湖南省怀化市2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

æ çè
3 4
,
3 2
ù úû
二、多选题 9．下列说法正确的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生 500 人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为 50 人 的样本，若样本中男生有 30 人，则该校高一年级女生人数是 200 B．数据 1，3， 4，5，7，9，11，16 的第 75 百分位数为 10
14．已知双曲线 C
: x2
-
y2 3
= 1 ，过点 P (0, 2)
的直线交双曲线 C
于M,N
x 两点，交 轴于点
Q
（
Q
点与双曲线
C
的顶点不重合），若
uuur PQ
=
uuuur mQM
=
uuur lQN
(m,
l
¹
0)
，则当
m
+
l
=
4
时，
点 Q 坐标为 ．
四、解答题 15．如图，在三棱锥 A - BCD 中，△BCD 是等边三角形， ÐADB = ÐADC, M 是 BC 边的中 点．
知，p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知函数 f ( x) = ex - lg x ，则 f (x) 的图象大致为（ ）
试卷第11 页，共33 页
A．
B．
C．
D．
{ } 6．给定整数 n
³
3
n ，有
个实数元素的集合 S
，定义其相伴数集 T
率之比 P甲乙: P 分配奖金.
(1)若 k
=
3, m
=
2, n
=
1,
p
=
3 4
，求
P甲乙: P
；
(2)记事件 A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当 k = 4, m = 2, n = 2 时，比赛继
续进行下去甲赢得全部奖金的概率
f
( p) ，并判断当
6 7
£
p
< 1 时，事件
A
是否为小概率事件，
均为单位向量，得
®
a×
®
b
=
1 2
，
®®
所以 cos
®®
a, b
=
a× b
®®
ab
=
1 2，
答案第11 页，共22 页
故
®
a
与
®
b
的夹角为
p 3
.
故选：B. 【点睛】本题考查向量夹角的计算公式，向量模的计算，考查运算能力，是基础题. 4．B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
【详解】解：由 q Þ p ，反之不成立．
形 PAB 内的动点（含边界）， AD ^ CD ，则下列结论正确的是（ ） A． PB 与平面 ABC 所成角的大小为 π 3 B．三棱锥 C - ABD 的体积最大值是 2
试卷第31 页，共33 页
C． D 点的轨迹长度是 2π 3
D．异面直线 CD 与 AB 所成角的余弦值范围是[ 5 , 2 ) 10 2
当 x < 0 时， f (x) = ex - lg(-x) ，因为函数 y = ex 在 (-¥, 0) 上递增，函数 y = lg(-x) 在 (-¥, 0) 上递减， 因此函数 f (x) = ex - lg(-x) 在 (-¥, 0) 上递增，BD 错误；
当
x
>
0
时，
f
(x)
=
ex
- lgx
【详解】由当
x
Î
æ çè
0,
π 2
ö ÷ø
时，由三角函数线知识可得
sin
x
<
x
<
tan
x
，
所以
c
=
tan
1 6
>
1 6
=
a
，
又令 f ( x) = ln ( x +1) - x ， x > -1 ，
\
f
¢(x)
=
x
1 +1
-
1
=
-x x +1
，
答案第31 页，共22 页
令 f ¢( x) > 0 ，解得 -1 < x < 0 ，令 f ¢( x) < 0 ，解得 x > 0 ，
，求导得：
f
¢( x)
=
ex
-
1 x ln10
在 (0, +¥) 上递增，
f ¢(1)
=
e-
1 ln10
> 0，
f
¢(e-2 )
= ee-2
-
e2 ln10
，而 0 < ee-2
< 1, 2 < ln10 < 3, 7 <
e2
< 8 ，即有
f ¢(e-2 ) > 0 ，
答案第21 页，共22 页
则存在 x0 Î (e-2,1) ，使得 f ¢(x0 ) = 0 ，当 0 < x < x0 时， f ¢( x) < 0 ，当 x > x0 时， f ¢( x) > 0 ， 即函数 f (x) 在 (0, x0 ) 上单调递减，在 (x0, +¥) 上单调递增，C 选项不满足，A 选项符合要求. 故选：A 6．C 【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
(1)求证： BC ^ AD ；
试卷第41 页，共33 页
(2)若 MA = 3, BC = 2 3 ，平面 ABC ^ 平面 BCD ，求直线 BD 与平面 ACD 所成角的余弦值．
( ) 16．在 VABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，满足 3c = b sin A + 3 cos A .
）
A． p 6
B． p 3
C． p 2
D．
2p 3
4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意
思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设 A，B 为两个同高
的几何体，p：A，B 的体积相等，q：A，B 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可
（Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 a + c = 2 ，求 b 的取值范围.
( ) 17．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢 k k > 1, k Î N*
局，谁便赢得全部奖金 a 元.假设每局甲赢的概率为 p (0 < p < 1) ，乙赢的概率为1- p ，且
每场比赛相互独立.在甲赢了 m(m < k) 局，乙赢了 n(n < k) 局时，比赛意外终止，奖金如何 分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概
(x)
=
d
sin(wx
+
4d )
(w
>
0)
在
æ çè
0,
2p 3
ö ÷ø
上单调且存在
试卷第21 页，共33 页
x0
Î
æ çè
0,
2p 3
ö ÷ø
，使得
f
(x)
关于 (x0,
0)
对称，则
w
的取值范围是（
）
A．
æ çè
0,
2ù 3 ûú
B．
æ çè
0,
3ù 2 ûú
C．
æ çè
2 3
,
4ù 3 úû
D．
湖南省怀化市 2023-2024 学年高三下学期第二次模拟考试数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
{ } 1．设集合 S
=
ì í
x
î
x
>
-
1 2
ü ý þ
,T
=
x 23x-1 < 1
，则 S ÇT =（
）
A． Æ
y
=
x
+
ex
的零点为
x1,
y
=
x
+
lnx
的零点为
x，则（ 2
）
A． x1 + x2 > 0
B． x1x2 < 0
C． ex1 + lnx2 = 0
D． x1x2 - x1 + x2 > 1
11．在三棱锥 P - ABC 中， PA ^ 平面 ABC, AB ^ BC, AB = BC = 2, PA = 2 3 ，点 D 是三角
所以函数 f ( x) 在(-1,0) 上单调递增，在(0, +¥ ) 上单调递减，
\ f ( x) £ f (0) = 0 ，即 ln(x +1) £x ，当且仅当 x = 0 时等号成立，
三、填空题 12．已知 f (x) = 2x2 - 3x - lnx ，则 f (x) 的单调增区间为 ． 13．根据国家“乡村振兴战略”提出的“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义 务教育”，某师范大学 4 名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这 4 名毕 业生分配到该山区的 3 所乡村小学，每所学校至少分配 1 人，则不同分配方案的种数为 ．
=
a - b a,b Î S,a ¹ b
，
如果 min (T ) = 1 ，则称集合S 为一个 n 元规范数集．（注： min ( X ) 表示数集 X 中的最小
数）．对于集合 M = {-0.1, -1.1, 2, 2.5}、N = {-1.5, -0.5,0.5,1.5} ，则（ ）
A． M 是规范数集， N 不是规范数集 B． M 是规范数集， N 是规范数集 C． M 不是规范数集， N 是规范数集 D． M 不是规范数集， N 不是规范数集
并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于 0.06，则称该随机事件为小概率事件.
18．已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b>
0) 的左焦点为 F1 ，过原点 O 的直线与椭圆 C
交于 P ， Q
两点，若
PF1
= 3 QF1
，且
cos
ÐPF1Q
=
-
1 3
.
试卷第51 页，共33 页
(1)求椭圆 C 的离心率；
7．已知
a
=
1 6
，
b
=
ln
7 6
，
c
=
tan
1 6
，则（
）
A． b < a < c C． a < c < b
B． a < b < c D． c<a<b
8．{an} 为等差数列，公差为d
，且 0
<
d
< 1， a5
¹
kp 2
(k
ÎZ)，
sin 2
a3
+
2sin
a5
× cos
a5
=
sin 2
a7
，函数
f
(2)椭圆 C 的上顶点为 D (0, 2) ，不过 D 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点
为 M ，若 ÐAMD = 2ÐABD ，试问直线 l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若 不过定点，请说明理由.
19．已知正项数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a13 + a23 +L + an3 = Sn2 .
| -1.5 - 0.5 |=| -0.5 -1.5 |= 2,| -1.5 -1.5 |= 3 ，
即 N 的相伴数集中的最小数是 1，因此 N 是规范数集. 故选：C 7．A
【2
ö ÷ø
，
sin
x
<
x
<
tan
x
，可判断
c
>
a
，再由切线不等式
ln(x
+1)
£x
，可判
断 a > b ，得解.
C．线性回归方程中，若线性相关系数 r 越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量 x 与 y 的成对样本数据，计算得到 c 2 = 3.937 ，根据小概率值a = 0.05
的独立性检验 ( x0.05 = 3.841) ，可判断 x 与 y 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05
10．已知函数
B．{x | x < - 12}
C．{x | x < - 13}
D．{x
|
-
1 2
<
x
<
1} 3
2．已知复数 z 满足 z -1 = i(3 - z) ，则 z = （ ）
A． 2 - i
B． 2 + i
C．1+ i
D．1- i
3．已知
®
a,
®
b
均为单位向量，若
®®
a- 2 b
=
3
，则
®
a
与
®
b
的夹角为（
【详解】解不等式 23x-1
< 1 ，得 3x
-1<
0 ，解得 x
<
1 3
，因此 T
= {x |
x
<
1} ，而 3
S = {x | x > - 12} ，
所以 S
ÇT
= {x
|
-
1 2
<
x
<
13} .
故选：D 2．A
【分析】利用复数除法法则计算出 z = 2 + i ，求出共轭复数.
【详解】 z -1 = i(3 - z) ，变形得到 z (1+ i) = 3i +1，
(1)求 a1 和 a2 的值，并求出数列{an} 的通项公式；
(2)证明：
1 a1
+
1 a2
+L+
1 an
>
ln(1+ n) ；
(3)设Tn =
1 +
a1
1 +L+ a2
1 ，求[T2024 ] 的值（其中[x] 表示不超过 x 的最大整数）.
an
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1．D
参考答案：
【分析】解指数不等式化简集合 T，再利用交集的定义求解即得.
\ p 是 q 的必要不充分条件．
故选：B. 【点睛】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题． 5．A
【分析】根据给定的函数，由 x < 0 时的单调性排除两个选项，当 x > 0 时，利用导数探讨 函数的单调性、极值判断作答.
【详解】函数 f ( x) = ex - lg x 的定义域为 (-¥, 0) U (0, +¥) ，
故z
=
3i +1 1+ i
=
(1+ 3i)(1- i) (1+ i)(1- i)