华南理工大学高等数学统考试卷下2011

高等数学下册试卷 2011．6．16
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一、填空题[共20分]
1. 函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为gradz ={}16,18
2. 函数4422
2z x y x xy y =+---的极值点是()()1,1,1,1- 3. 假设L 为圆222x y a +=的右半部分,则L
=2a π
4. 设{}22sin ,2,x A e y xy z xzy =+ ,则()
1,0,1divA
= 0
5. 设
221233,3,3x
y y x y x e ==+=++都
是
方
程
()()()2
2222266x x y x y x y x '''---+-=-的解,则方程的通解为
2123x y c x c e =++
二、（本题8分）计算三重积分()222x y z dv Ω
++⎰⎰⎰,其中Ω是由2221x y z ++=所
围成的闭区域.
解
原式21
4
4sin 5
d d d π
ππ
θϕρϕρ=
=⎰⎰⎰ 三、（本题8分）证明:(),f x y =()0,0处连续,()0,0x f ',与()0,0y f
'存在,
但在()0,0处不可微.
证 因为()()0
lim ,00,0x y f x y f →→==,所以(),f x y =
()0,0处连续;
()()()
0,00,000
0,0lim
lim
00
x x x f x f f x x
→→--'===-,()()()00,0,00,0lim
00y y f y f f y →-'==-,,所以()0,0x f ',与()0,0y f '存在,
但()()
0,00,0lim
lim
x y x y z f x f y
ρρ
→∆→∆→''∆-∆-∆=不存在(只要取
0y k x ∆=∆→便可证明),从而该函数在()0,0处不可微.
四、（本题8分）设函数(),u x y 有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式
cos ,sin x r y r θθ==,将u u
x
y y x
∂∂-∂∂转化为,r θ下的表达式. 解:
c o s s i n u u x u y u u
r x r y r x y
θθ∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂
sin cos u u x u y u u r r x y x y
θθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+∂∂∂∂∂∂∂ 从而
sin cos cos ,sin u y u u y u
x r r y r r θθθθθθ
∂∂∂∂∂∂=-=+
∂∂∂∂∂∂ 故cos sin sin cos u u y u y
u u x
y x y y x r r r r θθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫-=+--=
⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
五、（本题8分）计算22
L
xdy ydx
x y -+⎰
,其中L 为
(1)圆周()()2
2
111x y -+-=(按反时针方向) (2)圆周1x y +=(按反时针方向)
解: (1)令2222,y x P Q x y x y -==++,则()22222P y x Q
y x
x y ∂-∂==∂∂+在所围区域每点成立 从而由格林公式220L
D xdy ydx
Q P x y x y ⎛⎫-∂∂=-= ⎪+∂∂⎝
⎭⎰
⎰⎰ (2)取1L 为圆周220.01x y +=(按反时针方向)
则在1L 和L 中间的区域1D 内每一点成立()22222P y x Q
y x x y ∂-∂==
∂∂+ 从而由格林公式
1
1220L L D xdy ydx
Q P x y x y -⎛⎫-∂∂=-= ⎪+∂∂⎝
⎭⎰
⎰⎰
111
2222111
220.0120.010.010.01L L L D xdy ydx xdy ydx xdy ydx dxdy x y x y ππ--==-==⋅⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰ 六、（本题8分）计算ydS ∑
⎰⎰,∑是平面1x y z ++=被圆柱面221x y +=截出的有限部
分
解 平面的法向量为{
}
}
1,1,1,1,1,1,cos n n γ==
=
0xy
D ydS ∑
==⎰⎰⎰⎰
(由对称性)
七、（本题8分）计算曲面积分2I yzdzdx dxdy ∑
=+⎰⎰,其中∑为上半球
面
z =的上侧.
解 取一曲面()221:04z x y ∑=+≤,下侧. 两曲面形成封闭曲面的外侧,围成Ω
有高斯公式
1
22
2
3
2cos sin 4yzdzdx dxdy zdv d d d π
π
θϕρϕϕρπ∑+∑Ω
+==
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
228D
yzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰
故 原式12π=
八、（本题6分）求微分方程
sin dy y x
dx x x
+=
的通解 解 由非齐次线性微分方程的解的公式
11
ln ln sin sin 1sin cos dx dx
x x x x x x x c x y e e dx c e e dx c xdx c x x x x x -
-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎰⎰=⋅+=⋅+=⋅+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰九、（本题6分）求微分方程22x y y y e '''+-=的通解
解 对应的齐次方程的特征方程为()()2121
210,2110,1,2
r r r r r r +-=-+==-=
对照非齐次项的标准形式()(),0,1x m f x P x e m λλ===不是特征根，故0k = 特解的待定形式为()*k x x m y x Q x e ae λ==，代入非齐次方程，得1a =
从而原方程的通解为12
12x x x y c e
c e e -=++
十、（非化工类做）（本题6分）求幂级数()
1211
14
n n n
n x n -∞
-=-⋅∑
的收敛域.
解 ()()
()
111
114lim
4,24
1n n n
n
n n R R n -+→∞
-+⋅=⋅===⋅-
当2x =时，幂级数化为()
1
1
1n n n
-∞
=-∑
收敛
当2x =-时，幂级数化为()
1
1
1n n n
-∞
=--∑
也收敛
从而收敛域为[]2,2-
十一（本题7分）将函数()2
2x
f x x x
=+-展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间. 解 ()()()()1111
2131231612
x
x x x f x x x x x x x ⎛⎫=
=+=⋅+⋅ ⎪-++---⎝⎭- ()()()011,1,11n n
n x x x ∞==-∈---∑；()01,2,2212
n n n x x x ∞
==∈--∑
从而()()()0
11,1,1362n n
n
n f x x x ∞
=⎛⎫-=+∈- ⎪ ⎪⋅⎝⎭
∑ 十二、（非化工类做）（本题6分）设函数()f x 是以2π为周期的周期函数，它
[],ππ-在上的表达式为()1,0
1,0x f x x ππ
--≤<⎧=⎨
≤<⎩，将其展成傅立叶级数，并确定其成立范围。

.
解: 由函数(),ππ-上的奇函数性质，00a =， ()0
2
2sin 11,1,2,,n
n b nxdx n n π
π
π⎡⎤==
--=⎣
⎦⎰
所以
()()()1,221
~s i n ,0,1,2,
0,n
n f x x k f x nx k n x k π
π
π
∞
=≠⎧--⎪==
±±⎨=⎪⎩∑
十、（化工类做）（本题6分）求微分方程()()222336640x xy dx x y y dy +++=的通
十一、（化工类做）（本题7分）计算L
xds ⎰
，其中L 为直线y x =及抛物线2
y x =所
围成的区域的整个边界.
十二、（化工类做）（本题6分）求微分方程22
01y y y
'''+=-的通解。