河北省定州中学2017届高三(高补班)下学期第二次月考(4月)数学试题含答案

河北定州中学2016—2017学年第二学期高四第2次月考数学试卷
一、选择题
1．如图，1
2
A A ，为椭圆
22
195
x y +=的长轴的左、右端点,O 为坐标原点，
S Q T ，，为椭圆上不同于1
2
A A ，的三点，直线1
2
QA QA OS ，
，，OT 围成一个平行四边形OPQR ,则2
2
OS
OT +=
（ )
A ．5
B ．35 C.9 D ．14 2．2221x y +=与直线10x y +-=交于,P Q 两点,M
为PQ 中点，则OM
k =（ ）
A 2-
B 22
-
C
2
2
23．已知函数),0(ln 3)(2
R b a bx ax x x f ∈>++-=,若对任意0x >都有)3()(f x f ≥成立,
则（ ）
A 。

ln 1a b >--
B 。

ln 1a b ≥-- C.ln 1a b ≤-- D.ln 1a b <--
4．已知双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为
直径的圆与双曲线渐进线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为（ )
A ．22
1
34x y -=
B ．22
143
x y -=
C ．22
1916
x y -=
D ．22
1169
x y -=
5．设椭圆22
11612
x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P
在椭圆上,且满足
129
PF PF ⋅=，则12||||PF PF ⋅的值为( ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．15
6．若函数
()f x x λ=+在[]1,1-上有两个不同的零点，则λ
的取值范
围为（ ） A ．
B ．(
C ．(1]-
D ．[]1,1-
7．若“1,22
x ⎡⎤
∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得2
210x
x λ-+<成立"是假命题，则实数λ
的取值范
围为（ ） A ．
(-∞
B ．⎡⎤⎣⎦
C ．⎡⎤-⎣⎦
D ．3λ=
8．已知函数()x
x f x e
ae -=+为偶函数,若曲线()y f x =的一条切线的斜率为
32
，在切点的横坐标等于（ )
A ．
ln 2 B ．2ln 2 C ．2 D 9．函数()ln f x x =在点()()0
,P x f x 处的切线l 与函数()x
g x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（ )
A.0个 B 。

1个 C.2个 D 。

3个 10．已知函数()()2
ln 1,23f x x g x x
x =-=-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值,设
()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为（
）
A 。

1 B.2 C 。

3 D 。

4 11．若函数
()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，则实数a 的取值
范围是（ )
A 。

1,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B.5,3
⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
C.10,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D.16,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
12．已知函数()()2
ln 1,23f x x g x x
x =-=-++,用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设
()()(){}min ,h x f x g x =,则函数()h x 的零点个数为（
）
A.1 B 。

2 C 。

3 D.4
二、填空题
13．设R b a ∈,,若0≥x 时，恒有2234
)1(0-≤++-≤x b ax x x ，则=ab
.
14．直线230x y -+=与椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>相交于A,B 两点，
且(1,1)P -恰好为AB 中点，则椭圆的离心率为
15．在平面区域20,
20,
30x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩
内取点M ,过点M 作曲线2
21x
y +=的两条切线，
切点分别为A ，B ，设AMB θ∠=，则角θ最小时，cos θ的值为 ． 16．函数()2
1ln 52
f x x x
x =--+的单调递增区间为__________。

三、解答题
17．已知函数()2
1ln 1
2
f x x x ax
=+-,且()'11f =-.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ)若对任意()0 x ∈+∞，
，都有()210f x mx -+≤，求m 的取值范围； (Ⅲ）证明函数()2y f x x =+的图象在()21
x
g x xe
x =--图象的下方。

18．设各项均为正数的数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且n
S 满足：
()()2
22*233230 n n S n n S n n n N -+--+=∈，.
（Ⅰ）求1
a 的值；
（Ⅱ)求数列{}n
a 的通项公式；
(Ⅲ)设1
3n n
n a b
+=
,求数列{}n
b 的前n 项和n
T 。

19．已知函数()()()3
2121321
3
f x x
m x m m x =-++++,其中m 为实数。

（Ⅰ）当1m =-时，求函数()f x 在[]4 4-，
上的最大值和最小值; （Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间。

20．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>，一个顶点为()2,0A ,离心率为2
2
,直线
()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M N 、两点。

（1）求椭圆C 的方程; （2）当AMN ∆的面积为4
79
时，求k 的值．
21．已知函数()1x
x f x e -=．
(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程和函数()f x 的极值：
(2）若对任意[)1
2
,,x x a ∈+∞，都有()()1
2
2
1f x f x e
-≥-成立,求实数a 的最小值．
22．设()ln a f x x x x
=+,3
2()3g x x
x =--.
（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程； （Ⅱ）如果存在1
2
,[0,2]x x
∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最
大整数M ;
（Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.
23．已知R t R x t x t tx x
y ∈∈-+-+=,,1634223
．
(1）当x 为常数，且t 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡63,
0变化时，求y 的最小值)(x ϕ； （2）证明：对任意的),0(+∞∈t ，总存在)1,0(∈x ，使得0=y ．
24．已知函数1
22)21ln()(+++=x ax x f (1）若0>a ,且)(x f 在),0(+∞上单调递增,求实数a 的取值范围
（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1？若存在，
求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D 2．D 3．D 4．D 5．D 6．C 7．A 8．A 9．C 10．C 11．C 12．C 13．—1 14．
22 15．910
16．10,2⎛- ⎝⎭
17．解： （Ⅰ）易知()'ln 1f x x ax =++，所以()'11f a =+，又()'11f =-………………1分
∴2a =-……………………………2分 ∴()2
ln 1
f x x x x
=--.…………………………3分
(Ⅱ）若对任意的()0 x ∈+∞，
，都有()210f x mx -+≤，
即2
ln 20
x x x
mx --≤恒成立，即：11
ln 22
m x x ≥-恒成立………………4分
令()11ln 22h x x x =-,则()111'222x
h x x x
-=-=
，…………………………6分 当01x <<时，()1'02x
h x x
-=>,所以()h x 单调递增；
当1x >时，()1'02x
h x x
-=<，所以()h x 单调递减；……………………8分
∴1x =时，()h x 有最大值()112
h =-，
∴12
m ≥-，即m 的取值范围为1
[ )2-+∞，.…………………………10分
(Ⅲ）要证明函数()2y f x x =+的图象在()21
x
g x xe x =--图象的下方，
即证:()221
x
f x x xe x +<--恒成立，
即：ln 2
x
x e
<-………………………11分
由(Ⅱ）可得：()111
ln 222
h x x x =-≤-,所以ln 1x x ≤-，
要证明ln 2
x
x e <-，只要证明12
x
x e
-<-，即证：10
x
e
x --> (12)
分 令()1
x
x e
x ϕ=--，则()'1x
x e
ϕ=-,
当0x >时，()'0x ϕ>，所以()x ϕ单调递增， ∴()()00x ϕϕ>=， 即10
x
e
x -->，……………13分
所以12
x
x e
-<-，从而得到ln 12
x
x x e
≤-<-，
所以函数()2y f x x =+的图象在()21
x
g x xe x =--图象的下方.…………14分
18．解： （Ⅰ)由()()22
2*
233230 n
n S n
n S n n n N -+--+=∈，可得：
()()222112313123110
S S -⋅+⋅--+=,又1
1
S
a =，所以1
3
a
=.………………3分
（Ⅱ)由()()2
2
2*233230 n
n S n
n S n n n N -+--+=∈，可得:
()()2
1230n n S S n n ⎡⎤+⋅-+=⎣⎦
，*n N ∈,又0n a >，所以0n S >， ∴()2
32
n
S
n n =
+………………5分
∴当2n >时,()()2
2131132n
n n a
S S n n n n n
-⎡⎤=-=+----=⎣
⎦，……6分
由(Ⅰ）可知， 此式对1n =也成立， ∴3n
a
n
=……………………………7分
（Ⅲ)由(Ⅱ）可得113333n n
n n n
a n n
b ++=
==………………………………8分
∴123231123133333
n
n n n
n n
T b b b b --=++++=+++++……；
∴2341112313
33333
n
n n n n T
+-=
+++++…;
∴23411111113333333
n
n n n n T T +-=+++++-……………………………10分
∴
1
2341111
2111113313333333313
n n n n n n n T +++-=+++++-=--…
1
111
1231233
223n
n n n n +++⎛⎫=
--=-
⎪⋅⎝⎭………………………………………………11分
∴323443n
n
n T
+=
-
⋅……………………………………12分
19．解: (Ⅰ）当1m =-时,()2
21313
f x x
x x =+-+,()()()
2'2331f x x x x x =+-=+-，……1分
当3x <-或1x >时,()'0f x >，()f x 单调递增；
当31x -<<时,()'0f x <，()f x 单调递减；……………………2分 ∴当3x =-时，()10
f x =极大值
;当1x =时，()
23
f x =-
极小值
…………………3分
又()2343f -=,()79
43
f =
，……………………4分 所以函数
()
f x 在[]4 4-，上的最大值为793
，最小值为
23
-…………………………5分
（Ⅱ）()()()()()
2
'2213232f x x m x m m x m x m =-+++=---，……………………6分
当32m m =+即1m =时，()()
2
'30
f x x =-≥，所以()f x 单调递增； (7)
分
当32m m >+即1m >时，由()()()'320f x x m x m =--->可得2x m <+或3x m >；
所以此时
()
f x 的增区间为
() 2m -∞+，
，
()3 m +∞，
………………………………9分
当32m m <+即1m <时，由()()()'320f x x m x m =--->可得3x m <或2x m >+；
所以此时()f x 的增区间为() 3m -∞，
,()2 m ++∞，………………………………11分
综上所述：当1m =时，()f x 的增区间为() -∞+∞，
； 当1m >时,()f x 的增区间为() 2m -∞+，
，()3 m +∞，； 当1m <时，()f x 的增区间为() 3m -∞，
，()2 m ++∞，.…………………………12分
20．解：(1）由题意得：2222
22c a a a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪
⎩ ，解得2b =，
所以椭圆C 的方程为22
1
42x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．
5分
（2）由()
22
1142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124240k x k x k +-+-=，
设点,M N 的坐标分别为()()1
1
2
2
,,,x y x y ，
则()()22112212122
2424
1,1,,1212k k y k x y k x x x x x k k -=-=-+==++．．．．．．．．．．．7
分 所以
()()
()(
)()()
2222
2
2
21211
2
122
21461412k k MN x x y y k x x x x k ++⎡⎤=
-+-=
++-=
⎣⎦
+，
又因为点()2,0A 到直线()1y k x =-的距离
2
1k d k =
+，
所以AMN ∆的面积为2461
2
12k k S MN d +==
+．．．．．．．．．．．．．．10分
由
224647
129
k
k k +=
+，解得2k =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21．解：（1）因为()2
x x f x e -'=
，所以()02f '=-，
因为
()01
f =，所以曲线
()
f x 在()()0,0f 处的切线方程为
210x y +-=．．．．．．．．．．3
分
由
()2
x x f x e -'=
解得2x =，则()f x '及()f x 的变化情况如下：
x
(),2-∞ 2
()2,+∞
()
f x '
-
0 +
()
f x
递减 极小值
21e -
递增
所以函数()f x 在2x =时，取得极小值2
1e -．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2)由题设知:当1x >时,()10x x f x e -=
<，当1x <时，()10x
x
f x e -=>，
若1a <，令[)
1
22,,1x x a =∈，则[)1
2
,,x x a ∈+∞，
由于
()()()()()()221212
1
002f x f x f x f x f x f e >⇔-<⇔-<==-
，显然不符合题设要
求．．．9分
若1a ≥，对[)()()1
2
1
2
,,,0,0x x a f x f x ∀∈+∞≤≤，
由于
()()()()()()221212
1
002f x f x f x f x f x f e ≤⇔-≥⇔-≥≥=-
，
显然，当1a ≥，对[)1
2
,,x x a ∀∈+∞，不等式
()()122
1f x f x e -≥-
恒成立, 综上可知,
a
的最
小
值
为
1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22．解:(1）当2a =时， 2()ln f x x x x
=+,22'()ln 1f x x x =-++,(1)2f =，'(1)1f =-， 所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+; 2分
（2)存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立等价于:12max [()()]g x g x M -≥， 考察32()3g x x
x =--,22'()323()3g x x x x x =-=-， x
0 2(0,)3 23 2(,2]3 2 '()g x 0 - 0 + ()g x 3- 递减 极小值
8527
- 递增 1 min max ()(),()(2)1327
g x g g x g ==-==， 12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=， 所以满足条件的最大整数4M =； 7分
(3）当1[,2]2
x ∈时，()ln 1a f x x x x =+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立， 记2()ln h x x x x =-,'()12ln h x x x x =--，'(1)0h =，
记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1[,2]2
x ∈, '()32ln 0m x x =--<，所以'()()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2
上递减， 当1[,1)2
x ∈时，'()0h x >,(1,2]x ∈时,'
()0h x <, 即函数2()ln h x x x
x =-在区间1[,1)2上递增,在区间(1,2]上递减， 所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥。

23．解：（1)当x 为常数时,
()()322223436163141f t x tx t x t xt x t x =+-+-=-+++-, ()()21231f t xt x '=-++
112)2(31312)(222'+--=++-=t t x x xt t f ， 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈63,0t ，)(,0)('t f t f ≥在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈63,0t 上递增，其最小值14)0()(3-==x f x ϕ （2）令,1634)(223-+-+=t x t tx x x g ))(2(66612)(22't x t x t tx x x g +-=-+=
由变化情况如下表：
与内变化时，，在区间（当)()()0),,0('x g x g x t ∞++∞∈
①当,12
≥t ，即,2≥t 时，)(x g 在区间)1,0(内单调递减， ()()()()2010,1643232346230g t g t t t t =->=-++=--+≤--+<， 所以对任意[)()2,,t g x ∈+∞在区间()0,1内均存在零点，即存在()0,1x ∈,使得()0g x =．
②当012t <<，即02t <<时，)(x g 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内单调递增， 所以2t x =时,函数()g x 取最小值3714t t -+-， 又()01g t =-，
若(]0,1t ∈,则()2
211116436033g t t t ⎛⎫=-++=--+> ⎪⎝⎭，()37104t t -+-<， 所以()g x 在,12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内存在零点； 若()1,2t ∈，则()3377010,11044g t t t t t ⎛⎫=->-+-=-+-< ⎪⎝⎭，所以()g x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点，
所以，对任意()()0,2,t g x ∈在区间()0,1内均存在零点，即存在()0,1x ∈，使得()0g x =．
结合①②,对任意的()0,t ∈+∞,总存在()0,1x ∈，使得0y =．
24．解：（1）2
22)12)(12(428)12(4122)('++-+=+-+=x ax a ax x ax a x f 由已知0)('≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，即04282≥-+a ax
恒成立 分离参数得1422+≥
x a , 因为0>x 所以2142
011422<+<⇒>+x x
所以正实数a 的取值范围为：2≥a
（2）假设存在这样的实数a ,则1)(≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，且可以取到等号
故1)1(≥f ，即211ln 031)21ln(132)21ln(>⇒=>≥+⇒≥++a a a 从而这样的实数a 必须为正实数,当2≥a 时，由上面的讨论知)(x f 在),0(+∞上递增，12ln 2)0()(>-=>f x f ，此时不合题意，故这样的a 必须满足20<<a ，此时：
令0)('>x f 得)(x f 的增区间为),42(+∞-a a 令0)('<x f 得)(x f 的减区间为
)42,0(a a - 故
114222)2142ln()42()(min =+-++-=-=a a a a a a a f x f 整理得022)212ln(2=+----+-a a a a a a 即0222222)212ln(222=-+---+-a a a a a a ,设]1,21(2122∈+-=a a t , 则上式即为011ln =--t t ，构造11ln )(--=t t t g ，则等价于0)(=t g
由于t y ln =为增函数，11-=t y 为减函数，故11ln )(--=t t t g 为增函数 观察知0)1(=g ，故0)(=t g 等价于1=t ,与之对应的1=a 综上符合条件的实数a 是存在的，且1=a。