高考数学湖北专用 理一轮复习教学案：第八章立体几何空间向量及其运算

8．6 空间向量及其运算
错误!
１．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
２．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
３．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
１．空间向量的有关定理
（１）共线向量定理：对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使得______．（２）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使________．
（３）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得______________．其中，{a，b，c}叫做空间的一个______．
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的一个有序实数组{x，y，z}，使OP＝____________.
２．两个向量的数量积
（１）两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则______叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定____≤〈a，b〉≤____.若〈a，b〉＝____，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
（２）两向量的数量积．
两个非零向量a，b的数量积a·b＝______________.
（３）向量的数量积的性质（e是单位向量）：
１a·e＝|a|______________；２a⊥b a·b＝____；
３|a|２＝a·a＝____；４|a·b|____|a||b|.
（４）向量的数量积满足如下运算律：
１（λa）·b＝λ（a·b）；２a·b＝______（交换律）；
３a·（b＋c）＝____________（分配律）．
３．空间向量的坐标运算
（１）设a＝（a１，a２，a３），b＝（b１，b２，b３），则
a±b＝____________________；
λa＝________________（λ∈R）；
a·b＝________________；
a⊥b⇔a１b１＋a２b２＋a３b３＝____；
a∥b⇔a１＝λb１，a２＝λb２，a３＝λb３（λ∈R）；
|a|２＝a·a⇒|a|＝错误!（向量模与向量之间的转化）；
cos〈a，b〉＝错误!＝错误!.
（２）设A（x１，y１，z１），B（x２，y２，z２），
则错误!＝（x２—x１，y２—y１，z２—z１），
|错误!|＝错误!.
１．在下列命题中：
１若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
２若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
３若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
４已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝x a＋y b ＋z c.
其中正确命题的个数是（）．
Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３
２．已知向量a＝（１,１,0），b＝（—１,0,２），且k a＋b与２a—b互相垂直，则k的值为（）．Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
３．已知a＝（λ＋１,0,２），b＝（6,２μ—１,２λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（）．
Ａ．２，错误!Ｂ．—错误!，错误!Ｃ．—３,２Ｄ．２,２
４．已知四边形ABCD为平行四边形，且A（４,１,３），B（２，—５,１），C（３,7，—５），则点D的坐标为________．
５．已知a＝（１,２，—２），b＝（0,２,４），则a，b的夹角的余弦值为__________．
一、空间向量的线性运算
【例１—１】如图所示，在平行六面体ABCD­A１B１C１D１
中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，M，N，P分别是AA１，BC，C１D１的中点，试用a，b，c 分别表示以下各向量：
（１）错误!；（２）错误!；（３）错误!＋错误!.
【例１—２】已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且错误!＝２x错误!＋３y错误!＋４z错误!，则２x＋３y＋４z＝__________.
方法提炼
空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导．
请做演练巩固提升１
二、空间向量的数量积
【例２】已知空间中三点A（—２,0,２），B（—１,１,２），C（—３,0,４），设错误!＝a，错误!＝b，（１）若|c|＝３，且c∥错误!，求向量c；
（２）求向量a与向量b的夹角的余弦值；
（３）若k a＋b与k a—２b互相垂直，求实数k的值．
方法提炼
１．两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，这是与空间向量的加、减、数乘等线性运算最大的区别．
２．利用两空间向量的数量积运算公式，可以求向量的模、求两个向量的夹角、证明两个向量垂直等．请做演练巩固提升３
三、空间向量的坐标运算
【例３—１】已知：a＝（x,４,１），b＝（—２，y，—１），c＝（３，—２，z），a∥b，b⊥c，求：（１）a，b，c；
（２）a＋c与b＋c所成角的余弦值．
【例３—２】如图，在直三棱柱ABC­A１B１C１的底面△ABC中，CA＝CB＝１，∠BCA＝90°，棱AA１＝２，M，N分别是A１B１，AA１的中点．
（１）求|错误!|；
（２）求cos〈错误!，错误!〉的值；
（３）求证：A１B⊥C１M.
方法提炼
空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约，可以将空间元素的位置关系转化成数量关系，将逻辑推理转化成数量计算，可以化繁为简，因此是处理空间问题的一种重要工具和方法．请做演练巩固提升２
正确构建空间直角坐标系
【典例】（１２分）如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝２，原点O是BC的中点，点A的坐标是错误!，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝３0°.
（１）求错误!的坐标；
（２）设错误!和错误!的夹角为θ，求cos θ的值．
规范解答：（１）如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝３0°，BC＝２，得BD＝１，CD＝错误!.
∴DE＝CD sin ３0°＝错误!.
OE＝OB—BD cos 60°＝１—错误!＝错误!.
∴D点坐标为错误!，
即错误!的坐标为错误!.（6分）
（２）依题意，错误!＝错误!，错误!＝（0，—１,0），错误!＝（0,１,0），
∴错误!＝错误!—错误!＝错误!，错误!＝错误!—错误!＝（0,２,0）．（8分）
由错误!和错误!的夹角为θ，
得cos θ＝错误!＝
错误!
＝—错误!.
∴cos θ＝—错误!.（１２分）
答题指导：解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：
（１）对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误；
（２）不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化．
另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法．
１．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G 在线段MN上，且分MN所成的比为２，现用基向量错误!，错误!，错误!表示向量错误!，设错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!，则x，y，z的值分别是（）．
Ａ．x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!
Ｂ．x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!
Ｃ．x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!
Ｄ．x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!
２．已知a＝（—２,１,３），b＝（—１,２,１），若a⊥（a—λb），则实数λ的值为（）．Ａ．—２Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．２
３．如图，在３0°的二面角α­l­β的棱上有两点A，B，点C，D分别在α，β内，且AC⊥AB，BD ⊥AB，AC＝BD＝AB＝１，则CD的长度为________．
４．已知O（0,0,0），A（１,２,３），B（２,１,２），P（１,１,２），点Q在直线OP上运动，当错误!·错误!取最小值时，点Q的坐标是__________．
５．如图所示，在平行六面体ABCD­A１B１C１D１中，以顶点A为端点的三条棱长都为１，且两两夹角为60°.
（１）求AC１的长；
（２）求BD１与AC夹角的余弦值．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
１．（１）a ＝λb （２）p ＝x a ＋y b （３）p ＝x a ＋y b ＋z c 基底 x OA ＋y OB ＋z OC ２．（１）∠AOB 0 π 错误! （２）|a||b|cos 〈a ，b 〉 （３）１cos 〈a ，e 〉 ２0 ３a ２ ４≤ （４）２b·a ３a·b ＋a·c
３．（１）（a １±b １，a ２±b ２，a ３±b ３） （λa １，λa ２，λa ３） a １b １＋a ２b ２＋a ３b ３ 0 基础自测
１．A 解析：１错，向量a ，b 所在的直线可能重合；２错，向量a ，b 可以平行移动到同一平面内；３错，如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量；４错，a ，b ，c 要求不共面．
２．D 解析：k a ＋b ＝（k —１，k,２）,２a —b ＝（３,２，—２）．
∵（k a ＋b ）⊥（２a —b ），
∴３（k —１）＋２k —４＝0，解得k ＝错误!.
３．A 解析：∵a ∥b ，∴２μ—１＝0，∴μ＝错误!，排除C ，D 两项．
代入A ，B 选项验证可得，λ＝２成立．
４．（５,１３，—３） 解析：设D （x ，y ，z ），
则AB ＝DC ，
∴（—２，—6，—２）＝（３—x,7—y ，—５—z ）．
∴错误!解得错误!
∴D （５,１３，—３）．
５．—错误!错误! 解析：∵a ·b ＝１×0＋２×２＋（—２）×４＝—４，
且|a |＝错误!＝３，|b |＝错误!＝２错误!，
∴cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!错误!.
考点探究突破
【例１—１】 解：（１）AP ＝1AA ＋11A D ＋1D P ＝a ＋c ＋错误!b .
（２）1A N ＝1A A ＋AB ＋BN ＝—a ＋b ＋错误!c .
（３）MP ＋1NC ＝1MA ＋11A D ＋1D P ＋NC ＋1CC
＝错误!a ＋c ＋错误!b ＋错误!c ＋a
＝错误!a ＋错误!b ＋错误!c .
【例１—２】 —１ 解析：∵A ，B ，C ，D 四点共面，
∴OA ＝m OB ＋n OC ＋p OD ，
且m ＋n ＋p ＝１．
由条件知OA ＝（—２x ）OB ＋（—３y ）OC ＋（—４z ）OD ，
∴（—２x ）＋（—３y ）＋（—４z ）＝１．
∴２x ＋３y ＋４z ＝—１．
【例２】 解：（１）∵c ∥BC ，
∴c ＝k BC ，k ∈R .
又∵BC ＝（—２，—１,２），
∴可设c ＝（—２k ，—k,２k ）．
又∵|c |＝错误!＝３|k |＝３，
∴k ＝±１．
∴c ＝（—２，—１,２）或c ＝（２,１，—２）．
（２）∵a ＝AB ＝（１,１,0），b ＝AC ＝（—１，0,２），
∴a ·b ＝—１，|a |＝错误!，|b |＝错误!，
∴cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.
（３）∵k a ＋b ＝（k ，k,0）＋（—１,0,２）＝（k —１，k,２），
k a —２b ＝（k ，k,0）—（—２,0,４）＝（k ＋２，k ，—４），
∵k a ＋b 与k a —２b 互相垂直，
∴（k a ＋b ）·（k a —２b ）＝（k —１）（k ＋２）＋k ２—8＝0，
解得k ＝２或k ＝—错误!.
【例３—１】 解：（１）因为a ∥b ，
所以错误!＝错误!＝错误!，解得x ＝２，y ＝—４，
这时a ＝（２,４,１），b ＝（—２，—４，—１）． 又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，
即—6＋8—z ＝0，解得z ＝２，
于是c ＝（３，—２,２）．
（２）由（１）得a ＋c ＝（５,２,３），b ＋c ＝（１，—6,１），
因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为cos θ＝错误!＝—错误!.
【例３—２】 解：如图所示，建立以C 为原点的空间直角坐标系C ­xyz ，
（１）依题意得B （0,１,0），N （１,0,１），
则|BN |＝错误!＝错误!.
（２）依题意得A １（１,0,２），B （0,１,0），C （0,0,0），B １（0,１,２），
∴1BA ＝（１，—１,２），1CB ＝（0,１,２）．
∴1BA ·1CB ＝３，
|1BA |＝错误!，|1CB |＝错误!，
∴cos〈1BA ，1CB 〉＝11
11||||BA CB BA CB ＝错误!.
（３）证明：依题意得C １（0,0,２），M 错误!，∴1C M ＝错误!.
又1A B ＝（—１,１，—２），
∴1A B ·1C M ＝—错误!＋错误!＋0＝0．
∴1A B ⊥1C M ，即A １B ⊥C １M .
演练巩固提升 １．D 解析：由题图可知OG ＝OM ＋MG ，
而MG ＝错误!MN ，MN ＝MA ＋AB ＋BN
＝错误!OA＋OB—OA＋错误!BC＝—错误!OA＋OB＋错误!（OC—OB）＝—错误!OA＋错误!OB＋错误!OC.
OG＝错误!OA＋2111 3222
OA OB OC ⎛⎫
-++
⎪⎝⎭
＝错误!OA＋错误!OB＋错误!OC.
∴x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!.
２．D 解析：a—λb＝（λ—２,１—２λ，３—λ）．
由a⊥（a—λb）得—２（λ—２）＋１—２λ＋9—３λ＝0，
解得λ＝２．
３．错误!解析：∵BD⊥AB，CA⊥AB，
∴AC与BD的夹角为３0°.
∵|CD|＝|CA＋AB＋BD|，
∴|CD|２＝|CA＋AB＋BD|２＝|CA|２＋|AB|＋|BD|２＋２CA·AB＋２AB·BD＋２CA·BD ＝３＋２|CA|·|BD|cos １５0°＝３—错误!.
∴|CD|＝错误!.
４．错误!解析：设OQ＝λOP＝（λ，λ，２λ），
则QA＝（１—λ，２—λ，３—２λ），QB＝（２—λ，１—λ，２—２λ）．
∴QA·QB＝（１—λ）（２—λ）＋（２—λ）（１—λ）＋（３—２λ）（２—２λ）＝6λ２—１6λ＋１0＝6错误!２—错误!.
∴当λ＝错误!时，QA·QB取最小值为—错误!.
此时，OQ＝错误!，即Q点的坐标是错误!.
５．解：记AB＝a，AD＝b，
1
AA＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝１，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝错误!.
（１）|
1
AC|２＝（a＋b＋c）２
＝a２＋b２＋c２＋２（a·b＋b·c＋c·a）
＝１＋１＋１＋２×错误!＝6，
∴|1AC |＝错误!，
即AC １的长为错误!. （２）1BD ＝b ＋c —a ，AC ＝a ＋b ， ∴|1BD |＝错误!，|AC |＝错误!，1BD ·AC ＝（b ＋c —a ）·（a ＋b ） ＝b ２—a ２＋a ·c ＋b ·c ＝１． ∴cos〈1BD ，AC 〉＝11||||BD AC
BD AC ＝错误!.
∴AC 与BD １夹角的余弦值为错误!.。