2021届山东省聊城市高三三模数学试题(解析版)

2021届山东省聊城市高三三模数学试题
一、单选题
1．已知集合{}1,2A =，{}
2
,3B a a =+，若{}1A
B =，则实数a 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【分析】由交集的结果，根据233a +≥及集合的性质，即可求a 的值. 【详解】由{}1A B =，而233a +≥，故1a =，
故选：B.
2．已知a R ∈，i 为虚数单位，若
324a i
i
-+为实数，则a 的值为（ ） A ．
32
B ．
23 C ．23
-
D ．32
-
【答案】D
【分析】利用复数除法运算法则化简复数，当其为实数时，虚部为0，从而求得a 的值. 【详解】
3(3)(24)212(46)24(24)(24)20
a i a i i a a i
i i i -----+==++-，若其为实数， 则460a +=，即3
2
a =- 故选：D
3．函数()2
x x
e x
f x e
-=-的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，然后再判断当0x >或x →+∞时的函数值即可得出选项.
【详解】由()2
x x
e x
f x e -=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ()()22
()x x x x x x f x f x e e e e
----==-=---，
所以函数为奇函数，故排除BD ；
当0x >时，()0f x >；当x →+∞时，函数x x y e e -=-的增长速度比2y x 的增产
速度快，所以()0f x →，故排除C ； 故选：A
【点睛】本题考查了函数图像的识别，熟练掌握函数的奇偶性，对称性，单调性是解题关键.
4．已知直线():130l a x y -+-=，圆()2
2
:15C x y -+=．则“1a =-”是“l 与C 相
切”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】2
45(1)1
a a -=-+，解得1
a =-或3
2
a =
，即可得解. 【详解】圆()2
2
:15C x y -+=的圆心为(1,0)，半径5r =，
由直线l 和C 相切可得： 圆心到直线的距离2
45(1)1
a d a -=
=-+
解得2230a a --=， 解得1a =-或32
a =
， 故1a =-是1a =-或3
2
a =的充分不必要条件， 故选：B.
5．声强级I L （单位：dB ）由公式1210lg 10I I L -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
给出，
其中I 为声强（单位：W /m 2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB ，平时常人交谈时声强级约为60dB ，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ） A ．104倍 B ．105倍
C ．106倍
D ．107倍
【答案】C
【分析】根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.
【详解】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为1I ，平时常人交谈时声强为2I ，
由题意得11221212010lg 106010lg 10I I --⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫
⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩
解得24
118
2
1010I I ⎧=⎨=⎩ ∴
61
2
10I I = 故选：C
6．在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为1
2
，则受表彰人员中男性人数为（ ） A ．15 B ．18
C ．21
D ．15或21
【答案】C
【分析】首先根据总人数分别设出男性人数与女性人数，然后根据古典概型列出概率表达式，解方程即可求出结果.
【详解】设男性有x 人，则女性有36x -人 ∵男性多于女性，∴36x x >-，即18x >
∵选出的两人性别相同的概率为
12
∴22362
3612
x x
C C C -+=，即2363150x x -+= ∴21x =或15x =（舍） 所以男性有21人 故选：C.
7．在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC 的内心，且AO AB AM λμ→
→
→
=+，则λμ+=（ ） A ．
712
B ．
34
C ．
56
D ．1
【答案】A
【分析】在直角三角形ABC 中，求得内切圆半径，用,AB AC →
→
表示出
AO
→，而
()2
2
AO AB AM AB AC μ
μ
λμλ→→→
→
→
=+=+
+
，从而求得λμ+.
【详解】由题知，2
A π
∠=
，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径
34
1345
OE OF ⨯==
=++，四边形AEOF 为矩形，
则1143AO AE AF AC AB →
→
→
→→=+=+，又1122
AM AB AC →→→
=+
则11()2234AO AB AM AB AC AB AC μμλμλ→→→→→→→=+=++=+
则1231
24
μλμ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1173412λμ+=+=
故选：A
【点睛】关键点点睛：求得内切圆半径，得到1143
AO AC AB →
→→
=+，从而利用
11()2234
AO AB AM AB AC AB AC μμλμλ→→→→→→→
=+=++=+，求得参数值即可.
8．已知A ，B ，C 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上的三点，直线AB 经过原点O ，
AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥，且3
2
CF FA =
，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B C ．
32
D 【答案】D
【分析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于,,a b c 的方程，从而可以求得离心率.
【详解】设双曲线的左焦点为E ，连接,,AE CE BE 由题意知,,BF AE BE AF BF AC ==⊥
∴四边形AEBF 为矩形，令,BF AE m BE AF n ==== ∵2CE CF AE AF a -=-=，32
CF FA =
∴在Rt EAC △中，2
2
233222m m n a n ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 将2a m n =-带入可得6m n = ∴212
,55
n a m a =
= ∴在Rt EAF 中，()2
222m n c +=
即()2
2
2122255a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
可得5
c e a =
=
故选：D
二、多选题
9．对具有相关关系的两个变量x 和y 进行回归分折时，经过随机抽样获得成对的样本点数据()()11,1,2,,x y i n =⋯，则下列结论正确的是（ ）
A ．若两变量x ，y 具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B ．若两变量x ，y 具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心()
,x y C ．若以模型bx y ae =拟合该组数据，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得
到线性方程6ln 3z x =+，则a ，b 的估计值分别是3和6．
D ．用21R =-
()
()
2
12
1
n
i
i
i n
i
i y y y y ==--∑∑来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条
斜率为非零实数的直线上，则2R 的值为1 【答案】BCD
【分析】分别根据线性相关关系及拟合曲线关系对选项一一分析.
【详解】若两变量x ，y 具有线性相关关系，即满足ˆˆy bx a =+，
则一定满足ˆˆy bx a =+，样本点不一定在拟合直线上，故A 错误，B 正确；
若以模型hx y ae =拟合该组数据，ln ln 6ln3z y bx a x ==+=+，故3,6a b ==，故C 正确；
用21R =-
(
)
()
2
1
2
1
n
i i
i n i
i y y y y ==--∑∑来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率
为非零实数的直线上，则i i y y =，即21R =-
()
()
2
1
2
1
101n
i
i
i n
i
i y y y y ==-=-=-∑∑，故D 正确；
故选：BCD
10
．将函数sin21y x x =+的图象向右平移12
π
个单位长度，再将所有点的
横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下面对函数()g x 的叙述中正确的是（ ） A ．函效()g x 的最小正周期为
2
π B ．函数()g x 图象关于点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C ．函数()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内单调递增
D ．函数()g x 图象关于直线12
x π
=
对称 【答案】AD
【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性和图像的性质，可得结论.
【详解】
由题意可得：函数sin 2212sin(2)13
y x x x π
=++=+
+，将其向右平
移
12
π
个单位可得2sin(2)12sin(2)1636
y x x π
ππ
=-
++=++，再将所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，可得2sin(4)16
()g x x π
++=，
故可得函数()g x 的周期242
T ππ
=
=,故A 正确； 令12
x π
=-，可得012()g π
-
=，故,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
不是函数()g x 的一个对称中心，故B 错误；
当,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，可得7134,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，由正弦函数性质，可得函数2sin(4)16()g x x π++=在,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
不单调，故C 不正确；
由2sin
1=32
(
)12
g π
π
+=，可得12
x π
=
是函数的对称轴，故D 正确； 故选：AD
11．已知实数a 、b ，下列说法一定正确的是（ ）
A ．若a b <，则223777b a a
⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．若1b a >>，则1log 2
ab a <
C ．若0a >，0b >，21a b +=，则21
a b
+的最小值为8 D ．若0b a >>，则2211a b
b a
++> 【答案】BC
【分析】根据指对数函数的性质及基本不等关系对选项进行一一分析即可.
【详解】对于A ，当0a =时，2377a a
⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故A 错误；
对于B ，若1b a >>，则1a <<，两边取对数得1
log log 2
ab ab a <=
，故B 正确；
对于C ，若0a >，0b >，21a b +=，则
21214()(2)4b a a b a b a b a b
+=++=++
48≥+=，当且仅当
4b a a b =，即122a b ==时等号成立，故C 正确；
对于D ，取1,2a b ==，212112
3421
a b ++==<=，故D 错误； 故选：BC
12．已知等边三角形ABC 的边长为6，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，将AMN 沿MN 折起至A MN '△，在四棱锥A MNCB '-中，下列说法正确的是（ ） A ．直线MN ∥平面A BC '
B ．当四棱锥A MNCB '-体积最大时，二面角A MN B '--为直二面角
C ．在折起过程中存在某位置使BN ⊥平面A NC '
D ．当四棱A MNCB '-体积最大时，它的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为39π 【答案】ABD
【分析】根据折叠前后//BC MN 不变判断A ，根据变化过程A '的变化可知B 正确，反证法判断C ，求出球的半径计算面积判断D.
【详解】因为//BC MN , MN ⊄平面A BC '，BC ⊂平面A BC '，所以直线MN ∥平面
A BC '，故A 正确；
因为四棱锥A MNCB '-底面积为定值，所以当点A '到平面MNCB 距离最大时体积最大，故当二面角A MN B '--为直二面角时，满足题意，故B 正确； 对于C ，如图，
若BN ⊥平面A NC '，则BN AA '⊥，又A D MN '⊥，,AD MN A D AD D '⊥=，可
知MN ⊥平面A AD ',所以A A MN '⊥,又MN BN N ⋂=,所以A A '⊥平面MNCB ,这显然不可能，故C 错误；
当四棱A MNCB '-体积最大时，二面角A MN B '--为直二面角，如图，
由3
MBC π
∠=，取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形MNCB 外接圆圆心．F 是△AMN 外
心，
作OE ⊥平面MNCB ，OF 上平面A 'MN ，则O 是四棱锥A '-MNCB 的外接球的球心，且OF =DE =
33
2
，AF 3设四棱锥A '-MNCB 的外接球半径R ，则22239
4
R AF OF =+=
，所以球表面积是39π． 【点睛】关键点点睛：球的内接四棱锥问题，需要根据所给四棱锥的特点选择合适方法求球半径，本题利用球的截面圆的性质确定球心位置，进而求出球的半径，属于中档题.
三、填空题
13．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的《算盘全书》提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，奇数的个数为__________． 【答案】1348
【分析】根据斐波那契数列的特点：从第一项起，每三个数一组其中有2个奇数1个偶数，即可求前2021项中奇数的个数.
【详解】由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每3个数中前两个为奇数后一个偶数， ∵
2021
3
的整数部分为673，余数为2， ∴该数列的前2021项中共有673个偶数，奇数的个数为20216731348-=. 故答案为：1348
14．曲线2
2
3
x y e x x =+-
在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin 22πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭__________．
【答案】
45
【分析】先求出13tan ,cos 310
αα=
=，再利用诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】由题得2()23x
y f x e x ''==+-
，所以0
21(0)33
f e '=-=， 所以13
tan ,(0,),cos 3210
πααα=∴∈∴=，
所以2
94sin 2cos 22cos 1212105
πααα⎛⎫
+==-=⨯-= ⎪⎝
⎭. 故答案为：
45
【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法求解. 15．已知点()0,5A
，过抛物线2
12x
y =．上一点P 作3y =-的垂线，垂足为B ，若
PB PA =，则PB =__________．
【答案】7
【分析】根据题意，设(,)P x y ，PB PA =，可得223(5)y x y +=+-，
联立212x y =即可得解.
【详解】
设(,)P x y ，PB PA =， 可得223(5)y x y +=
+-
216160x y -+=，
由212x y =，带入可得：4y =， 所以37PB y =+=， 故答案为：7.
16．已知函数()()2
22x x x x f x a a e e ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭
有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则3
122
312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值为________． 【答案】1
【分析】令
x x
t e
=，则原函数会转化为关于t 的一元二次方程的根，通过韦达定理确保根的情况，同时研究内层函数()x x
g x e
=的图象，数形结合研究零点的范围.
【详解】设()x x g x e
=，()1x x
g x e -'=，当1x <时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<，
故()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且0x >时，()0g x >；0x <时，()0g x <， ∴()()max 1
1g x g e
==
，作出()g x 的图象，如图
要使()()2
22x x x x f x a a e e ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭
有三个不同的零点1x ，2x ，3x 其中123x x x << 令
x
x t e =，则()2
220t a t a +-+-=需要有两个不同的实数根12,t t （其中12t t <）
则()()2
2420a a ∆=--->，即2a >或2a <-，且121222t t a
t t a
+=-⎧⎨
⋅=-⎩ 若2a >，则12122020
t t a t t a +=-<⎧⎨⋅=-<⎩，∵12t t <，∴10t <，则210,t e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
∴121
0t t e
<<<
，则12301x x x <<<<，且()()232g x g x t == ∴3
122
312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=()21221(1)(1)t t t =---()212121t t t t =-++⎡⎤⎣⎦
()2
122a a =--+-⎡⎤⎣⎦ 1=
若2a <-，则12122424
t t a t t a +=->⎧⎨
⋅=->⎩，因为()()max 11g x g e ==，且210,t e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
∴()12max 4t t +<，故不符合题意，舍去
综上312
2
312111x x x
x x x e e e ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1= 故答案为：1
【点睛】数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，进而求得结果。

四、解答题
17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
10sin 7cos 22
A C
B +=-， （1）求角B 的大小； （2）已知点D 满足1
4BD BC =，且AB BD >
，若4
ABD S =△
，AD =AC ．
【答案】（1）3
B π
=
；（2
）AC =
【分析】（1）根据三角形内角的性质有sin
cos 22
A C B
+=，结合已知三角恒等式及二倍角余弦公式，整理并解方程求cos B ，即可求B 的大小；
（2）由已知条件，结合三角形面积公式、余弦定理求BA ，BC ，再在ABC 中应用余弦定理求AC ．
【详解】（1）∵A ，B ，C 是三角形ABC 的内角，则sin
cos 22
A C B
+=，又
2
10sin 7cos 22A C
B +=-， ∴210cos 7cos 22B B =-，即()255cos 72cos 1B B +=--，整理得22cos 5cos 30B B +-=，
∴1
cos 2
B =或cos 3B =-（舍），又0B π<<， ∴3
B π
=
．
（2）∵133
sin 24
ABD S BD BA B =
⋅⋅=
△，可得3BD BA ⋅=， 在△ABD 中，2222cos 7AD BD BA BD BA B =+-⋅=， ∴227BD BA BD BA +-⋅=，又AB BD >， ∴1BD =，3BA =，4BC =，
由余弦定理有2222cos 13AC BA BC BC BA B =+-⋅⋅=， ∴13AC =．
18．在①1a ，3a ，21a 成等比数列②428S =，③14n n n S S a +=++，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．
已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其n 前项和，25a =，_______，{}n b 是等比数列，29b =，1330b b +=，公比1q >． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B 的元素按从小到大依次
排列构成一个新数列{}n c ，求8028130T c c c c =+++
+．
【答案】选择见解析；（1）43n a n =-；3n
n b =；（2）12054．
【分析】（1）根据所选的条件，结合已知条件求等差数列{}n a 的基本量1a 、d ，即可写出通项公式，由等比数列的性质，结合已知条件写出等比数列通项公式.
（2）由（1）所得的通项公式，确定{}n c 前80项中分别含{}n a 和{}n b 中的哪些项，进而应用分组求和求80T .
【详解】（1）选①，∵{}n a 是公差不为0的等差数列，设公差为d ， 由1a ，3a ，21a 成等比数列，可得()()2
111220a d a a d +=+，又0d ≠， ∴14a d =，又25a =，即15a d +=，解得11a =，4d =， ∴()11443n a n n =+-⨯=-．
选②，由428S =，25a =，有14628a d +=，15a d +=，可得11a =，4d =， ∴()11443n a n n =+-⨯=-．
选③，由14n n n S S a +=++，可得14n n a a d +-==，又25a =，即15a d +=， ∴11a =，故()11443n a n n =+-⨯=-．
∵{}n b 是等比数列，由29b =，1330b b +=，1q >， ∴19b q =，21130b b q +=，解得3q =，13b =，即3n n b =． （2）80317a =，5632433173729=<<=，
∴{}n c 的前80项中，数列{}n b 的项最多有5项，其中239b a ==，42181b a ==为公共项，又775305243a b =>=，
∴{}n c 的前80项是由{}n a 的前77项及1b ，3b ，5b 构成．
201238012135771178132724312054
T c c c c a a a b b b =+++
+=+++++=+++=.
【点睛】关键点点睛：第二问，利用所得数列的通项公式比较项的大小关系，根据{}n c 的描述确定其前80项中所含{}n a 和{}n b 的项分别有哪些，进而求和.
19．如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD =，BC CD ⊥，AD BD ⊥，以BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且PC BC ⊥．
（1）证明：PD CD ⊥；
（2）若M 为PB 的中点，二面角P BC D --的大小为60°，求直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（23
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）由题意知，60PCD ∠=︒，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，易知,,OM OC BD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，求出向量n ，则向量,PC n 所成角的余弦值的绝对值即为所求. 【详解】（1）证明:因为BC CD ⊥，BC PC ⊥，PC CD C =，所以BC ⊥平面PCD ，
又因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥，
又因为PD BD ⊥，BD BC B ⋂=，所以PD ⊥平面BCD ， 又因为CD ⊂平面BCD ，所以PD CD ⊥． （2）解：因为,PC BC CD BC ⊥⊥，
所以PCD ∠是二面角P BC D --的平面角，即60PCD ∠=︒， 在Rt PCD 中，tan603PD CD CD =︒=，
取BD 的中点O ，连接,OM OC ，因为,BC CD BC CD =⊥,
所以OC BD ⊥,由（1）知，PD ⊥平面BCD ，OM 为PBD △的中位线， 所以,OM BD OM OC ⊥⊥，即,,OM OC BD 两两垂直， 以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，则
6
6),(1,0,0),(0,1,0),),(1,1,6),(1,1,0) P C D M CP CD
=-=-，
6
(
CM=-，设平面MCD的一个法向量为(,,)
n x y z
=，
则由
0,
0,
n CD
n CM
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
得
0,
6
0,
x y
x z
-+=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪
⎩
令2
z=，得(3,3,2)
n=，
所以
3 cos,
4
||||
CP n
n CP
CP n
⋅
〈〉==，
所以直线PC与平面MCD
3
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、二面角的平面角的判定和利用空间向量法求线面角的正弦值；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键.
20．2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；
制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t 定在什么范围？
【答案】（1）答案见解析；（2）[
)0,1500．
【分析】（1）根据统计表，维修0、1、2、3次的机器的比例分别为
110、15、25、3
10
，而2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数可能有{0,1,2,3,4,5,6}，对应的基本事件为
(){}0,0、{(0,1),(1,0)}、{(0,2),(2,0),(1,1)}、{(0,3),(3,0),(1,2),(2,1)}、
{(1,3),(3,1),(2,2)}、{(2,3),(3,2)}、{(3,3)}，进而可求各可能值的概率，写出分布
列即可.
（2）根据两个方案的描述，结合（1）所得的分布列，分别写出方案一、方案二所需费用的分布列，进而求它们的期望，要使选择方案二对客户更合算有()()21E Y E Y <，即可求t 的范围.
【详解】（1）由题意得，0,1,2,3,4,5,6X =，
()11101010100P X ==
⨯=，()111
1210525
P X ==⨯⨯=，()12113221055525P X ==⨯⨯+⨯=，()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=， ()31227421055525
P X ==⨯⨯+⨯=，()3265210525P X ==
⨯⨯=()33961010100
P X ==⨯=， ∴X 的分布列为
（2）选择方案一：所需费用为1Y 元，则2X ≤时，15000Y =，3X =时，16000Y =；
4X =时，17000Y =；5X =时，58000Y =，6X =时，19000Y =，
∴1Y 的分布列为
()1E 500060007000800090006860100502525100
Y =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=， 选择方案二：所需费用为2Y 元，则4X ≤时，26230Y =；5X =时，26230Y t =+；
6X =时，262302Y t =+，则2Y 的分布列为
()()()221623062306230262301002510050
t E Y t t =⨯
++⨯++⨯=+， 要使选择方案二对客户更合算，则()()21E Y E Y <， ∴216230686050
t
+
<，解得1500t <，即t 的取值范围为[)0,1500． 【点睛】关键点点睛：
（1）由题设描述确定2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数的可能值，并确定对应的基本事件，进而求各可能值的概率，写出分布列.
（2）根据（1）所得分布列，由各方案的费用与维修次数的关系写出费用的分布列，并求期望，通过期望值的大小关系求参数的范围.
21．已知圆()2
221:1F x y r ++=，圆()()2
2
2
2:14F x y r -+=-，04r <<．当r 变
化时，圆1F 与圆2F 的交点P 的轨迹为曲线C ， （1）求曲线C 的方程； （2）已知点31,
2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
过曲线C 右焦点2F 的直线交曲线C 于A 、B 两点，与直线x m =
交于点D ，是否存在实数m ，λ，使得PA PB PD k k k λ+=成立，若存在，求出m ，λ；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）存在；4m =，2λ=． 【分析】（1）圆F 1与圆F 2的交点满足1PF r =，24PF r =-，又122F F =，则P 点轨迹满足椭圆方程，从而求得椭圆方程；
（2）设直线AB 的方程为()1y k x =-，与椭圆联立，求得韦达定理，分别表示出
1212332211PA PB
y y k k x x -
-+=+--，()3121PD k m k m --=-，将韦达定理代入化简，并满足条件PA PB PD k k k λ+=，从而求得参数m ，λ的值.
【详解】解：（1）由题意可知1PF r =，24PF r =-，122F F =， 所以12124PF PF FF +=>，
所以曲线C 为以1F 、2F 为焦点的椭圆，且˙
2224a ==，21c =，2
413b =-=，
所以曲线C 的方程为22143
x y +=．
（2）假设存在，由题意知直线AB 的斜率存在，
设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立|()22
1,3412,
y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 整理得，()2222
4384120k x k x k +-+-=， 则2122843
k x x k +=+，2122412
43k x x k -=+，
所以()()121212123333
1122221111PA
PB
y y k x k x k
k x x x x -
-----+=
+=+---- ()()()()()
1212121232332221212121x x k k k x x x x x x +-=-
-=-=----++，
()()
3
1321
21PD k m k k m m --=
=-
--，
因为PA PB PD k k k λ+=， 所以()32121k k m λλ-=-
-，所以2λ=，
()
3121m λ
=-，得4m =， 所以存在4m =，2λ=使PA PB PD k k k λ+=成立．
【点睛】方法点睛：化简圆锥曲线条件时，如遇到直线与圆锥曲线相交的相关条件，可以通过联立化简，求得韦达定理，代入化简，并根据条件求得参数值. 22．已知()2
1x
f x e ax x =---．
（1）当2
e
a =
时求()f x 的极值点个数； （2）当[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥，求a 的取值范围； （3）求证：
222
23
2121
21
2
n e e e +++
<
---，其中*n N ∈． 【答案】（1）两个极值点；（2）1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
；（3）证明见解析．
【分析】（1）利用导数求出函数()f x 的单调区间，即得()f x 的极值点个数； （2）设()()()210x
h x f x e ax x ==--≥'，则()2x
h x e a '=-单调递增，对a 分类
讨论，求出()f x 的最值即得解； （3）由（2）可知12
a =
时， ()2
21210x e x x x -≥++≥，所以()222e 12n n n <-+，
再利用裂项相消法求和得证. 【详解】解：（1）当2e a =
时，()212
x
e f x e x x =---， 所以()1x f x e ex =--'，()x
f x e e ''=-，
所以当1x <时，()0f x ''<，()f x '在(),1-∞上单调递减； 当1x >时，()0f x ''>，()f x '在()1,+∞上单调递增，
因为()00f '=，()11f '=-，()2
2210f e e '=-->，
所以存在()01,2x ∈，使()00f x '=，所以，(),0x ∈-∞时，()0f x '>；()00,x x ∈时，
()0f x '<；()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以0和0x 是()f x 的极值点，
所以()f x 有两个极值点．
第 21 页 共 21 页 （2）()21x f x e ax x =---，()e 21x
f x ax =--'， 设()()()210x h x f x e ax x ==--≥'，则()2x
h x e a '=-单调递增， 又()012h a '=-， 所以当12
a ≤时，()0h x '≥，()h x 在[)0,+∞上单调递增， 所以()()00h x h ≥=，即()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞上单调递增，
所以()()00f x f ≥=，符合题意. 当12
a >吋，令()0h x '=，解得ln 2x a =， 当[)0,ln2x a ∈时，()0h x '<，()h x 在[)0,ln 2a 上单调递减，
()()(0)0f x h x h '=≤=，
()f x 在()0,ln2a ）上单调递减，
所以()0,ln2x a ∈时，()()00f x f <=，不符合题意，
所以a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
． （3）由（2）可知12
a =时，()0f x ≥，[)0,x ∈+∞，即()221210x e x x x -≥++≥， 所以2
22e 1212n n n n n -≥++>+，()222e 12n n n <-+， 所以()222222221212113242n e e e n n +++<+++---⨯⨯+ 1111113242
n n =-+-+-+ 111312122
n n =+--<++． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第3问，其关键是根据（2）得到
()2
21210x e x x x -≥++≥，再通过放缩得到()222e 12n n n <-+.。