx m ---=.........7分 12
000,22
x x x m y x m m +=
==+=， 因为点M 在圆上，所以22
005x y +=22(2=5m m ∴+），1m ∴=±.......12分
20.（11分）
【解析】（Ⅰ）设点C 到直线l 距离为d
，圆的弦长公式，得8=，解得3d =， ①当l 斜率不存在时，直线方程为4x =，满足题意 ②当l 斜率存在时，设直线方程为4(4)y k x +=-
，则3d ==，解得3
4k =-，
所以直线的方程为3440x y ++=， 综上，直线方程为4x =或3440x y ++=
（Ⅱ）由直线310kx y k -++=，可化为1(3)y k x -=+，可得直线l 过定点()3,1M -, 当CM l ⊥时，弦长最短，又由1
4
CM k =
，可得4k =-，
此时最短弦长为=
21.（11分）解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
由c ＝3，椭圆过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，－32可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－
b 2
＝3，1a 2＋3
4b
2＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，
b 2
＝1，
所以可得椭圆方程为x 2
4
＋y 2
＝1. (6分)
(2)由题意可设直线MN 的方程为：x ＝ky －6
5，
联立直线MN 和椭圆的方程：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ky －6
5
，x
2
4＋y 2
＝1，
化简得(k 2＋4)y 2
－125ky －6425
＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1y 2＝）（42564-
2+k ，y 1＋y 2＝
）
（45122+k k
又A (－2,0)，则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2
＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625
＝0，所以
NA MA ⊥. (12分)
22、（11分）【答案】（1）).1(13
2
2
≥=-x y x （2）（i ）1-（ii ）9 【解析】
试题分析：（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y=k （x-2），P ()11,x y ，Q ()22,x y ，与双曲线方程联立消y 得
()2
22234430k
x k x k --++=，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出. （i ）利用向
量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；（ii ）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出
试题解析：（1）由||2||||2121F F PF PF <=-知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的双曲线
右支，由3,22,22
=∴==b a c ，故轨迹E 的方程为).1(13
2
2
≥=-x y x （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为),(),,(),2(2211y x Q y x P x k y -=，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2
2
2
2
=++--k x k x k ，
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧>-+=⋅>-=+>∆≠-∴0
3340340
0322212
2212k k x x k k x x k 解得k 2 >3
（ii ）由（i ）知，(1,0)M -，当直线l 的斜率存在时，
2
122163k PQ x k +=-=-， M 点到直线PQ 的距离为d
，则d =
∴12MPQ
S PQ d ∆====令2
3(0)k t t -=>
，则MPQ S ∆=1
0t
>
所以9MPQ S ∆=> 当直线l 的斜率不存在时，1
3692
MPQ S ∆=
⋅⋅= 综上可知9MPQ S ∆≥，故MPQ S ∆的最小值为9. 考点：圆锥曲线的轨迹问题；双曲线的简单性质。