高中数学-学案导学设计高中数学-第三章-三角恒等变形章末复习课-北师大

第三章 章末复习课
课时目标 1．灵活运用同角三角函数基本关系、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的恒等变换．2．体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力．
知识结构
一、选择题
1．tan 15°＋1
tan 15°
等于( )
A ．2
B ．2＋ 3
C ．4
D ．43
3
2．若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2α＋sin 2α
的值为( )
A ．103
B ．53
C ．2
3
D ．－2
3．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2
x 的最小正周期是( ) A ．π4 B ．π
2
C ．π
D ．2π
4．已知θ是第三象限角，若sin 4 θ＋cos 4
θ＝59，那么sin 2θ等于( )
A ．223
B ．－223
C ．23
D ．－23
5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图像与直线y ＝2的两个相邻
交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )
A ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，
若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
二、填空题
7．函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2
(x －π4
)的最小正周期是________．
8．函数y ＝2cos 2
x ＋sin 2x 的最小值是________．
9．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________．
10．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋2α＝________．
三、解答题
11．已知tan α＝－13，cos β＝5
5
，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．
12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
x －π6－2cos 2π
8x ＋1．
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值．
能力提升
13．函数f (x )＝sin x
sin x ＋2sin
x
2
是( )
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
14．设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝13
5
，则tan 2α＝________．
本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．
第三章 章末复习课 答案
作业设计 1．C
2．A [∵3sin α＋cos α＝0，
∴tan α＝－1
3
，
∴1cos 2
α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2
α
cos 2α＋2sin αcos α
＝tan 2
α＋11＋2tan α＝－132＋11＋2×－
13
＝10
3
．] 3．B [f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2
x
＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2
x )＋1
＝1－sin 2x cos 2
x ＝1－14
sin 22x
＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78
∴T ＝2π4＝π
2
．]
4．A [∵sin 4 θ＋cos 4
θ
＝(sin 2 θ＋cos 2 θ)2－2sin 2 θcos 2
θ
＝1－12sin 2
2θ＝59
，
∴sin 2
2θ＝89
．
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0．
∴sin 2θ＝22
3
．]
5．C [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωt ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6．因为函数y ＝f (x )的图像与y ＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y ＝f (x )的周期为π．所以2π
ω
＝π，即ω＝2．所以
f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π6
．令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得2k π－
2π3≤2x ≤2k π＋π3
，即k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z )．]
6．C [∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，
∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝1． ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝12，
∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π
6(舍去)， ∴C ＝2
3π．]
7．π
解析 f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2
(x －π4)
＝cos 2(π4－x )－sin 2
(x －π4)
＝cos 2(x －π4)－sin 2
(x －π4)
＝cos(2x －π
2
)＝sin 2x ．
∴T ＝π． 8．1－ 2
解析 ∵y ＝2cos 2
x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x
＝1＋2sin(2x ＋π
4)，
∴y min ＝1－2． 9．4780
解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2
＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)
＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102
＝136． ∴80sin(α＋β)＝47，
∴sin(α＋β)＝47
80
．
10．－17
解析 由题意，得2k π＋π＜α＜2k π＋3π
2
(k ∈Z )，
∴4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π．∴sin 2α＞0．
∴sin 2α＝1－cos 2
2α＝45
．
∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－4
3
．
∴tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4 tan 2α＝1－
431＋
43
＝－17．
11．解 (1)由cos β＝
5
5
，β∈(0，π)， 得sin β＝25
5
，tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝1．
(2)因为tan α＝－1
3，α∈(0，π)，
所以sin α＝110，cos α＝－3
10
，
f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β
＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －25
5sin x
＝－5sin x ，
又－1≤sin x ≤1，所以f (x )的最大值为5．
12．解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π
4x
＝
32sin π4x －32cos π
4
x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3，
故f (x )的最小正周期为T ＝
2π
π4
＝8． (2)在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上，
从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π42－x －π3
＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
x ＋π3．
当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3cos π
3＝
32
． 13．A [由sin x ＋2sin x 2＝2sin x 2(cos x
2
＋1)≠0，
得x ≠2k π，k ∈Z ．
∴f (x )定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }关于原点对称． ∵f (x )＝sin x
sin x ＋2sin x 2＝cos
x
2
1＋cos
x
2．
∴f (－x )＝cos －
x
2
1＋cos －x 2＝cos
x
2
1＋cos
x
2
＝f (x )． ∴函数f (x )为偶函数．
又f (x ＋2π)＝cos
x ＋2π
2
1＋cos x ＋2π2＝cos π＋
x
2
1＋cos π＋
x 2
＝
－cos
x 21－cos
x
2
≠f (x )．
f (x ＋4π)＝
cos
x ＋4π
2
1＋cos x ＋4π2＝cos
2π＋
x
2
1＋cos 2π＋
x 2
＝
cos x
2
1＋cos
x
2
＝f (x )，
∴函数f (x )以4π为周期．]
14．－34
解析 由sin 3αsin α＝sin 2α＋α
sin α
＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α
＝2cos 2
α＋cos 2α＝135．
∵2cos 2
α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135
，
∴cos 2α＝4
5
．
∵α为第四象限角，
∴2k π＋3π
2
<α<2k π＋2π，(k ∈Z )
∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π，(k ∈Z ) 故2α可能在第三、四象限，
又∵cos 2α＝4
5，
∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－3
4
．
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范第一：认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏
难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难
题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。