湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

A．12
B．13
C．14
D．15
4．已知
cos
π 2
2cos
π
，则
tan
π 4
（
）
A． 1 3
B．
1 3
C． 4
D．4
5．已知 S, A, B, C 是球 O 表面上的点，SA 平面ABC ，AB BC ，SA AB 1 ，BC 2 ，
则球 O 表面积等于 A．4
B．3
C．2
8
（其中 O 为坐标原点），则 ABO 与 V AFO 面积之和的最小值是
．
四、解答题 17．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，角 A, B,C 成等差数列．
(1)若 c : b 5 : 7 ，求 cosC ；
(2)若 BA BC 3, b
7 ，求 ABC 的周长．
.
14．已知数列 an 中， a1 1,a2 3,a n2 a n1 a n ，则 a2022
．
15．若曲线 y 4 x 2 与直线 y k x 2 4 有两个交点，实数 k 的取值范围
是
．
16．已知
F
为抛物线
y2
2x
的焦点，点
A、B
在该抛物线上且位于
x
轴的两侧，OA OB
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn 3n (1)n 1 2 an ，若数列bn 是递增数列，求实数 的取值范围．
22．已知椭圆的中心为坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，过椭圆右焦点 F 且斜率为 1 的直线
l
交椭圆于
A、B
两点，满足
OA
OB
与
a
4,
3
共线．
(1)求椭圆的离心率；
18．湖南省高考目前实行“ 3 1 2 ”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这 3 门必选 科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这 2 门首选科目中选择 1 门，“2”指的是考生需 要在思想政治、地理、化学、生物这 4 门再选科目中选择 2 门，已知中南大学湘雅医学 院临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少 1 门． (1)从所有选科组合中任意选取 1 个，求该选科组合符合中南大学湘雅医学院临床医学类 招生选科要求的概率；
(2)当椭圆的焦距为 2 时，设 P 为椭圆上任意一点，且 OP mOA nOB m, n R ，求点
M m, n 到原点 O 的最大距离．
试卷第 4页，共 4页
右支上非顶点的一点
A
关于原点的对称点为 B, F
为
双曲线的右焦点，若
AF
BF
，设
ABF
，且
π 12
,
π 4
，则该双曲线的离心率的
取值范围为（ ）
A． 1, 2
B． 2,2
C． 2,
D． 2,
二、多选题
9．已知向量 m 2cos2x, 3 , n 1,sin2x ，设函数 f x m n ，则下列关于函数
D．
6．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每
人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有 996 斤棉
试卷第 1页，共 4页
花全部赠送给 8 个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17 斤，直到第 8 个
孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（ ）
y f x 的性质的描述正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为
B．
f
x
的图象关于点
5π 12
, 0
对称
C．
f
x
的图象关于直线
x
π 6
对称
D．
f
x
的图象可以由
y
2sin 2 x
的图象向左平移
π 6
个单位，再向上平移
1
个单位
得到
10．已知曲线 C 的方程为 x2 y2 1（ ） 9 k k 1
正确的是（ ）
A．数列 an 是递增数列
B． S5 60 试卷第 2页，共 4页
C．
d
24 7
,
3
D．数列Sn 中最大项为第 6 项
12．抛物线 C : x2 4y 的焦点为 F , P 为其上一动点，设直线 l 与抛物线 C 相交于 A, B 两
点，点 M 2,2 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 k 4 时，曲线 C 是焦点坐标为 2, 0 的椭圆
B．当
k
0
时，曲线Cຫໍສະໝຸດ 为双曲线，其渐近线方程为y
1 3
x
C．不存在实数 k ，使得曲线 C 为离心率为 2 的双曲线
D．“1 k 9 ”是“曲线 C 为椭圆”的必要不充分条件
11．设等差数列an 的公差为 d，前 n 项和为 Sn ，若 a3 12, S12 0, S13 0 ，则下列结论
B． x0 (0, ) ， ex0 x0 1
C． x (0, ) ， ex x 1
D． x (0, ) ， ex x 1
2．焦点坐标为 1, 0 的抛物线的标准方程是（ ）
A． y2 2x
B． x2 2 y
C． x2 4y
D． y2 4 x
3．某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为 7 天左右，短的大约 2~3 天，长的大约 10~14 天， 甚至有 20 余天．某医疗机构对 400 名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率 分布直方图．根据该直方图估计；要使 90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数 至少是（ ）
湖南省株洲市第二中学 2023-2024 学年高二上学期第一次月 考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．命题“ x0 (0, ) ， ex0 x0 1 ”的否定是（ ）.
A． x0 (0, ) ， ex0 x0 1
A． 75 斤
B． 70 斤
C． 65 斤
D． 60 斤
7．设实数 x, y 满足 x2 y2 1, x2 y2 2 y 1 x2 y2 2 x 1 的最小值为（ ） 54
A． 2 5 2
B．1 5
C． 2
D．前三个答案都
不对
8．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
为坐标原点），求直线 l 的方程．
20．四棱锥 A BCDE ，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC 底面 BCDE ,BC 2,CD 2 ，
AB AC ． (1)证明： AD CE ； (2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ，求二面角 D AE B 的正弦值的大小．
21．已知正项数列an ，对任意 n N* ，都有 2Sn an2 an, Sn 为数列an 的前 n 项和．
(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意 1 个选科组合是等可能的，求这三人中有两人的选 科组合符合中南大学湘雅医学院临床医学类招生选科要求的概率．
试卷第 3页，共 4页
19．已知双曲线 C 经过点 P 2, 2 ，且其两条渐近线相互垂直．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)过点 Q 0, 2 的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F ，若 OEF 的面积为 2 2（ O
A． PM PF 的最小值为 3
B．抛物线 C 上的动点 P 到点 H 0,3 的距离最小值为 2 2
C．存在直线 l ，使得 A, B 两点关于 x y 3 0 对称 D．过抛物线 C 的焦点，长度为不超过 2023 的整数的弦的条数是 4039
三、填空题
13．函数 f x 是 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x 2x ，则 f log2 3