怀宁县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

怀宁县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在平面直角坐标系中，若不等式组
（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22
ABC AA BC BAC π
=∠=，，,此三棱
柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ．
323π B ．16π C.253π D ．312
π
3． 设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈I （I ⊆A ），有x+l ∈A ，且f （x+l ）≥f （x ），
则称f （x ）为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2
，且
函数f （x ）为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）
A ．0＜a ＜1
B ．﹣≤a ≤
C ．﹣1≤a ≤1
D ．﹣2≤a ≤2
4． 函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4）
5． 若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A ．f （2）＜f （π）＜f （5） B ．f （π）＜f （2）＜f （5） C ．f （2）＜f （5）＜f （π） D ．f （5）＜
f （π）＜f （2）
8． 已知函数 f （x ）的定义域为R ，其导函数f ′（x ）的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R （ x 1≠x 2），下列结论正确的是（ ） ①f （x ）＜0恒成立；
②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0；
③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；
④；
⑤．
A．①③B．①③④ C．②④D．②⑤
9．设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={y|y=2x}，则A B（）
A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．（1，2）
10．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7
11．是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（）A．667B．668C．669D．670
12．A={x|x＜1}，B={x|x＜﹣2或x＞0}，则A∩B=（）
A．（0，1）B．（﹣∞，﹣2）
C ．（﹣2，0）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）
二、填空题
13．已知平面上两点M （﹣5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 ．
14．函数f （x ）=（x ＞3）的最小值为 ．
15．已知双曲线
的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．
16．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2
f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，
对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222
b a
c +的最大值为__________．
17．直角坐标P （﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
18．
-2
3311
+log 6-log 4
2
（）= . 三、解答题
19．已知等边三角形PAB 的边长为2，四边形ABCD 为矩形，AD=4，平面PAB ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是线段AB ，CD ，PD 上的点．
（1）如图1，若G 为线段PD 的中点，BE=DF=，证明：PB ∥平面EFG ；
（2）如图2，若E ，F 分别是线段AB ，CD 的中点，DG=2GP ，试问：矩形ABCD 内（包括边界）能否找到点H ，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．
①点H 到点F 的距离与点H 到直线AB 的距离之差大于4； ②GH ⊥PD ．
20．已知△ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC的面积．
21．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的极大值为，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．
22．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；
（Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．
23．已知函数f（x）=2x﹣，且f（2）=．
（1）求实数a的值；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
24．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4，A（，0），A1（﹣，0），点P为平面内一动点，以PA为直径的圆与圆C相切．
（Ⅰ）求证：|PA1|+|PA|为定值，并求出点P的轨迹方程C1；
（Ⅱ）若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．
怀宁县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
2．【答案】A
【解析】
考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
3．【答案】B
【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，
f（x）=|x﹣a2|﹣a2=图象如图，
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+l）≥f（x），
1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），
∴1≥3a2﹣（﹣a2），
∴﹣≤a≤
故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．
4．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，
即a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
6．【答案】B
【解析】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，
则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，
其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR，
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==．
故选B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．
7．【答案】B
【解析】解：∵函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，
∴f（π）=f（6﹣π），f（5）=f（1），
∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），
∴f（π）＜f（2）＜f（5）
故选：B
【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
8．【答案】D
【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示．
f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；
②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；
③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，
④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，
右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，
故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．
故选D．
9．【答案】A
【解析】解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x}=（0，+∞）则A∪B=（0，+∞）
故选：A．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
10．【答案】A
解析：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=0
满足条，0≤k，S=3，n=1
满足条件1≤k，S=7，n=2
满足条件2≤k，S=13，n=3
满足条件3≤k，S=23，n=4
满足条件4≤k，S=41，n=5
满足条件5≤k，S=75，n=6
…
若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5，
则输入的整数k的最大值为4．
故选：
11．【答案】C
【解析】
由已知，由得，故选C
答案：C
12．【答案】D
【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），
∴A∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1），
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
二、填空题
13．【答案】①②．
【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．
对于①，联立，消y得7x2﹣18x﹣153=0，
∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立，消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．
对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，
∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
故符合题意的有①②．
故答案为：①②．
【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．14．【答案】12．
【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0
由题意知：
=
﹣ 令
t=∈（0
，），h （t ）
=
=t ﹣3t 2
因为 h （t ）=t ﹣3t 2
的对称轴
x=，开口朝上知函数h （t ）在（0
，
）上单调递增，（
，）单调递减；
故h （t ）∈（0
，]
由h （t ）
=
⇒f （x ）
=
≥12
故答案为：12
15．【答案】 4 ．
【解析】解：∵
双曲线
的渐近线方程为
y=x ， 又已知一条渐近线方程为y=x ，
∴ =2，m=4，
故答案为4．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为
y=x ，是解题
的关键．
16．
【答案】2
【解析】试题分析：根据题意易得：()'2f x ax b =+，由()()'f x f x ≥得：()2
20ax b a x c b +-+-≥在R
上恒成立，等价于：0{ 0a >≤，可解得：()22444b ac a a c a ≤-=-，则：22
2222241441c b ac a a
a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
令1,(0)c t t a =->
，24422222t y t t t t
==≤=++++，故22
2
b a
c +
的最大值为2． 考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 17．【答案】
．
【解析】解：ρ
=
=，tan θ
=
=﹣1，且0＜θ＜π，∴θ
=
．
∴点P
的极坐标为
．
故答案为：．
18．【答案】33 2
【解析】
试题分析：原式=2
3333133
4log log16log16log16
22
+=+=+=+=。

考点：指、对数运算。

三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点，
取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线，
∴PK∥GF，
∵PK⊄平面EFG，∴PK∥平面EFG，
∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF，
∵BK⊄平面EFG，∴BK∥平面EFG，
∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB，
又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG．
（2）解：连结PE，则PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD，
分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴P（0，0，），D（﹣1，4，0），
=（﹣1，4，﹣），∵P（0，0，），
D（﹣1，4，0），=（﹣1，4，﹣），
∵==（﹣，，﹣），
∴G（﹣，，），
设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4，
依题意得：，
∴x2＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）
又=（x+，y ﹣，﹣
），
∵GH ⊥PD ，∴，
∴﹣x ﹣+4y ﹣
，即y=
，（ii ）
把（ii ）代入（i ），得：3x 2
﹣12x ﹣44＞0，
解得x ＞2+
或x ＜2﹣
，
∵满足条件的点H 必在矩形ABCD 内，则有﹣1≤x ≤1，
∴矩形ABCD 内不能找到点H ，使之同时满足①点H 到点F 的距离与点H 到直线AB 的距离之差大于4，②GH ⊥PD ．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
20．【答案】 【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A ，
由正弦定理得，则，
∴
，得cosA=
，
由余弦定理得，cosA==
，
∴
=，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=，
又0＜A＜π，∴sinA==，
∴△ABC的面积S===．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：f′（x）=
令g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c
函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点
即：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3
则解得：b=c=﹣a，
令f′（x）＞0得0＜x＜3
所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3），
（2）由（1）得：
函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，
∴，
∴a=2，
∴；，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C74=35种情况；若4人全是男生，共有C84=70种情况；
故全为女生的概率为=．…
（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…
P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；
P（X=3）==；P（X=4）==．…
X
0 1 2 3 4
EX=0×+1×+2×+3×+4×=．…
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=2x﹣，且f（2）=，
∴4﹣=，
∴a=﹣1；（2分）
（2）由（1）得函数，定义域为{x|x≠0}关于原点对称…（3分）
∵=，
∴函数为奇函数．…（6分）
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（7分）
任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则
=
…（10分）
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数…（12分）
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：设点P（x，y），记线段PA的中点为M，则
两圆的圆心距d=|OM|=|PA1|=R﹣|PA|，
所以，|PA
|+|PA|=4＞2，
1
故点P的轨迹是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆，
所以，点P的轨迹方程C1为：=1．…
（Ⅱ）解：设P（x
，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为：x=my+，…
1
代入=1消去x，整理得：（m2
+4）y2+2my﹣1=0，
则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，…
△POQ面积S=|OA||y
﹣y2|=2…
1
令t=（0，则S=2≤1（当且仅当t=时取等号）所以，△POQ面积的最大值1．…。