安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学（理）试题

安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学(理)试题
题号
得分
三
总分
评卷人 得分
一、选择题 本大题共12道小题。

1.
己知集合A = {x\x>2\ , B = (x|0<x<3}，则 A (QB)=(
)
A.[2,+co)
B. (3,+co)
C. [0,3]
D. (-oo,2)U[2,+oo)
答案及解析：
1. B
【分析】
先求出B 的补集，再求交集。

【详解】由题意 C r B = {x |x <0或t>3},A (C r B) = {% I % > 3) o
故选：Bo
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。

2.
2
2
已知凡是双曲线C:匕=1的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆E ：/+(y + 2)2 =1上
9 3
一点，则|ab |+|a ^|的最小值为(
)
A.9
B. 8
C. 5右
D. 6右
答案及解析
：
【分析】
^\AF 2\=\AF l \+2a, \AB\的最小值是转化为求|A^|+|AE|的最小值即为|切|.
双曲线子一；=1 中 a = 3, b =也,c = n /9 + 3 = 2a /3- R （—2右,0）,圆 E 半径为 r = l, £（0,-2）,
.-.|A^| = |A^|+2« = |A^| + 6, \AB\>\AE\-\BE\=\AE\-1 （当且仅当 A,E,B 共线且3在 A,E 间时
取等号.
.•.|曷|+|"|习"|+6+|"—1 = |"|+|犯| + 5习时| + 5 = /（2陌）2+22+5=9,当且仅当A 是线段Ef ；与双曲线的交点时取等号.
:.\AB\+\AF 2\^j 最小值是 9.
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲
线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的 点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径.3.
已知两个单位向量弓匕满足\e i -2e,\=/l ,则qq 的夹角为（ ）
答案及解析：
3.A
【分析】
由已知模求出乌七？，再利用向量夹角公式计算。

.....O ......
龈.......
O ......
H
..... O .....
堞.......O ......
长.......
O ※※※※如※※
■£※※枣※※氏※※堞※※
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※※鄙※※&※※眠浓※
.....O ...... ® ..... O .....
H
..... O .....
堞.......
O ......
志.......
O
答案第2页，总24
页
【详解】.・・*2是单位向量，
I
|2
2 2
IT U* 1
.•.忡一2呵 -e x -4e x -e 2 +4e 2 =l-4e { e 2 +4 = 7 , e x -e 2 =-—,
q 1
雨”a, •.•<强〉=亍
故选：Ao
【点睛】本题考查求向量的夹角，可根据数量积定义由两向量的数量积求出其夹角的余弦，而求向量的
2
2
数量积必须利用向量的模与向量数量积的关系转化计算，即]=a o
4.
如图，正方体ABCD-AiBiCrDi 中，点E, F 分别是AB, AD 的中点，。

为正方形ABCD 的中心，则（ ）
A.直线EF, A 。

是异面直线C,直线EF 与BG 所成的角为30。

答案及解析：
4.C
B,直线时，是相交直线
D,直线EF, BBi 所成角的余弦值为吏
3
【分析】
按共面不共面判断A 、 B,由异面直线所成角定义计算角判断C 、 Do 【详解IL 。

为正方形A3CL （的中心，F 是AQ 中点,：.OF H
AB ，即。

F , AE 共线，从
而EF,AO 共线，A 错；
FW 平面BEB], 33|<=平面8五鸟，E W BB 〔, Ec 平面BEB 〔，：. EF,BB 〔是异面直线，B 错；
又E 是中点，可得FO//EB 且FO = EB, EFBO 是平行四边形，则EF //BO , ZOBQ 是异面
直线EF 与BG 所成的角，设正方体棱长为1, ABCQ 中，BC[=g, OC[=g
，
3。

=时=百后异乎,
cos ZOBCi =雨 *=吏，ZOBC = 30。

正确，
1
2OB • BC ［ 2
同理得ZOBB ［是EF , 33］所成的角，在△088】中求得cosZOBB ）= ^~。

D 错。

故选：Co
【点睛】本题考查异面直线的判断，考查求异面直线所成的角，解题方法可根据异面直线的判断定理证
明，求异面直线所成的角可根据定义作出这个角，然后解三角形得结论。

5.
已知三棱锥P-ABC 满足B4_L 底面ABC,在△ABC 中，AB = 6, AC = 8 , AB L AC , D 是线段AC
上一点，且AD = 3DC,球。

为三棱锥P-ABC 的外接球，过点。

作球。

的截面，若所得截面圆的面积 的最小值与最大值之和为40兀，则球。

的表面积为（
）
A. 72兀
B. 86兀
C. 112兀
D. 128兀
答案及解析：
5.C
【分析】
先找到外接球球心，过的中点AH 乍OM//PA,则OM 1平面A B C ,取0M=-PA,则。

为
2
P-AB C 外接球球心，过点。

作球。

的截面，最大的截面过球心，最小的截面是过D 且与。

垂直的 截面，由此可用PA 表示出两截面圆半径.
※※※※如※※
■£※※枣※※氏※※堞※※
w
※※鄙※※&※※眠浓※
如图.M 是3C 边中点，E 是AC 边中点，ABLAC, :. M 是AA3C 外心，作OM//PA,'： PA 1
平面 ABC , :. OM 1 平面 A B C, ：.OM ±AM,OM ±MD ,
取0M=-PA,易得OA^OP, ：.O 是三棱锥P-AB C 的外接球的球心。

E 是AC 中点，贝U
2
.....O ......
龈.......
O ......
H
..... O .....
堞.......
O ......
长.......
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...o .... ® ...
o ... H
... o ...
堞.......
o ....
志.......
o
答案第4页，总24
页
o
MEI I A B,ME=-AB=3,:.ME LAC,•:AD=3DC,:.ED=-AC=2,
24
•,-MD=ME2+ED2=V32+22=>/13，设殂=2;，则CM=a,OD2=OM2+MD2=<72+13-
X AM=—BC=—a/62+82=5,OA2=OM2 +AM2=a2 +25<
22
过。

且与垂直的截面圆半径为广，则「=—oif=2右，这是最小的截面圆半径，最大的截
面圆半径等于球半径0A,:.7iO^+7ir=(a2+25)tt+12^=W,a'=3,
o
OA2=+25=28-=4tt Q42=4^-x28=112/r 0
n|r>故选：C…
L点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定三棱锥外接球球心。

结论：多面体外接球球心一定在过各面外心与此面垂直的直线上。

6.
9Y ci n x
函数f(x)=-------在［-271,271］上的图象大致为()
X+COSX
o 堞o
o
答案及解析:
6.D
【分析】
3冗
先分析奇偶性，可排除两个选项A、C,然后从特殊值角度研究，计算和/(—),比较它们绝对值的大小，可得正确选项。

~、—xsin(—x)xsinx~、
【详解】•••f—K Erg•”⑴是偶函数，排除a、。

n 工3冗、4…,z.z3tt工(兀、
y)f易知"丐)B不符，只有D满足。

故选：Do
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可先研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性、周期性等，排除一些选项，然后研究函数特殊值、特殊点再排除一些选项，最后只剩一个正确选项为止。

7.
l-i
已知z=K，则万=(
2+z
13.
A.----z
55
答案及解析：B.14/
55
13.
C.------1
55
D.-L当
55
7.B
【分析】
由复数除法计算出Z,再由共轴复数定义求出成。

E”二W IS
513. ----1 55
.3=5。

55
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O
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等
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※
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※
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粗
※
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※
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淤※
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O 答案第6页，总24
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o
o o 故选:B…
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共辄复数的概念。

属于基础题。

8.
关于函数/(x)=cosx+|sinx|有下述四个结论：①f(x)的最小值为一《；②f(x)在［无,2无］上单调递增；③函数y=/(x)-l在［-兀，兀］上有3个零点；④曲线y=/(x)关于直线x=n对称.其中所有正确结论的编号为()
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
答案及解析：
8.D
n|r>【分析】
根据各个选项研究函数的性质，如最值，单调性，零点，对称性等.
【详解】/(%)=cos%+|sin x|>-1,①错；当时,/(x)=cos x-sinx=\f2cos(x+—),
o o 堞在［万,2万］上不是单调函数，实际上它在［〃,—］上递减，在［—,2;r］递增，②错；当cos x<0时，
44
/(x)=cosx+|sinx|<l,函数y=f(x)-1无零点，当cosx>0,即xe时，注意到f3)是偶函数，研究xe［0,^］时，f(x)=cosx+sinx=sin(x+,只有/(0)=/(^)=1>因此在
77"TT7C7C
Bt/(O)=/(-)=/(--)=!,函数y=/(%)-1有三个零点，③正确;
o o f(27r-x)-cos(2^--%)+1sin(2^--x)\-cos%+1-sin x|=cos%+1sin x|=f(x),曲线y=f(x)关于直线X=7l对称，④正确.
正确结论有③④，
故选：D.
【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数的图象和性质，本题的难点在于含有绝对值符号，因此我们可以
通过绝对值定义去掉绝对值符号后研究函数的性质，如
cos x+sin［lk7i,2k兀+兀)
fix)=\c c,,k&Z,然后分段研究.
cos x-smx,xe［2k7r一兀,2k兀)
o
9.
已知定义在R上的奇函数f3)满足/(x+2)=-/(%),且在区间［1,2］上是减函数，令。

=ln2,
》=(，)T,c=log i2，则/(«),/(&),/(C)的大小关系为()
A.f(b)<f(c)</(a)
B./(«)</(c)<f(b)
C.f(c)<f(b)<f(a)
D./(c)<f(a)<f(b)
答案及解析：
9.C
【分析】
由f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在区间［1,2〕上是减函数，确定/(x)在［-1,0］±是增函数，再由奇函数性质得f(Q在［0,1］上递增，在［-1,1］±单调递增.然后把自变量的值都转化到［-1,1］±,比较大小.【详解】设-l<x1<x2<0,piiJl<x1+2<%2+2<2,又/(x)在［1,2］上递减，g+2)>/(%2+2),而f3i+2)=-f(M),f32+2)=-f(X2),f3i)>-ffX)，即/■<X)</'(X2)，f(x)在［T，。

］是递增，
V/(x)是奇函数，.•"3)在［0,1］上递增，从而在［-1,1］±单调递增，/(0)=0,
a=ln2e(0,l),b=(『=2,c=log『=-1,f(b)=f(2)=_f(0)=0=f(0),
.•.由-1<0<In2得/(-I)<f(0)</(In2)，即f(c)<f(b)</(«).
故选：C.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性.解题关键是确定函数的单调性，难点在于由73)满足
f(x+2)=-f(x),且在区间［1,2〕上是减函数，确定/'(X)在［-1,0］上是增函数，然后就是这类问题的常规解法，确定出［-1,1］上单调性，转化比较大小.
10.
某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的()
•:
O
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O
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H
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※
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※
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※
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•:
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O
答案第8页，总24页
•O . . . . .新. . . . . . . O . . . . . .
H . . . . . O
. . . . .堞. . . . . . . O . . . . . .志. . . . . . . O . . . . . .
或
耕
廓
毫
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救
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泌
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O
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达线率达线率达线率线率
2016年高考数据统计
达线率达线率达线率线率
2019年高考数据统计
A,与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少
B.与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍
C.与2016年相比，2019年艺体达线人数相同
D.与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
答案及解析：
10.D
【分析】
设2016年参考人数为依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、不上线的
人数，然后比较得出结论。

【详解】设2016年参考人数为a,则
2016年一本达线人数0.28a,2019年一本达线人数0.24x1.2a=0.288a〉0.28。

，A错；
2016年二本达线人数0.32a,2019年二本达线人数0.4xl.2a=0.48。

，增加了0.16a,不是一倍，B
错
；
2016年艺体达线人数0.080,2019年艺体达线人数0.08x1.2。

=0.096。

，C错；
2016年不上线的人数0.32”，20196年不上线的人数0.28x1.2a=0.336。

〉0.32。

，D正确。

故选：Do
【点睛】本题考查统计表格的应用，解题关键是读懂表格给出的数据，并能加以应用。

11.
已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8,13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99,假设这种”雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层.
A.5
B.6
C.7
D.8
答案及解析：
11.C
【分析】
每朵玫瑰花的花瓣总数为33,计算斐波那契数列的前〃项和，比较即得。

【详解】由题意每朵玫瑰花的花瓣总数为33,而斐波那契数列的前〃项和依次为1,2,4,7,12,20,33,,因此一朵该种玫瑰花最可能有7层。

故选：C。

【点睛】本题考查数列的前〃项和的概念。

属于数列应用的基础题。

12.
执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）
•:
O
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•:
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答案第10页，总24页
•: .:
•…都…・
•: .:
•: .:
•…
堞•:
••: .:
.…志….
•: .:
.
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答案及解析:
12.B
C.4
D.-2
【分析】
模拟程序运行，寻找规律，得出结论.
【详解】程序运行时，变量S,z•的值依次为：S=4,z=1；S=2,i=2；S=4,i=3；S=2,i=4；
i是奇数时，S=4,i是偶数时S=2,输出时i=2020,S=2.
故选：B.
L点睛】本题考查程序框图，解题时模拟程序运行，观察变量的变化规律，就可得出结论.
评卷人得分
一、填空题本大题共4道小题。

13.
己知曲线/(x)=(ta-l)lnx在点(1,0)处的切线方程为y=x-l,则实数a的值为.
答案及解析：
13.2
【分析
】
求导函数。

由f'（l）=l可求得。

nx—1
【详构率】由题意f'（》）=alnx+-----,f'（T）=a-l,由。

一1=1得。

=2。

x
故答案为：2。

【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在某点处的导数就是函数图象在该点的导数值。

14.
《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成表示一根阳线，”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.
答案及解析:
3
14,—
14
【分析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。

抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。

抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

.•.从8个卦中任取2卦，共有«=28种可能，两卦中共2阳4阴的情况有C+U=6,所求概率为2814°
.3
故答案为：—O
14
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。

本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。

答案第12页，总24页
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o n|r>
O
15.
已知正项等比数列｛福的前"项和为，，若S2=2,54=10,则％=
答案及解析：
【分析】
用基本量法，求出首项％和公比9,再求％。

【详解】设首项％,公比9,易知0尹1,
S2=%(1+q)=2。

］(1一04)，由于％均为正，.
&=------=10
I4
2
0=2
4
=%q
故答案
=5=控
33
【点睛】本题考查等比数列的前〃项公式和通项公式，解题方法是基本量法，即由已知首先求出首项缶
和公比0,然后再求通项公式和前〃项和公式。

16.
点A,B是抛物线。

：尸=2px(p>0)上的两点，F是抛物线C的焦点，若/AEB=120°，AB中点Q
d
到抛物线C的准线的距离为d,则——的最大值为______.
\ab\
答案及解析：
3
【分析】
过A,B,D作准线的垂线，垂足分别为N,P,M,则d=\MD\=I(|AA^|+|BP|)=|(|AF|+1^|),在
AABF中寻找它们的关系，求出比值的最大值。

【详解
】
如图，过 A,B,D 作准线的垂线，垂足分别为 N,P,M ，则 d = \MD\ = |(|A2V| + |BP|) = |(| AF| +1^|),
/SABF 中，
|Afi|2 =|AF|2 +\BFf -2|AF||BF|cosl20° =|AF|2 +\BF^ +\AF\\BF\
=(|af |+\bf \)2 _I >(|af |+\bf \)2 -(1
爵|；叩)2 =^(\af \+\bf \)2 ,当且仅当
|AF| = |BF|时取等号。

"|+阴< 色=瓯
\AB\-_占_=
d 1TAB\ = 2
AF\ + \BF\网
-，即良的最大值为吏。

3 \AB\
3
故答案为:
【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到准线的距离,
可作出抛物线上点到准线的距离，让它们进行转化，象本题，弦中点到准线距离最终转化为弦的两顶点
到焦点的距离之和，然后在三角形中由余弦定理建立联系。

评卷人 得分
二、解答题 本大题共7道小题。

17.
］ TC
已知函数f (%) = 4cos (-x-—)-e x , f'(x)为/'(X)的导函数，证明:
(1) f'(x)在区间［一兀，0］上存在唯一极大值点；(2) f(x)在区间［―兀，0］上有且仅有一个零点.
答案及解析：
•: O .....
新.......
O ......
H
..... O .....
堞.......O ...... M
..... O
※※※※如※※
■£※※枣※※氏※※堞※※
W
※※鄙※※&※※眠浓※
•: O ..... ® ..... O .....
H
..... O .....
堞.......
O ......
志.......
O
答案第14页，总24
页
【分析】
(1)求出导函数f'(x)，设g(r)寸(用，再求g'(x),由g(才的单调性及零点存在定理说明g'(x)在［-1,0］上有唯一零点，这就是g(x)的唯一极大值点.
(2)由(1)广3)在［―石,0］上有唯一极大值点，又计算f'5和/''(0),说明f\x)>。

在［―石,0］上恒成立，即f3)是［-石,0］上的增函数，结合零点存在定理可得结论.
］TT1TT
【详解】(1)广(尤)=—2sin(a X—g)—e*,设g(X)=—2sin(ai—耳)—e*,
1TC
则g'(x)=-cos(—x-—)-e',
当xe［-7r,0］时，—四—兰〈—兰，v=cos(-x-—)递增，又y=e'是增函数，
623323
g'(x)=—cos(—x——)—e*在［—1,0］是单调递减.
g\-7v)=-—>0>g，(0)=-；<0，
°x7C71O
2e z
...存在唯一的x0e(-^-,0)，使得g'(x o)=O,且当xc［一几,吒)时，g'(x)>0,g(x)递增,xe(x o,O］时，g'(x)<0,g(x)递减，.•.x。

是g(x)的极大值点，也是唯一极大值点.
即轮是［-石,0］上的广3)的唯一极大值点.
1l
(2)由(1)f\—7T)=1>0,f*(0)=v3—1>0，••［-7T,0］时，f*(x)>0,
e
...y(x)在［-1,0］上单调递增.
/■(-〃)=-2&二<0,/(0)=1>0,
e
F3)在［-石,0］上存在零点也是唯一零点.
【点睛】本题考查导数与极值，考查零点存在定理.解题时导数说明函数的单调性，由零点存在定理说
明零点存在，这样就是唯一的零点.
18.
x=2+cos a
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为((a为参数)，以。

为极点，工轴正半轴为极
y=sma
71
轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为QCOS(0-—)=1.
4
(1)求曲线。

的普通方程和直线/的直角坐标方程；
(2)设直线/与x轴的交点为A,与y轴的交点为B,F是曲线。

上一点，求^PAB面积的最大值.
答案及解析：
18.(1)(x—2)+y2=1,x+y=^/^；(2)^/2-
【分析】
x=pcosO
(1)用消参数法可得曲线C的普通方程，由公式.八可化极坐标方程为直角坐标方程；
y=q sin Q
(2)求出A,3两点坐标，得|AB|, F到直线/的距离的最大值等于圆心到直线/的距离加上圆的半径,由此可得AABP面积最大值.
x=2+cos a c c
【详解】(1)由得(x-ly+y-=\,这是曲线C的普通方程，
y=sma
由qcos(。

一〒)=1得+=1，「•+y=1，即x+y=\f2■
(2)由(1)知直线/与坐标轴的交点为A(扼,0),5(0,72),
圆C方程为(X—2)2+y2=i,圆心为C(2,0),半径为r=l,点P在圆。

上，
|2+0—*\/21_
圆心c到直线I的距离为d=J—尸~L=J3—1,
V2
P到直线AB的距离的最大值为h=d+r=e又|仙|=2,
.I(S^Gmax=|x2X a/2=V2.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程用消
•:
O
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O
答案第16页，总24页
o o
o o
n|r>
x = pcosO
参数法可化为普通方程，利用公式｛ ..可进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.
y = psm3
19.
设椭图C:£ + § = l （a>b>0）的左焦点为Fi ，右焦点为％ 上顶点为B,离心率为斗，。

是坐标
原点，且|。

到•国B|=&.（1） 求椭圆C 的方程；
（2） 已知过点月的直线/与椭圆。

的两交点为M, N,若MF 2±NF 2,求直线,的方程.
答案及解析：
2
2
19. （1） ： + ： = 1； （2）》+ 血' + 1 = 0或x 一岳 + 1 = 0.
【分析】
（1）椭圆中国同=a ,c
由已知就有S a 3
解得a,b ,得椭圆方程;
ba =灰
o o
（2）设出Af 坐标，由MF 2±NF ｝，得\OM\^c,再由Af 在椭圆上，联立后可解得A/点坐标，从而 求得直线方程。

堞堞
【详解】（1）由题意〈
\OB\\F 1B\ = ba = y/6
a = y/3
又 a 2 3= Z>2 + c 2 > < b = ,
2 2
...椭圆方程为已+匕=1;
3 2（2）由（1）鸟（一1,0）,%（1,0）,
直线/斜率不存在时不合题意，设Z 方程为y = *（x+l ）,心（叫5）,2（如，2），y = ^（x + 1）
由］子 2 得（3好+2）亍+6序 X +3R2—6 = 0,—+ —= 1I 3 2
c = 1
o o
o
o
6k23k--6
V MF2_L NF2,F2M-F2N=0,即(X]—1)(改一i)+乂力=。

，
—1)(%2—1)+"(而+1)(工2+1)=。

，(1+好)而花+(*2—1)(而+%2)+好+1=0,
(1+序).3匕一62—-)+摩+1=0,整理得跃2=4，k=+—，
3k2+23k2+22直线I的方程为y=±^^(x+l),即x+遮y+1=0或x一很_y+1=0。

【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题。

考查运算求解能力。

在直线与椭圆相交问题中常常采用“设而不求”思想方法，即设直线方程，设交点坐标为3],叫),(易,力)，由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后可得x l+x2,x1x2,然后把x1+x2,x1x2代入题中的条件(如本题中mf2±nf2),求得参数值或证明出相应的结论。

20.
在△A8C中，q,b,c分别为角A,B,。

所对的边，cos2C-cos2B=2sin A(sin A-sin C).
(1)求角8的大小；
(2)若c=l,Z\ABC的面积为求
2
答案及解析：
20.(1)：；(2)屈.
【分析】
(1)应用二倍角公式化COS2C,cos2B sinC,sin B的形式，然后正弦定理转化为边的关系，最后由余弦定理求得B；
(2)由面积公式求得。

，再由余弦定理求得力。

【详解】(1)cos2C-cos2B=1-2sin2C-(1-2sin2B)=2sin A(sin A-sin C).
sin2B-sin2C=sin2A-sin AsinC，
由正弦定理得=.2—人c,a1出弦—片=bc，cos B=—=—,B=—o
lac23
•:
O
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.
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.
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答案第18页，总24页
（2）S MBC=^-acsinB=^axlxsiny=-^^-
a=6,
:.b'=a2+c2-2accosB=62+12-2x6x1xcosy=31,/.b=^/31…
【点睛】本题考查二倍角公式，考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积公式。

在解三角形问题中应用正弦定理、余弦定理时行边角转换，是常用方法。

21.
如图（1）,在平面四边形ABCD中，AC是的垂直平分线，垂足为E,AB中点为F,AC=3,BD=2,
ZBCD=90°，沿3。

将A5CD折起，使。

至C'位置，如图（2）.
（1）求证：AC±BD；
（2）当平面BCD!平面ABZ）时，求直线AC'与平面C'DF所成角的正弦值.
答案及解析：
21.（1）证明见解析；（2）生匝.
85
【分析】
（1）折叠过程中，BD±CE,BD±AE保持不变，又由线面垂直，从而得证线线垂直。

（2）由两平面垂直可得EC'两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标,求出平面C'DF的法向量，由线面角的向量法求解。

【详解】（1）•:BD±C'E,BD±AE,
:.BD±平面ACE,而AC'cz平面ACE,
:.BD1AC o
（2）由（1）知ZCEA是二面角C-BD-A平面角，
又平面BCD L平面ABD,:.ZC'EA=90°,即EC'1EA,
分别以EA, ED, EC 为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，如图,
在四边形 A3CD 中，'：CELBD,BE = DE , :.CB = CD, CE = -BD = \, AE = 2,
2
E(0,0,0), A(2,0,0), 3(0,1,0), 2)(0, —1,0), C'(0,0,1), F 是 AB 中点，.I F(l,上,0)
2
3
AC ，= (-2,0,1), DF = (l,-,0), DC = (0,1,1)
设平面DCF 的法向量为〃 = 3,y,z),贝U
一 3
n • DF =尤 + — y = 0< 2 ,即 y = 2,则x = -3,z = -2, 〃 = (一3,2,—2),
n • DC' = y + z = 0
cos<〃,AC ‘>=^^= / —3x(—2) + 2x 0.(—=逅,
M |J (-3)2 + 2? + (—2)2 . 2尸 + 0 + 1? 85
直线AC 与平面CDF 所成角的正弦值为色座。

85
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求直线与平面所成的角，证明线线垂直，要先证线面垂直；而
求直线与平面所成角可建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，这样可以只要计算，不需要作图与证 明。

22.
已知 a > 0,b > 0 , a + 2b = 3.证明：
(1) 疽 +»2 >| ；
2 2 81(2) a b + 4-cib <—.
16
答案及解析：
22. (1)证明见解析；(2)证明见解析.
.....O ......
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H
..... O .....
堞.......O ......
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O ※※※※如※※
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.....O ...... ® ..... O .....
H
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堞.......
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志.......
O
答案第20页，总24
页
【分析】
（1） 利用a 2+b 2的几何意义证明，a 2+b 2表示点P （A ，）到原点。

的距离的平方，距离的最小值是原
2 2 81
a 3
b + 4aZ?3 < 一 .
16
【点睛】本题考查不等式的证明，证明方法与一般证明不等式的方法不同，第（1）小题利用二次式的 几何意义，表示两点距离的平方，由此得证法，第（2）小题由已知条件变形后代数式化为关于。

力的二
次函数，由二次函数性质证明.这两种方法具有一定的局限性，注意体会.
23.
11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地.安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行 篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每
人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0
分，设甲每次投球命中的概率为上，乙每次投球命中的概率为2,且各次投球互不影响.
2
3
（1） 经过1轮投球，记甲的得分为X,求X 的分布列；
（2） 若经过〃轮投球，用月.表示经过第z •轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求 P1，P2，P3；
点到直线a + 2b = 3的距离，由此可证；
（2） 先求出a 。

的范围，然后a 3b + 4ab 3可化为关于a 。

的二次函数形式，再由二次函数的性质可得最
大值，从而证明结论.
【详解】证明：（1） a 2+b 2表示点到原点。

的距离的平方，而原点到直线a + 2b = 3的距离为
d — J '
• = — , a 2 +b 2 > d 2 ；
#7? 5 5
.___ 9
（2） V6z>0,Z?>0, ：.3 = a + 2b>2yJ2ab^ Q<ab<-f
o 81a'b +4ab 3 = ab （a 2 + 4/?2） = ab[（a + 2b ）2 -4ab] = ab （9 -4ab ） = 9ab -4（ab ）2 = 一4（沥—）2 + 一，
8 16
Q
Q 2 ] 21
易知ab =-—时，—4（6iZ? ——）2 取得最大值二7 .
8 8 16
16
②规定Po = 0，经过计算机计算可估计得Pi = ap M +bpj+ CP]_[ (Ml),请根据①中Pi ，p 2,p 3的值分
别写出“，c 关于b 的表达式，并由此求出数列｛p,,｝的通项公式.
答案及解析：
23.(1)分布列见解析；(2)①月=项，0 =《逆3 =芸；②Pi=gl 小i+ = Pi 一I ，—£
6
36 216 7 7 5 k o
【分析】
(1) 经过1轮投球，甲的得分X 的取值为-1,0,1,记一轮投球，甲投中为事件A,乙投中为事件3,
A, 3相互独立，计算概率后可得分布列；
(2) 由(1)得P],由两轮的得分可计算出P2 ,计算P 3时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列
(r 的取值为-2,-1,0,1,2 ),然后结合X 的分布列和丫的分布可计算P3，
由P 。

=。

，代入R = api+i +以+ cpi(b (1),得两个方程，解得a,c ,从而得到数列｛p,的递推式,
变形后得｛ p n - p n ^｝是等比数列，由等比数列通项公式得p*—Pz ，然后用累加法可求得p,.【详解】(1)记一轮投球，甲命中为事件A,乙命中为事件B, A,3相互独立，由题意P(A) = |, 2
P(B)r 甲的得分X 的取值为—1,0,1,
- — 1 2 1
P(X = -1) = P(AB) = P(A)P(5) = (1--)x - = -,
—— -- 1 2 1 2 1
p(x =0) = P(AB) + P(AB) = P(A)P(B) + P(A)P(B) = + (1 - * x (1 - g) = ^ ,
※※鼠※※如※※长※※杰※※氏※※垛※※粗※※鄙※※&※※磐淤※
— -1 2 1
P(X = 1) = P(AB) = P(A)P(B) = -x(l ——) = -,
X 的分布列为:
X -1
1
11
1P
——
—3
2
6
•: O ..... ® ..... O .....
H
..... O .....
堞
.......
O ......
长.......
O
•:
o ... ® ... o ... H
... o ...
堞.......
o .... M
... o
答案第22页，总24页
o o
o 堞o n|r>
(2)由(1)P]=—,
16
p,=P(X=0)・P(X=l)+P(X=l)(P(X=0)+P(X=l))=：x=+=xG+5=],
2662636同理，经过2轮投球，甲的得分丫取值-2,-1,0,1,2：
记P(X=—l)=x,P(X=0)=y,尸(X=l)=z,贝ij
P(Y=-2)=x2,P(Y=-l)=xy+yx,P(Y=0)=xz+zx+y-,P(Y=V)=yz+zy,p(Y=2)=z2
由此得甲的得分y的分布列为：
Y-2-1012
P
9
£
3
13
36
]_
6
1
36
.•.P品xkLx(LL)+顼坦+上+上)=坐
33362636636636216
Pi=aPi+i+bp,+epi SD，Po=0，
.v Pi=QP2+bPi
[p2=ap3+bp2 +op】
717_1
--6+—Z?
366"6
437,1_2_
U H---b+—c
,216366~36
7
1-b
c-----
7
代入Pi=a Pi+i+bPi+cp」i0。

1)得：Pi=-|p’+i+；p」i
1z、
•••p，p「=g（p,—加），
•••数列｛Pn~PnJ是等比数列，公比为q=：，首项为P|
6
1
•■-Pn-P…-l=（｛）"•
P"=（P"_P"-1）+（P〃-1_。

"-2）++（P1—Po）=（'）"+（!）'i++^=|（l-^7）-
【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求
o
O
o o
通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分
：
：
的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率.
： ：
.
.® ...... O ..... H
..... O .....
堞.......
O ...... M
..... O
※※鼠※※如※※长※※杰※※氏※※垛※※粗※※鄙※※&※※磐淤※
..® ...... O ..... H
..... O .....
堞.......
O ......
长.......
O
答案第24页，总24页。