高三数学上学期第七次模拟试卷 理扫描 试题

航天高级中学2021届高三数学上学期第七次模拟试卷理〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日
七模理科数学参考答案
第一卷〔选择题，一共60分〕
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A
B
B
B
D
C
B
D
B
C
B
【解析】
7．1011=0+11p S =+==，，k =2，2<5？是；14
123133
p S =+==+=，，k =3，3<5？是；
413336+362p S =+==
=，，k =4，4<5？是；31864102105
p S =+==+=，，k =5，5<5？否，∴8
5
S =
，应选C ． 8．求得交点()A k k ，，(2)B k k -，，(00)C ，，∴2A z k =，B z k =-，0C z =，∵0k ＞， ∴max 212z k ==，∴6k =，∴min 6z k =-=-，应选B ．
9．在空间四边形ABCD 中，取AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，那么60BOD ∠=︒，R =OA =OB =OC =OD =2，
V =
32
3
π，应选D ．
10．F (1，0)，准线为x =-1，设准线与x 轴的交点为H ，在△AHF 中，HF =2，AFH PAF ∠=∠
60=︒，又AP =PF ，那么△PAF 为等边三角形，PF =AF =4，应选B ．
11．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln 1y x y ax ==-，，直线21y ax =-过定点(01)-，，
设直线21y ax =-与1y 的切点为00(ln )x x ，，由于11
y x
'=，所以切线斜率0000
ln 1
111x a x a x x +=
===，∴，，当(01)a ∈，
时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点，应选C ．
12．由()()()()f x g x f x g x ''<得2
()()()()()
0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦
，即()()x f x y a g x ==为R 上的减函数，所以01a <<，由
(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，得15
2
a a -+=，即22520a a -+=，解得2a =或者12a =，又01a <<，所以12a =，故()1()2x
f x
g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，数列()()()f n n g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
*
N 即
1()2n
n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩
⎭*
N ，其前n 项和为1112216311
26412
n
n ⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-= ⎪⎝⎭-，整理得11264n ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，解得
6n =，应选B ．
第二卷〔非选择题，一共90分〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
【解析】
13．由17n +=，得n =6，应用二项式定理，得展开式的常数项为4
422
56
1C ()15T x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
．
14．由，得111121
2222f ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是511122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 15．由2y x =，得0)y x =≥，那么面积为
1
31
2
320212111()d 3
3333A S S x x x x x Ω⎛⎫
==-=-=
-= ⎪
⎝⎭⎰，，于是概率为1
3
A S S Ω=． 16．由函数32115
()33212
f x x x x =-+-，得2()3f x x x '=-+，那么()21f x x ''=-，令()0f x ''=，
得12x =
，代回原函数，得112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故对称中心为112⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕
18．〔本小题满分是12分〕 〔Ⅰ〕证明：连接AC ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为BD 的中点，∴AC ∩BD =E ，∴E 为AC 的中点． 又∵F 为PC 的中点，∴EF 是△PAC 的中位线，∴EF ∥PA ． 又∵PA ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，
∴EF ∥平面ADP ．…………………………………〔4分〕 〔Ⅱ〕解：如图1，连接AM 和DM ，∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，且PD ⊥BD ，
又∵AD ⊥BD ，PD BD D =，
∴AD ⊥平面PDB ，
又∵MD ⊂平面PDB ，
图1
∴AD ⊥MD ， 又∵AD ⊥BD ，
∴∠MDB 是二面角M AD B --的平面角，∴∠MDB =45°．…………………………〔8分〕 在△PDB 中，∵PD ⊥BD ，PD =BD ，∠MDB =45°，∴M 是PB 的中点，∴2λ=．…………………………………………………………〔12分〕 19．〔本小题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕甲、乙两班数学样本成绩的中位数分别是72分、70分．………………〔2分〕 〔Ⅱ〕901+804+70660650240190
==7120
x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+甲，
902+803+705605503402100
=
=7020
x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+乙，
∴甲、乙两班数学样本成绩的平均值分别是71分、70分．…………………………〔6分〕
〔III 〕ξ的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为14，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为1
4
，
4
381(0)4256P ξ⎛⎫
===
⎪⎝⎭， 3
1
2
1327(1)2C 4464P ξ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 2222
1122131327(2)2+C C 4444128P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2
212
2
1133(3)2C C 44464P ξ⎛⎫
==⨯= ⎪⎝⎭
， 4
11(4)4256P ξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
， ∴ξ的分布列为：
……………………………………………………………………………………〔11
分〕
8110854121
()012341256256256256256
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………〔12分〕
20．〔本小题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕在12AF F △中，由1260F AF ∠=︒，12AF AF a ==， 得12AF F △是等边三角形，那么2a c =，于是椭圆C 的离心率
1
2
c e a =
=．………………………………………………………〔4分〕
〔Ⅱ〕由1
2
c e a ==，得2a c =，那么b =，于是椭圆C ：22
22143x y c c +=．
又由右焦点2(0)F c ，及斜率tan 451k =︒=，得直线l y x c =-：．
联立，得222
3412y x c x y c =-⎧⎨+=⎩，
，
消去y ，得227880x cx c --=． 运用韦达定理，得2121288
77
x x c x x c +==-，．…………………………………………〔8
分〕
设1122()()M x y N x y ，，，，且1(0)F c -，， 那么111122()()MF NF c x y c x y ⋅=------，，
21212121212()()()()()()22c x c x y y c x c x x c x c x x c =+++=+++--=+
222162
277
c c c =-
+=-，
而112MF NF ⋅=-，即22
27
c -=-，于是27c c ==，
所求椭圆C 的方程为
22
12821
x y +=．……………………………………………………〔12分〕
21．〔本小题满分是12分〕
〔Ⅰ〕解：函数()
f x的单调递减区间为(1)
-∞-
，，单调递增区间为[10)
-，，(0)
+∞
，．……………………………………………………………………………………〔2分〕
〔Ⅱ〕证明：由()
g x有意义知
1
2
x≥，所以()ln
f x x
=，令()()()
h x g x f x
=-
，
1
()
h x
x
'=-，因
为22
1
21(1)0
x x x x
x
⇔⇔-⇔-
≥≥成
1
x
成立，所以()0
h x
'≥，即()()()
h x g x f x
=-在
1
2
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
，上是增函数．
所以
min
11111
()ln ln20
22222
h x h
⎛⎫
==--=->=
⎪
⎝⎭
，所以()()
g x f x
>，
即曲线()
f x与()
g x
=
1
2
没有公一共点．…………………………………………〔6分〕
〔Ⅲ〕解：当
12
x x
<<或者
21
x x
>>时，
12
()()
f x f x
''
≠，故
12
x x
<<．
当
1
x<时，函数()
f x的图象在点
11
(,())
x f x处的切线方程为211
(2)
y x x a
-++= 11
(22)()
x x x
+-，即2
11
(22)
y x x x a
=+-+．
当
2
x>时，函数()
f x的图象在点
22
(,())
x f x处的切线方程为22
2
1
ln()
y x x x
x
-=-，即
2
2
1
ln1
y x x
x
=⋅+-，两切线重合的充要条件是1
2
2
21
1
22
ln1
x
x
x x a
⎧
=+
⎪
⎨
⎪-=-+
⎩
，①
，②
由①及12
x x
<<，知
1
10
x
-<<．
由①②得，2
1
1
1
ln1
22
a x
x
=+-
+
2
11
ln(22)1
x x
=-+-．
设2
1111
()ln(22)1(10)
h x x x x
=-+--<<，那么
11
1
1
()20
1
h x x
x
'=-<
+
．
所以，
1
()
h x在(10)
-，上是减函数，那么
1
()(0)ln21
h x h
>=--，所以ln21
a>--．
又当1(10)x ∈-，且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是
(ln 21)--+∞，．
故当函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21)--+∞，．
……………………………………………………………………………………〔12分〕
22．〔本小题满分是10分〕【选修4−1：几何证明选讲】
证明：〔Ⅰ〕如图2，∵AD ∥BC ，
∴∠ADB =∠DBC 〔两直线平行内错角相等〕，
又∵∠ADB =∠ACB 〔同弧所对圆周角相等〕，
∴∠DBC =∠ACB ．
在△ABC 和△DCB 中，
∵∠BAC =∠CDB 〔同弧所对圆周角相等〕， BC = BC ，
∠DBC =∠ACB 〔已证〕，
∴△ABC ≌△DCB ．………………………………………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕在△AED 和△BAC 中，
∵AC ∥ED 〔〕，
AD ∥BC 〔〕，
∴∠ADE =∠BCA ，
∠EAD =∠ABC ，
∴△AED ∽△BAC ，∴AE DE AB AC
=， ∴AE AC AB DE ⋅=⋅．
又由〔Ⅰ〕知△ABC ≌△DCB ，
图2
∴AB =DC ，AC =BD ， ∴DE ·DC ＝AE ·BD ．……………………………………………………………………〔10分〕
23．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：〔Ⅰ〕依题意可得直线l 的直角坐标方程为120x --=，
曲线C 的普通方程为22
1273
x y +=．………………………………………………………〔4分〕
〔Ⅱ〕设)P θθ，那么点P 到直线l 的间隔
d cos 16θπ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭时，min 3d =． ……………………………………………………………………………………〔10分〕
24．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】 〔Ⅰ〕解：因为(3)f x k x +=-，所以(3)0f x +≥等价于x k ≤， 由x k ≤有解，得0k ≥，且其解集为{}x k x k -≤≤．
又(3)0f x +≥的解集为[11]-，，
故k =1．……………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知1a +12b +13c
=1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 2
111
23(23)923a b c a b c a b c ⎛⎫++=+++++= ⎪⎝⎭≥． ………………………………………………………………………………………〔10分〕。