《结构力学》静定结构的内力分析上
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第 3章
静定结构的内力分析
Internal Force Analysis of
Statically Determinate Structures
目 §3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6
录
杆件内力计算 静定梁 静定刚架 三铰拱 静定桁架 静定结构的内力分析和受力特点
§3-1 杆件内力计算
Mx2= qlx/2cos2-qx2/2cos2 Mx3= qlx/2cos-qx2/2cos
（3）
§3-2 静定梁
一、多跨静定梁的几何组成特性
多跨静定梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组 成可以区分为基本部分和附属部分。 如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大
地组成一个几何不变部分，称它为基本部分；而CE部分就需要
Q P
M m
水平杆件下侧 受拉为正； 竖向杆件右侧 受拉为正。
（2）增量关系
（3）积分关系 由d Q = – q· dx
MA
q(x)
MB
QB QA q( x) dx
xA
xB
由d M = Q· dx
QA QB
M B M A Q( x) dx
xA
xB
P
几种典型弯矩图和剪力图 m
2P
最后结果
A
Pa
Pa
B
C M图
F
D
P
P
+
+
2P
Q图
例3
A
E
P
B
2Pa
a
4Pa
0 A
E
a
P
a
0
C
D
2a
C
2Pa
F
2Pa
B
P
D
P
P
a
a
a
2a
P
M图
2Pa 4Pa 3Pa
M图
2Pa
Q图
Q图
P
P
最后结果 A E B C D
2Pa 4Pa 3Pa
M图
A
E
B
C
P
D
Q图
q
A l B x C l D x E l F
6kN· m 4kN· m
4kN· m
2kN· m
分段叠加法作弯矩图的方法：
（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的 始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值； （2）分段作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩 值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直
50
40k N 20k N/m
25 25
5 35
55
40
85
Q 图（k N）
15
20
45
例2 A
3P
E B C F
P
D
几何构造分析：ABC为基本部分，
CD 为附属部分 计算：先求CD段，再求ABC段。
0
Pa
C
F
a
a
a
3P
a
Pa
B
a
A
E
P
P
D
a
a
a
Pa
a
Pa
a
M图
P
1.5Pa Pa
M图
P
+
+
Q图
Q图
线上再叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。
几点注意： 1、弯矩图叠加是竖标相加，而不是图形的拼合。叠加上的竖标要垂直杆轴线。 3、利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩图。 4、利用叠加法绘制弯矩图还可以少求一些支座反力。 5、对于任意直杆段，不论其内力是静定还是超静定，不论是等截面杆还是变 截面杆，不论该段内各相邻截面间是连续的还是定向连接或者是铰结的， 弯矩叠加法均可适用。
P
M2 N22 N2 a
P P
2Pa
2
M2
N 2 P, Q2 P, M 2 Pa.
1.5a
(d)
1.5a
Q2
Q2 P
P
N 3 0,
a Q3 N3 M3
计算截面 3 的内力
此时应取截面 3 以上的隔离体进行 分析比较简单。
Q3 P, M 3 Pa.
结论：截面上内力求解简单方法 1、轴力等于该截面任一侧所有外力沿该截面轴线方向投影的 代数和。外力背离截面投影取正，指向该截面投影为负。 2、剪力等于该截面任一侧所有外力沿该截面切线方向投影的 代数和。如外力使隔离体对该截面有顺时针转动趋势，其投影取 正，反之为负。
9 A
+ C D
8
E
F G _
7
B
五、斜梁的计算
q B RB=ql/2 A M1max=ql2/8 x l （l） RB=ql/2cos2 M2max=ql2/8cos2 x l （2） B RB=ql/2cos A M3max=ql2/8cos x l q
q
Mx1=qlx/2-qx2/2
试选择铰的位置x，使中间跨的跨中弯矩与支座弯矩绝对值相等。
q C D
q(l-2x)2/8
q
q(l-2x)/2 q(l-2x)/2
q(l-2x)/2
q(l-2x)/2 q
A
B x ql2/8 qx(l-2x)/2+qx2/2
E
qx(l-2x)/2+qx2/2=q(l-2x)2/8
1 2 l 0.1465 x l 4 2
Q
Q
M
M
弯矩：截面上应力对截面形心的 力矩之和，不规定正负号。弯矩 图画在杆件受拉一侧，不注符号。
二、用截面法求指定截面内力
P 2Pa
1
计算如图所示结构截面 1 的内力
先计算左截面的内力，可取截面1以左
隔离体进行分析。
a
根据静力平衡条件求截面未知力：
x 0 N1Z P Q1Z P 0 Q1Z P M1Z 1.5Pa y0
3、弯矩等于该截面任一侧所有外力对该截面形心之矩代数和。
如外力矩产生的弯矩标在拉伸变形侧。
三、荷载、内力之间的关系
q(x)
dQ q （1）微分关系 dx
q(x)方向？ Q(x)方向？ M(x)方向？
dx
q
P Q M M+d M Q m M dx Q+d Q dx Q+ Q M+ M
dM Q dx d 2M q 2 dx
Q 图没有变化。
Q 图为斜直线，荷载向
下直线由左向右下斜
MA
四、分段叠加法作弯矩图
q
MB
P
q
Y
MA
A
Y
M M
B
A MA NA q
B MB NB
MB
YA
MA
dQ d 2M q q 2 dx dx
q
YB
MB
MA
MB
+
M
YA
YB
YA＝YAo YB＝YBo
M M
M
弯矩、剪力相等
2、为了顺利地利用叠加法绘制弯矩图，应牢记简支梁在跨中荷载下的弯矩图。
例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。
[分析] 该梁为简支梁，弯矩控制
截面为：D、F、G
叠加法求作弯矩图的关键
是计算控制截面位置的弯 矩值。
m=16kN.m A B C D E F G 1m 1m 2m 2m 1m 1m
P=8kN q=4 kN/m
因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上
的荷载的传力路线来决定。——顺荷载传力方向
40k N
例1
80k N· m D
20k N/m
A
B
C
I
2m 2m
E
F
G
H
2m
2m
2m
40k N C
1m
1m
4m
20k N/m F G
2m
构造关系图
A B
80k N· m
I D
20 80k N· m
H
I
40 40
P
y0
1.5a
Q1
U
M1 0
U M1 2 Pa P 1.5a 0
M 1U 0.5Pa
P
a P 1.5a
(a)
计算截面 2 的内力
现取截面 2 左边的隔离体进行 分析，根据三个平衡条件就可得出 截面 2 上的三个未知力：
P
3 2
2Pa
1
P
1.5a
也可取截面 2 右边隔离体计算
l /2 l /2 l /2
m l m 2 ql 2
q
l /2
P 2
l
P 2
ql 2
Pl 4
m 2
ql 2 8
1、集中荷载作用点
2、集中力矩作用点
M图有一突变，力矩 为顺时针向下突变；
M图有一夹角，荷载向
下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 向下突变亦向下。
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸；
MA
MB
M M M
4kN· m
4kN
8kN· m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
2m
（1）集中荷载作用下
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m 2kN· m
6kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN· m 2kN· m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺
序。
1
A B
P
C D E F
q
G H
q P
C A B D E F G H
P
2 A P A B C D E B C D E
q
F
q F
注意： 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上 产生内力和弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本 部分均产生内力和弹性变形。
主要任务 ：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定
梁内力图的作法。 分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析 问题转化为杆件的受力分析问题。
一、截面上内力符号的规定 轴力：截面上应力沿杆轴切线方 向的合力，使杆产生伸长变形为
N
N
正，画轴力图要注明正负号； 剪力：截面上应力沿杆轴法线 方向的合力, 使杆微段有顺时针 方向转动趋势的为正，画剪力 图要注明正负号；
P P
P 1.5a
1.5a
M1 0
M1 P 1.5a Q1 2Pa P M1
U Z Z
M1Z P 1.5a 0
计算右截面的内力,也可取截面1以右隔
N1
Z
离体进行分析。在这个隔离体上有集
P
中力矩 2Pa，三个未知力为：
x 0
N1
U
U N1 P U Q1 P0 U Q1 P
依靠基本部分AC才能保证它的几何不变性，相对于AC 部分来 说就称它为附属部分。分清基本部分和附属部分的图形叫层次 图
A A C E
C
E
E
A
C
（a）
（b）
（c）
二、分析多跨静定梁的一般步骤 对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将 支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图， 然后将支座 C 的附属部分反力反向加在基本部分AC 的C 端作为 荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯
（1）先计算支座反力 解：
（2）求控制截面弯矩值
R A 17 kN
RB 7kN
M D 17 2 8 1 26kN m M F 7 2 16 30 kN m
取GB部分为隔离体， 可计算得：
M G 7 1 7 kN m
M G 7 1 16 23kN m
l
r
取AD部分为隔离体， 可计算得：
A P=8kN D M图（kN.m） 4
m=16kN.m A B C D E F G 1m 1m 2m 2m 1m 1m A C D
13 17
P=8kN q=4 kN/m
E
F G
7 15
B
取FB部分为隔离体， 可计算得：
F m=16kN.m B
26
8
30
23
17 Q图（kN）
E
20k N/m
20 20
40k N 20
B
25
C
5 20
D
E
20
F
55
G
85 40 10
H
A
50
B 25
50
40k N A 25 2m B 2m C 2m D 1m
80k N· m
E 2m 40 20 40 2m 1m 55 20
20k N/m
F
4m
G
2m 85 40 10
H
5
50
M 图（k N· m）
静定结构的内力分析
Internal Force Analysis of
Statically Determinate Structures
目 §3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6
录
杆件内力计算 静定梁 静定刚架 三铰拱 静定桁架 静定结构的内力分析和受力特点
§3-1 杆件内力计算
Mx2= qlx/2cos2-qx2/2cos2 Mx3= qlx/2cos-qx2/2cos
（3）
§3-2 静定梁
一、多跨静定梁的几何组成特性
多跨静定梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组 成可以区分为基本部分和附属部分。 如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大
地组成一个几何不变部分，称它为基本部分；而CE部分就需要
Q P
M m
水平杆件下侧 受拉为正； 竖向杆件右侧 受拉为正。
（2）增量关系
（3）积分关系 由d Q = – q· dx
MA
q(x)
MB
QB QA q( x) dx
xA
xB
由d M = Q· dx
QA QB
M B M A Q( x) dx
xA
xB
P
几种典型弯矩图和剪力图 m
2P
最后结果
A
Pa
Pa
B
C M图
F
D
P
P
+
+
2P
Q图
例3
A
E
P
B
2Pa
a
4Pa
0 A
E
a
P
a
0
C
D
2a
C
2Pa
F
2Pa
B
P
D
P
P
a
a
a
2a
P
M图
2Pa 4Pa 3Pa
M图
2Pa
Q图
Q图
P
P
最后结果 A E B C D
2Pa 4Pa 3Pa
M图
A
E
B
C
P
D
Q图
q
A l B x C l D x E l F
6kN· m 4kN· m
4kN· m
2kN· m
分段叠加法作弯矩图的方法：
（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的 始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值； （2）分段作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩 值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直
50
40k N 20k N/m
25 25
5 35
55
40
85
Q 图（k N）
15
20
45
例2 A
3P
E B C F
P
D
几何构造分析：ABC为基本部分，
CD 为附属部分 计算：先求CD段，再求ABC段。
0
Pa
C
F
a
a
a
3P
a
Pa
B
a
A
E
P
P
D
a
a
a
Pa
a
Pa
a
M图
P
1.5Pa Pa
M图
P
+
+
Q图
Q图
线上再叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。
几点注意： 1、弯矩图叠加是竖标相加，而不是图形的拼合。叠加上的竖标要垂直杆轴线。 3、利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩图。 4、利用叠加法绘制弯矩图还可以少求一些支座反力。 5、对于任意直杆段，不论其内力是静定还是超静定，不论是等截面杆还是变 截面杆，不论该段内各相邻截面间是连续的还是定向连接或者是铰结的， 弯矩叠加法均可适用。
P
M2 N22 N2 a
P P
2Pa
2
M2
N 2 P, Q2 P, M 2 Pa.
1.5a
(d)
1.5a
Q2
Q2 P
P
N 3 0,
a Q3 N3 M3
计算截面 3 的内力
此时应取截面 3 以上的隔离体进行 分析比较简单。
Q3 P, M 3 Pa.
结论：截面上内力求解简单方法 1、轴力等于该截面任一侧所有外力沿该截面轴线方向投影的 代数和。外力背离截面投影取正，指向该截面投影为负。 2、剪力等于该截面任一侧所有外力沿该截面切线方向投影的 代数和。如外力使隔离体对该截面有顺时针转动趋势，其投影取 正，反之为负。
9 A
+ C D
8
E
F G _
7
B
五、斜梁的计算
q B RB=ql/2 A M1max=ql2/8 x l （l） RB=ql/2cos2 M2max=ql2/8cos2 x l （2） B RB=ql/2cos A M3max=ql2/8cos x l q
q
Mx1=qlx/2-qx2/2
试选择铰的位置x，使中间跨的跨中弯矩与支座弯矩绝对值相等。
q C D
q(l-2x)2/8
q
q(l-2x)/2 q(l-2x)/2
q(l-2x)/2
q(l-2x)/2 q
A
B x ql2/8 qx(l-2x)/2+qx2/2
E
qx(l-2x)/2+qx2/2=q(l-2x)2/8
1 2 l 0.1465 x l 4 2
Q
Q
M
M
弯矩：截面上应力对截面形心的 力矩之和，不规定正负号。弯矩 图画在杆件受拉一侧，不注符号。
二、用截面法求指定截面内力
P 2Pa
1
计算如图所示结构截面 1 的内力
先计算左截面的内力，可取截面1以左
隔离体进行分析。
a
根据静力平衡条件求截面未知力：
x 0 N1Z P Q1Z P 0 Q1Z P M1Z 1.5Pa y0
3、弯矩等于该截面任一侧所有外力对该截面形心之矩代数和。
如外力矩产生的弯矩标在拉伸变形侧。
三、荷载、内力之间的关系
q(x)
dQ q （1）微分关系 dx
q(x)方向？ Q(x)方向？ M(x)方向？
dx
q
P Q M M+d M Q m M dx Q+d Q dx Q+ Q M+ M
dM Q dx d 2M q 2 dx
Q 图没有变化。
Q 图为斜直线，荷载向
下直线由左向右下斜
MA
四、分段叠加法作弯矩图
q
MB
P
q
Y
MA
A
Y
M M
B
A MA NA q
B MB NB
MB
YA
MA
dQ d 2M q q 2 dx dx
q
YB
MB
MA
MB
+
M
YA
YB
YA＝YAo YB＝YBo
M M
M
弯矩、剪力相等
2、为了顺利地利用叠加法绘制弯矩图，应牢记简支梁在跨中荷载下的弯矩图。
例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。
[分析] 该梁为简支梁，弯矩控制
截面为：D、F、G
叠加法求作弯矩图的关键
是计算控制截面位置的弯 矩值。
m=16kN.m A B C D E F G 1m 1m 2m 2m 1m 1m
P=8kN q=4 kN/m
因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上
的荷载的传力路线来决定。——顺荷载传力方向
40k N
例1
80k N· m D
20k N/m
A
B
C
I
2m 2m
E
F
G
H
2m
2m
2m
40k N C
1m
1m
4m
20k N/m F G
2m
构造关系图
A B
80k N· m
I D
20 80k N· m
H
I
40 40
P
y0
1.5a
Q1
U
M1 0
U M1 2 Pa P 1.5a 0
M 1U 0.5Pa
P
a P 1.5a
(a)
计算截面 2 的内力
现取截面 2 左边的隔离体进行 分析，根据三个平衡条件就可得出 截面 2 上的三个未知力：
P
3 2
2Pa
1
P
1.5a
也可取截面 2 右边隔离体计算
l /2 l /2 l /2
m l m 2 ql 2
q
l /2
P 2
l
P 2
ql 2
Pl 4
m 2
ql 2 8
1、集中荷载作用点
2、集中力矩作用点
M图有一突变，力矩 为顺时针向下突变；
M图有一夹角，荷载向
下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 向下突变亦向下。
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸；
MA
MB
M M M
4kN· m
4kN
8kN· m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
2m
（1）集中荷载作用下
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m 2kN· m
6kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN· m 2kN· m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺
序。
1
A B
P
C D E F
q
G H
q P
C A B D E F G H
P
2 A P A B C D E B C D E
q
F
q F
注意： 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上 产生内力和弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本 部分均产生内力和弹性变形。
主要任务 ：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定
梁内力图的作法。 分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析 问题转化为杆件的受力分析问题。
一、截面上内力符号的规定 轴力：截面上应力沿杆轴切线方 向的合力，使杆产生伸长变形为
N
N
正，画轴力图要注明正负号； 剪力：截面上应力沿杆轴法线 方向的合力, 使杆微段有顺时针 方向转动趋势的为正，画剪力 图要注明正负号；
P P
P 1.5a
1.5a
M1 0
M1 P 1.5a Q1 2Pa P M1
U Z Z
M1Z P 1.5a 0
计算右截面的内力,也可取截面1以右隔
N1
Z
离体进行分析。在这个隔离体上有集
P
中力矩 2Pa，三个未知力为：
x 0
N1
U
U N1 P U Q1 P0 U Q1 P
依靠基本部分AC才能保证它的几何不变性，相对于AC 部分来 说就称它为附属部分。分清基本部分和附属部分的图形叫层次 图
A A C E
C
E
E
A
C
（a）
（b）
（c）
二、分析多跨静定梁的一般步骤 对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将 支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图， 然后将支座 C 的附属部分反力反向加在基本部分AC 的C 端作为 荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯
（1）先计算支座反力 解：
（2）求控制截面弯矩值
R A 17 kN
RB 7kN
M D 17 2 8 1 26kN m M F 7 2 16 30 kN m
取GB部分为隔离体， 可计算得：
M G 7 1 7 kN m
M G 7 1 16 23kN m
l
r
取AD部分为隔离体， 可计算得：
A P=8kN D M图（kN.m） 4
m=16kN.m A B C D E F G 1m 1m 2m 2m 1m 1m A C D
13 17
P=8kN q=4 kN/m
E
F G
7 15
B
取FB部分为隔离体， 可计算得：
F m=16kN.m B
26
8
30
23
17 Q图（kN）
E
20k N/m
20 20
40k N 20
B
25
C
5 20
D
E
20
F
55
G
85 40 10
H
A
50
B 25
50
40k N A 25 2m B 2m C 2m D 1m
80k N· m
E 2m 40 20 40 2m 1m 55 20
20k N/m
F
4m
G
2m 85 40 10
H
5
50
M 图（k N· m）