F-2007届广东深圳市学高考数学(理科)模拟试题

2007届广东深圳市学高考数学（理科）模拟试题
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集U = R ，A =10x x ⎧⎫
<⎨⎬⎩⎭
，则U A=（ ）．
A ．10x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x ≥0｝ D.1
x x ⎧⎨⎩≥0⎭⎬⎫
2．
是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 ( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）． A ．25
B ．6
C ．7
D ．8
4.设两个非零向量12,e e 不共线，若12ke e +与12e ke +也不共线，则实数k 的取值范围为 （ ）．
A ．(,)-∞+∞
B ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞
C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞
D ．(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞
5.曲线)4
cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21
=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到
大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ）． A ．π B ．2π
C ．3π
D ．4π
6．右图为函数log n y m x =+ 的图象，其中m ，n 为常数，
则下列结论正确的是（ ）．
A ．m < 0 , n >1
B ．m > 0 , n > 1
C ．
m > 0 , 0 < n <1 D ． m < 0 , 0 < n < 1
7．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0
点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③
8.下列程序执行后输出的结果是( C )
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、2
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上）． 9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图
如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为
10．0000sin168sin 72sin102sin198+= ．
11．已知i ， j 为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与
b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ．
12已知函数()f x ,对任意实数,m n 满足()()(),f m n f m f n +=⋅且 (1)(0),f a a =≠则()f n = ()n N +∈.
13符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数
{}[]x x x -=，
那么下列命题中正确的序号是 ．
（1）函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0； （2）方程{}2
1
=
x ，有无数解； （3）函数{}x 是周期函数； （4）函数{}x 是增函数.
14.在平面直角坐标系中，已知曲线c ：2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（3,[,]22ππ
θθ∈为参数）
则曲线c 关于y=x 对称的曲线方程是
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）
已知02
cos 22sin
=-x
x ， （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求
x
x x sin )4
cos(22cos ⋅+π
的值．
16．（本题满分13分）
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．
地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
17．（本题满分13分）
如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，
直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．
18．（本小题满分14分）
一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．
（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；
A
B
D
1
A 1
B 1
C
（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；
（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．
19．（本题满分14分）
已知数列}{n a 满足：,2
1
,121=
=a a 且
*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．
（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；
20．（本题满分14分）
已知函数)0()(>+=t x
t
x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切
线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．
（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；
（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；
若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64
, 2[n
n +内总存在
1+m 个实数
m
a a a ,,,21 ，
1
+m a ，使得不等式
)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．
2007届广东深圳市学高考数学（理科）模拟试题参考答案
一、
选择题：
1. 答案：C. {}A |0,U x x C A =<∴=｛x | x ≥0｝,故选C.
2.C
3. （理）对于
(1)2n n +中，当n ＝６时，有
67
21,2
⨯=所以第２５项是７．选C.
4.D
5.Ａ． ∵)4
cos()4sin(2π
π-+=x x y
＝2sin()sin()1cos(2)1sin 2442x x x x πππ
++=-+=+， ∴根据题意作出函数图象即得．选A ．
6. 答案：Ｄ．当x=1时，y ＝m ,由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,故选Ｄ．
7.A
8.C
二、填空题： 9.810 10．答案：
1
2
． 0000sin168sin 72sin102sin198+=00000sin12cos18cos12sin18sin30+=1
.
2=
11. 答案：),2()2,(21---∞ .
1
cos 2.2θθλλ=
=
⇒<≠-由是锐角得且
12.n a
13. （2）、（3）
14.22(2)1(32)x y y ++=-≤≤- 15．（本题满分12分）
已知02
cos 22sin
=-x
x ， （Ⅰ）求x tan 的值； （Ⅱ）求
x
x x
sin )4cos(22cos ⋅+π
的值．
解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-x x , 22tan =⇒x
， ………………………
2分
342
1222
tan 12tan
2tan 22
-=-⨯=-=∴x x
x ． …………………5分
（Ⅱ） 原式＝
x x x x x sin )sin 2
2cos 22(
2sin cos 22--
x
x x x x x x sin )sin (cos )
sin )(cos sin (cos -+-=
x
x
x sin sin cos +=
…………………
10分
1cot +=x
1)43(+-= 4
1
=． …………………
12分
16．（本题满分13分）
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．
地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）x 、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，
3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． (3)
分
因此，随机变量ξ的最大值为3．
有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，
9
2
)3(=
=∴ξP ． 答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为9
1
． ………
5分
（Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．
0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，
1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，
2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况． 91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，9
2
)2(==ξP ． …………11分
则随机变量ξ的分布列为：
因此，数学期望9
14
923922941910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． (13)
分
17．（本题满分13分）
如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．
解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A
的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．
ABC ∆ 是正三角形，AE BC ∴⊥．
又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．
AE ∴⊥侧面11BB C C ．
连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=． ……………2分
在AED Rt ∆中，tan 45AE
ED
=
=，解得x = (3)
A
B
C
D
1A 1
B 1
C E
F G H
I
分
∴
此正三棱柱的侧棱长
为
……………………4分
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，
⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥． AFE
∴∠为
二
面
角
C B
D A --的平面
角． ……………………………6分 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又
1,sin CD BE EBF BD =∠=
==
∴EF =．
又AE =
∴在AEF Rt ∆中，tan 3AE
AFE EF
∠=
=．
…………………………8分
故
二
面
角
C B
D A --的大小为
arctan3． …………………………9分 解法2：（向量法，见后）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面
ABD ． …………10分
在AEF Rt ∆
中，AE EF
EG AF
⨯=
==
． …………12分
E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD
的距离为2EG =． …………13分
解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．
解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求． 解法4：（向量法，见后） 题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2
则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D -设1(,,)n x y z =为平面ABD 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
,021AD n n 得0y y ⎧=⎪-= 取1(6,n =- …………6分
1
又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n = …………7分
∴10
10
1)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ． …………8分
结合图形可知，二面角C BD A --
的大小为arccos 10
． …………9分
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2
，1(6,n =-
(0,CA =-…………10分
∴点C 到平面ABD
的距离d =2
221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝
10
30
2．13分
18． （本小题满分14分）
一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．
（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；
（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．
解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032
212=+--⋅n
m ．……2分
解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)5
2
,59(-． …………………
4分
（Ⅱ）11PF F P =' ，根据椭圆定义，
得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052
()159(22=-+--=，……………5分
2=∴a ，112=-=b ．
∴所求椭圆方程为
12
22
=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22=c
a ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分
设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，
2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．
则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．
22221)
2(2
25210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分
令2
2)
2(2
2)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则
3
422)
2()
86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， 当0)(,
3
4
2<'-<<-t f t ，0)(,23
4
>'<<-
t f t ， 3
4
-=t ，0)(='t f ．
∴ )(t f 在3
4-
=t 时取得最小
值． ………………………………13分 因此，
21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)3
1,34(-．…………
14分
注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
说明：求得的点Q )3
1
,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率．
19．（本题满分14分）
已知数列}{n a 满足：,2
1,121=
=a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，
*N n ∈．
（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；
解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=
a ，55=a ，8
1
6=a ． 当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，
122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ；
当n 为偶数，n n a a 2
1
2=
+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列，
n n n a a )2
1
()21(122=⋅=∴-．
因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪
⎨⎧=)()
2
1()( 2
为偶数为奇数n n n
a n n ．
（Ⅱ） n n n b )2
1
()12(⋅-=，
n n n n n S )2
1
()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅
=∴- ……（1） 1432)2
1
()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S …（2） （1）、（2）两式相减，
得132)2
1
()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n n n S 11)21()12(2
11]
)21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ．
n n n S )2
1
()32(3⋅+-=∴．
20．（本题满分14分）
已知函数)0()(>+=t x
t
x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线
PM 、PN ，切点分别为M 、N ．
（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；
（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64
, 2[n
n +
内总存在1+m
个实数
m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的
最大值．
解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，
2
1)(x t
x f -
='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(121
11x x x t x t x y --=+-， 又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(0121
11x x t
x t x --=+
-， 即0212
1=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分
同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得0222
2=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，
⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,
22121
t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分
22211221)()(x t x x t x x x MN --+
+-=])1(1[)(2
2
1221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(2
2
121221x x t x x x x -+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,
因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分
（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴
01111--+
x x t x ＝0
122
2--+x x t x ，
即
2
1
1
2
1x x t x -+＝
2
2
2
2
2x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，
21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ..................（3） (7)
分
把（*）式代入（3），解得2
1
=
t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 2
1=
t ． ……………………9分
（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64
,2[n
n +
上为增函数， ∴)64
()()2(n
n g a g g i +
≤≤)1,,2,1(+=m i ， 则)64
()()()()2(21n
n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ． 依题意，不等式)64
()2(n
n g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分
)64
(20)n 6420(n 22022022n
n m +++
<⋅+⋅， 即)]64
()n 64[(n 612n
n m +++<
对一切的正整数n 恒成立，． 1664
≥+
n n ， 3
136
]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥+++∴n n ， 3
136
<
∴m ．
由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分
又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件．
因此，m 的最大值为6． ……………………………
14分
解法2：依题意，当区间]64
,2[n
n +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．
1664
≥+n
n ，
∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分
当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅， 解得3
136
<m ． ……………………………13分
后面解题步骤与解法1相同（略）．。