数学高考讲座——立体几何部分.

数学高考讲座——立体几何部分
一、高考考查的内容和要求： 文、理共同考查的内容和要求 1、空间图形：（1）平面及其表示；（2）平面的基本性质；（3）几何体的直观图；（4）空间直线与平面的位置关系。

2、简单几何体：（1）棱柱体；（2）棱锥体。

（理科分叉内容：空间向量在立体几何中的应用。

） 二、高考命题走向
立体几何部分占11％，也就是占16.5分左右。

一般为一个小题和一个大题。

内容涉及到线、面位置关系、平行和垂直、角和距离以及棱柱、棱锥的概念和性质、体积和面积的计算等问题。

三、立体几何知识梳理
1． 立体几何中常用的公理、推论和定理：
公理1 如果一条直线上有两个不同点在同一平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。

（即直线在平面上）
公理2 如果两个不同的平面有一个公共点，那么这两个平面的公共部分是过这个点的一条直线。

公理3 不在同一直线上三点确定一个平面。

公理3的三个推论：
推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面。

推论2 两条相交的直线确定一个平面。

推论3 两条平行的直线确定一个平面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。

定理1（等角定理）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组两条相交直线所成的锐角（或直角）相等。

定理2（线面垂直判定定理）如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

2． 空间两条直线的位置关系有两种：共面直线（相交或平行）、异面直线。

3． 直线与平面的位置关系有两种：直线在平面内、直线在平面外（相交或平行）。

4． 两个平面的位置关系有两种：相交、平行。

5． 三种角：异面直线所成的角；直线与平面所成的角和二面角。

重点是线线角。

6． 三种距离：点面距、线面距和面面距，重点是点面距。

7． 棱柱、棱锥的构造特征。

体积、侧面积和表面积计算方法。

8． 理科分叉部分：
(1) 基础命题1：两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行。

(2) 基础命题2：一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量垂直于
该平面的法向量。

(3) 基础命题3：两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行。

上述三个基础命题是判断空间线线、线面与面面的平行（或重合）的依据。

(4) 设空间两条直线l 1和l 2所成角大小为)2
(0π
θ≤θ≤
，它们方向向量1d 与2d 夹角大小为(0)ϕ≤ϕ≤π，则cos |cos |θ=ϕ。

(5) 设直线l 和平面α所成角大小为)2
(0π
θ≤θ≤，直线l 方向向量d 与平面α的法向量n 夹角大小为(0)ϕ≤ϕ≤π，则sin |cos |θ=ϕ。

(6) 二面角的两个半平面所在的平面1α、2α的法向量1n 、1n 夹角为(0)ϕ≤ϕ≤π，则这个二面角大
小θ满足：|cos ||cos |θ=ϕ。

(7) 平面α外点M 到平面α的距离为|n AM |d |n |
⋅=（其中n 为平面α的法向量，A 为平面α内的任意
一点）。

四、例题精选
（一）概念判断题和空间想象
1、两条异面直线在同一个平面上射影的是 。

2、已知在空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面”的
____________________________条件。

3、在正方体1111D C B A A BCD
-中，与面对角线AC 成︒60角的异面直线的面对角线共有_________________条。

4、一个立方体的六个面上分别有A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图是此正方体的两种不同放置，则与C 面相对的面上的字母是__________。

5、已知直线l 、m 、n 及平面α，下列命题中的假命题是（ ）
（A ） 若l// m ，m //n ，则l//n （B ） 若l α⊥,n// α,则l ⊥n
（C ） 若l ⊥m,m//n ,则l ⊥n （D ） 若l//α,n//α,则l//n
6、设M ={正四棱柱}，N ={直四棱柱}，P ={长方体}，Q ={直平行六面体}，这些集合间的关系是（ ）
(A) M ⊂ P ⊂ N ⊂ Q (B) M ⊂ P ⊂ Q ⊂ N (C) P ⊂ M ⊂ N ⊂ Q (D) P ⊂ M ⊂ Q ⊂ N 7、设A ＝{三棱锥}，B={侧棱长相等的三棱锥}，C={正三棱锥}，D={正四面体}，
则A 、B 、C 、D 之间的关系是 。

（二）棱柱、棱锥的表面展开和还原
8、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：
(1) AB ⊥ EF ；(2) AB 与CM 成60︒角；(3) EF 与MN 是异面直线； (4) MN ∥CD 。

其中正确结论的序号是（ ）
(A) (1)(3) (B) (2)(3) (C) (1)(2)(3) (D) (1)(3)(4)
9、正三棱锥P-ABC 的侧面是腰长为a ，顶角为450的等腰三角形。

过点A 作
这个三棱锥的截面AEF ，点E 、F 分别在棱PB 、PC 上。

试问：ΔAEF 周长的最 小值是否存在?说明理由。

（三）图形的割补和等积变形
10、若斜三棱柱的一个侧面面积为7，这个侧面与它的相对棱的距离为3，则这个棱柱的体积
C E
F
A D
C
P
A
F E B
C E F
M
N
A
C
D
B
为 。

11、如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为2的正方形，且ΔADE 、ΔBCF 均为正三角形，EF//AB ，
EF=4，求该多面体的体积。

12、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面面积等于3㎝2，D , E 分别在侧棱AA 1 , CC 1上，且AD = AB = 2CE ，过点B 、D 、 E 作截面BDE 。

求顶点A 到截面BDE 的距离。

（四）线线角和线面角（线面垂直）
13、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，则：①直线E B 1与直线C C 1所成角的大小是_________；②直线E B 1与平面ABCD 所成角的大小是__________；③异面直线1AC 与C B 1所成角的大小是____________。

14、如图，三棱锥Ｐ－ABC 中，Ｅ、Ｆ分别是AC 、AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB 。

证明：PC ⊥平面PAB 。

15、如图，在直三棱柱111ABO A B O -中，1OO OA 4==，OB 3=，AOB 90∠=，D 是11A B 的中点，
P 是侧棱1BB 上的一点，若OP BD ⊥，求OP 与底面AOB 所成角的大小。

16、在梯形ABCD 中，ABC ∠为直角，BC //AD ，PA AB BC 2===，
AD 6=，又⊥PA 平面ABCD 。

（1）直线PC 与直线AD 所成角的大小；
A
B C D
E F
A
A 1 B
C
C 1
B 1
D
E
P B
C
D
A
B 1
1
D 1 C 1
A 1
D C
B
A
O
A
B
O 1
A 1
B 1
D
P
A
C
B
P
F
E
（2）直线PD 与平面PBC 所成角的大小； （3）点A 到平面PCD 的距离。

（五）棱柱、棱锥的体积和面积计算
17、已知三棱锥的侧面互相垂直，它们的侧面积分别为6cm 2，4cm 2，3cm 2，则 棱锥体积为 。

18、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，将该正方体沿对角面BB 1D 1D 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全 面积为 。

19、在棱长为1的正方体中，有四个顶点恰好为一个正四面体的
顶点，则此四面体的表面积为______________________。

20、如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1B , CD 的中点，
设AA 1 = 2，求三棱锥E-AA 1F 的体积。

21、有两个相同的直三棱柱，高为
a
2
，底面三角 形的三边长分别为a 3、a 4、a 5 )0( a 。

用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中， 全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 。

22、用一块长3米、宽2米的矩形木板，在二面角为90°的墙角处，围成一个直三棱柱谷仓。

在下面的四种设计中，容积最大的是哪一种？
（甲） （乙） （丙） （丁）
B 1
1
D 1 C 1A 1
D C B
A B
1 D 1
C 1 A 1
D B
A
F
E
3 m 2 m 45° 3 m 2 m
45° 3 m 30° 2 m
3 m 2 m 30°。