复数、实数、虚数、纯虚数的概念、区别、联系及常用公式

复数、实数、虚数、纯虚数、虚数单位
的概念、联系及常用运算公式
一、虚数单位“i ”的由来
为了解决“210x +=”这个方程在实数范围内无解的问题，我们引入了一个新数“i ”(“i ”常被称为虚数单位)，使得“x i =”是方程“210x +=”的解。

把“i ”带入方程“210x +=”中，并整理可得：21i =-。

“21i =-”可以说是虚数运算中的一个最重要的公式。

它不但包含着虚数单位“i ”的由来，同时也是在虚数乘、除运算化简过程中的一个理论依据。

二、复数、实数、虚数、纯虚数的一般形式
1、复数
形如a bi +（,a b ∈R ）的数叫作复数。

全体复数构成的集合叫作复数集，常用大写英文字母“C ”来表示复数集。

复数常用小写英文字母“z ”来表示，即z a bi =+（,a b ∈R ）。

其中a 、b 分别叫作复数z 的实部和虚部。

2、实数
如果复数“z a bi =+（,a b ∈R ）”中的0b =，即不含虚数单位“i ”，则复数z a bi =+可化简为z a =，此时的复数z 为实数。

3、虚数
如果复数“z a bi =+（,a b ∈R ）”中的0b ≠，即含有虚数单位“i ”，则此时的复数z 为虚数。

4、纯虚数
如果复数“z a bi =+（,a b ∈R ）”中的0a =且0b ≠，即形如“(),0z bi b b =∈≠R ”形式，则此时的复数z 为纯虚数。

三、复数、实数、虚数、纯虚数的包含关系
1、复数可以分为实数和虚数。

2、实数和虚数没有公共元素。

3、实数集和虚数集的并集是全体复数集。

4、虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看出是虚数集的一个真子集。

四、复数（虚数）、虚数单位“i ”的相关运算公式
1、虚数单位“i ”的运算公式
（1）()2
1i -=-，21i =-，3i i =-，41i =。

【注】()221i i -==-；32i i i i =⋅=-；()2421i i ==。

（2）41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i
+=-【注】()441n
n i i ==；414n n i i i i +=⋅=；42421n n i i i +=⋅=-；4343n n i i i i +=⋅=-。

2、虚数的运算公式
（1）加法：()()()()a bi c di a c b d i +++=+++。

【注】合并同类项；a 、b 、c 、d ∈R ，下同。

（2）减法：()()()()a bi c di a c b d i
+-+=-+-【注】合并同类项。

（3）乘法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i
+⋅+=-++【注】要想掌握虚数的乘法，不应该把重点放在背公式上，而应该在多项式乘法法则的基础上，注意“21i =-”的替换。

()()2
a bi c di ac ad i bc i bd i +⋅+=+⋅+⋅+⋅ac ad i bc i bd =+⋅+⋅-()()ac bd ad bc i =-++。

（4）除法：()()2222
ac bd bc ad a bi c di c d c d +-+÷+=+++（,,,a b c d ∈R 且0c di +≠）【注】()()a bi a bi c di c di ++÷+=+()()()()a bi c di c di c di +-=+-2222
ac bd bc ad i c d c d +-=+++。

复数的除法运算，常常先把除式化为分式形式后，再进行化简。

要想掌握虚数的除法，不应该把重点放在背公式上，而应该在知道把分母实数化方法（即“22()()a bi a bi a b +-=+”）的前提下，掌握化简的步骤和方法。

3、常用公式
（1）22()1i i =-=-；
（2）22()()a bi a bi a b +-=+；
（3）虚数（或复数）相等：a bi c di +=+当且仅当a c =且b d =同时成立。

（4）共轭复数：复数z a bi =+（,a b ∈R ）的共轭为z a b i =-（,a b ∈R ）。

（5）复数的模：复数z a bi =+（,a b ∈R ）的模||z =.当0b =时，z a bi =+（,a b ∈R ）是一个实数，此时它的模就等于||a （a 的绝对值）。

五、重要性质补充
1、虚数不能比较大小，只有实数才能比较大小。

2、代数基本定理：任何一元n （*n N ∈）次复系数多项式方程()0f x =至少有一个复数根。

六、课外拓展——数系的扩充过程
回想历次数系扩充的过程我们不难发现，从小学到高中为止我们大致经历了以下的数系扩充。

1、接触到正整数范围之外的0后，我们从正整数扩充到了自然数。

2、接触到自然数范围之外的负整数后，我们从自然数的扩充到了全体整数。

2、接触到全体整数范围之外的分数后，我们从全体整数扩充到了有理数。

3
”、“π”这样的无理数后，我们从有理数扩充到了实数。

4、接触到虚数单位“i ”后，我在解决方程“210x +=”的解的问题的同时，也从实数扩充到了复数。