江西上饶高三第一次模拟考试数学理

上饶市2010届高三年级第一次模拟考试理科数学答案
一、选择题
ABAC DCAD BADB
二、填空题
13．13 14．3 15．32 16．（1）（2）（3） 三、解答题： 17．解：（1） 因为//a b r r
，所以2sin cos 2sin ,θθθ=-
于是4sin cos θθ=，故41tan =θ…………………………6分 （2）由||||a b =r r 知，22sin (cos 2sin )5,θθθ+-=
所以212sin 24sin 5.θθ-+=
从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即sin 2cos21θθ+=-，……………………8分
于是
2sin(2)42πθ+=-．又由0θπ<<知，92444πππθ<+<， 所以
5244ππθ+=，或7244ππθ+=．因此2πθ=，或43πθ=…………………12分
18．解：（1）记事件A =“该应聘者参加前4个环节的考核而入围”，则
2231212()()2339P A C == ∴该应聘者参加完前4个环节的考核且只参加前4个环节的考核而入围的概率是2
9……3分
（2）ξ的可能取值为3，4，5
33211(3)()(),333P ξ==+=…………5分12321211(4)(),92333P C ξ==+=…………7分
12221222333311211121112111211(5)()()()()()(),22332233223322333P C C C C ξ==+++=……9分
∴ξ ……10分
∴1113454333E ξ=⨯+⨯+⨯=…………………………12分
19.解法一：（1）证：记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，则可证BF ∥EO ，又EO ⊂面ACE ，
ξ
3 4 5 p
13 13 13
BF ⊄面ACE ，故BF ∥平面ACE ；………………………3分
（2）解：过点O 作OG ⊥AF 于点G ，连接GB ，则可证∠OGB 为二面角B-AF-C 的平面角． 在Rt △FOA 中，可求得OG=6FO AO AF
⋅=，又2 tan 3OB OGB OG ∠=
= ∴3OGB π∠=，即二面角B-AF-C 的大小为3π；………………8分
（3）点F 到平面ACE 的距离等于点B 到平面ACE 的距离，也等于点
D 到平面AC
E 的距离，该距离就是Rt △EDO 斜边上的高，
即
263DE DO OE ⋅==．∴点F 到平面ACE 的距离为63…………………12分 解法二：（1）同解法一…………………3分
（2）建立空间坐标率如图所示：则A （2，0，0），C （0，2，0）
E （0，0，1），B （2，2，0），
F （1，1，1）；
(1,1,1),(0,2,0),(2,2,0)AF AB AC =-==-u u u r u u u r u u u r 设
1122(1,,),(,1,),m y z n x z ==u r r 分别是平面ABF 和平面ACF 的一个法向量 1111100(1,0,1),(1,1,0),101y y m AB m n y z z m AF ⎧==⊥⎧⎧⎪⇒⇒⇒==⎨⎨⎨-++==⊥⎩⎩⎪⎩u r u u u r u r r u r u u u r 同理
设二面角B-AF-C 的大小为α，1cos 602m n m n αα⋅∴==⇒=︒⋅u r r u r r …………………8分
（3）33(2,0,1),(1,,),AE ACE r y z =-=u u u r r Q 设平面的一个法向量为由(1,1,2),r AE r r AC ⎧⊥⎪⇒=⎨⊥⎪⎩r u u u r r r u u u r
设F 到平面ACE 的距离为d ，6cos ,363
d AF r AF =⋅<>==⋅u u u r r u u u r ………………12分 A B E D
C F
O G
20．解：（1）2
2,0222,2()a a x x x a x a x x f x -+<≤-+>⎧=⎨⎩当时当时…………………………2分
求导得{
222
(2)0'222,2()a x x a x x f x -+<<->=，当时当时…………………………4分 当0<a<2时，则(0,)2a x ∈时，有'()0f x <；(,1)2a x ∈时，有'()0f x <；(1,)x ∈+∞时，有
'()0f x >…………………………5分
当2a ≥时，则(0,)2a x ∈时，有'()0f x <； (,)2a x ∈+∞时，有'()0f x >……6分
又f (x )在
2a x =处连续
综上，0<a<2时，f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
2a ≥时，f(x)在（0，2a ）上单调递减，在（2a
，+∞）上单调递增…………8分
（2）设f(x)的最小值为m(a)，则4,02()4,2a a m a a a -<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩…………………………10分
()1f x ≥，对于(0,)()1x m a ∀∈+∞⇔≥成立
04a <≤解得：…………………………………………………12分
21.解：（1）椭圆方程为22
143x y +=…………………………2分
（2）AF 平分∠CAD 可得：0CA AD k k +=…………………3分
设AC 的方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得
2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=，设(,),(,)c c D D C x y D x y
∵点A （1，32）在椭圆上，∴2234()1232,342c c c k x y kx k k --==+-+
将上式中以—k 代k ，可得2234()1232,342D D D k x y kx k k +-==-+++ ∴
()212D C CD D C k x x k k x x -++==-…………………8分
∴设CD方程为
1
2
y x m
=+
，代入
22
1
43
x y
+=
得：
22
46330
y my m
-+-=
∴
CD=
又点A、B到CD
的距离分别为
A B
d d
==
点A与点B到CD
的距离之和为
d===
10分
(Q点A与点B在CD的两侧，∴22
m-与22
m+异号）
1
2
ACBD
S CD
==
四边形
∴当且仅当
m=
四边形ACBD
时,S
有最大值12分22．解：（1）由已知得n
n
n
n
a
n
a
2
1
1
1+
=
+
+
，∴
1
1
12
n n
n
a a
n n
+-=
+，
∴
11221
112
111 ()()()1
11221222 n n n n n
n n
a a a a a a a
a
n n n n n
---
--
=-+-++-+=++++
---
L L
1
11
2(1)2
22
n n-
=-=-
,………………………………3分
∴
1
1
1
2
221
1
22
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a n
b
a
n a
n
-
-
-
====-
--
………………………………5分（2）(i)∵121
111
()(2)
n n
n
c b n
b b b
-
=+++≥
L
，
11
12
111
().
n n
n
c b
b b b
++
=+++
L
∴
11
11
1
11
,
n n n n n
n n n n n n n
c c c c c
b b b b b b b
++
++
+
-==+=
∴11
1
(2);
n n
n n
c b
n n N
c b
*
++
+
=≥∈
且
………9分（ii）当2
n≥时，
12
1212
1
11
111
(1)(1)(1).
n
n n
c
c c
c c c c c c
+
++
+++=⋅⋅
L L
3
122
11
123134112
1
11
12111
1().
3
n n
n n
n n n
c b b
c c b
c b
c c c c b b b b b b
++
++
+
++
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++
L L L
12
111
2().
n
b b b
=+++
L
又当1
n=时，也符合上式………………………………11分
∵
11
111
1121211
2()
21(21)(21)(21)(21)2121
n n
n n n n n n n
n
b
++
+++
-
==<=-
-------∴当2
n≥时
23341 12
111111111
2()24()
212121212121
n n
n
b b b+
+++<+-+-++-
------
L L
1111024()3213n +=+-=- 又∵
1110123c +=<成立 ∴
1211110(1)(1)(1)().3n n N c c c *+
++<∈L ………………………………14分。