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银川一中2016届高三年级第六次月考
数 学 试 卷（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2
2z z
+= A. 1i +
B. 1i -
C. 1i --
D. 1i -+
2.“1x >”是“0)2(log 2
1<+x ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知向量)1,2(),1,(+==λλb a b a -=+，则实数λ的值为 A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
4．已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-a
x x y 00
22内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值
是
A ．2
B ．0
C ．6
D ．22 5．某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断 框内的条件应为
A ．5≤k
B ．4>k
C ．3>k
D ．4≤k 6．教育局将招聘的5名研究生随机分配到一中、二中、实验、育才 四所不同的学校，每所学校至少有一名研究生，则甲乙两人同时 被分配到一中的概率是 A ．
101 B.201 C.301 D.40
1 7．下列四个结论正确的个数是
①为调查中学生近视情况,测得某校男生150名中有80名近视,在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时,应该用独立性检验最有说服力; ②在相关关系中，若用x
c e
c y 211=拟合时的相关指数为2
1R ，用a bx y +=2拟合时的相关指数
为2
2R ，且2
22
1R R >，则1y 的拟合效果较好； ③已知随机变量ξ服从正态分布(
),,12
σ
N (),79.04=≤ξP 则21.0)2(=-≤ξP
④设回归直线方程为x y 5.22-=∧
，当变量x 增加一个单位时，∧
y 平均增加2.5个单位
1
1
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函
数()f x 的图象向左平移
6π
个单位长度后，所得图象关于y 轴对称．则()f x 的解析式为 A ．()2sin()6f x x π=+ B ．()2sin()3f x x π
=+
C ．()2sin(2)6f x x π=+
D ．()2sin(2)3
f x x π
=+
9．设椭圆1222=+m y x 和双曲线13
22
=-x y 的公共焦点分别为21,F F ，P 为这两个曲线的 一个交点，则21PF PF ⋅的值为
A ．32
B ．3
C ．23
D ．62 10．已知(cos 23,cos67)AB =︒︒u u u r ,(2cos68,2cos 22)BC =︒︒u u u
r
,则ABC ∆的面积为
A.22
B.2 11．已知BD AC ,为圆4:2
2=+y x O 的两条相互垂直的弦，且垂足为)2,1(M ，则四边形ABCD
面积的最大值为 A ．5
B.10
C.15
D.20
12. 已知函数()x
f x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误．．
的是 A ．a e >
B. 122x x +>
C. 121x x >
D. 有极小值点0x ，且1202x x x +<
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若5
5
cos sin =
+θθ，],0[πθ∈，则=θtan __________. 14. 设dx x a ⎰
=
π
sin ，则二项式6
1⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x ax 的展开式中的常
数项是__________.
15．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据
图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是__________. 16．已知对任意的,,R y x ∈都有)()()(x yf y xf y x f +=⋅
成立.若数列{}n a 满足))(2(*
∈=N n f a n n ，
A
B
C
D
E
●
图一
B
A
C
D
E
图二
且21=a ，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分12分)
设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,,且C a A c b cos 3cos )32(=-．
（1）求角A 的大小； （2）若角6
π
=
B ，B
C 边上的中线AM 的长为7，求ABC ∆的面积．
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示:
X 1 2 3 4 Y
51
48
45
42
1米. (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 求它们恰好 “相近”的概率;
(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 19．（本小题满分12分）
如图1四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，
2,5,1,2=====AD AB BC DC DB 将
图1沿直线BD 折起，使得二面角C BD A -- 为ο
60．如图2．
（1）求证：⊥AE 平面BDC ；
（2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值． 20.（本小题满分12分）
已知点)0,1(F ，⊙F 与直线0134=++y x 相切，动圆M 与⊙F 及y 轴都相切. （1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 任作直线l ，交曲线C 于B A ,两点，由点B A ,分别向⊙F 各引一条切线，切点分别为Q P ,，记QBF PAF ∠=∠=βα,，求证：βαsin sin +是定值. 21.（本小题满分12分）
已知函数)1()(,ln )(-==x a x m x x h ，
（1）已知过原点的直线l 与x x h ln )(=相切，求直线l 的斜率k ； （2）求函数)()()(x m x h x f -=)()(x m x h -的单调区间；
（3）当[)+∞∈,1x 时，)(1
)(x h x x
x m +≥
恒成立，求a 的取值范围． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，
切点为A ，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，PE PA =，
︒=∠45ABC ，1=PD ，8=DB ．
（1）求ABP ∆的面积； （2）求弦AC 的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是
1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C .
(1)求曲线2C 的极坐标方程；
(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围. 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲
已知函数2()log (12)f x x x m =++--． （1）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；
（2）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．
银川一中2016届高三年级第六次月考数学试卷（理）答案
13.2-； 14.160-； 15.π3
2
8； 16. 22)1(1+-=+n n n S 三、解答题：
17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵C a A c b cos 3cos )32(=-，∴C A A C B cos sin 3cos )sin 3sin 2(=-．
即)sin(3cos sin 2C A A B +=
则23cos =
A ，则6
π
=A ． …………6分 （Ⅱ）由（1）知6π
=
=B A ，所以，3
2π=
C ，
设x AC =， 在AMC ∆中由余弦定理得2
22cos 2AM C MC AC MC AC =⋅-+
解得2=x ,故33
2sin 212==∆π
x S ABC …………12分
18．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.
从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”,9
2
3128=⋅=
P (Ⅱ)三角形共有15个格点.
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4). 所以15
2)51(=
=Y P 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).15
4)48(=
=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,).15
6)45(=
=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).15
3)42(==Y P 所以
)(Y E 19．
（本小题
满分12分）
（1）证明：取BD 中点F ，连结AF EF ,，则ο60,2
1
,1=∠==AFE EF AF 由余弦定理知2
3
=
AE ，∵222AE EF AF =+，∴EF AE ⊥ 又⊥BD 平面AEF ，⊂AE 平面AEF ，∴AE BD ⊥ 又∵,F BD EF =⋂∴⊥AE 平面BDC ………6分 （2）以E 为原点建立如图示的空间直角坐标系，
则)0,2
1,1(),0,21,1(),0,21,1(),23,0,0(----D B C A 设平面ABD 的法向量为),,(z y x n =，由
，得
)33,0(=n ∵)2
3
,21,1(--=AC ，∴
故直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值为4
10
………12分 20. （本小题满分12分） 解：(1) ⊙F :1)1(2
2
=+-y x
当动圆M 与⊙F 及y 轴都相切 ,切点不是原点，点M 的轨迹C 的方程为)0(42
≠=x x y 当动圆M 与⊙F 及y 轴都相切 ,切点是原点，点M 的轨迹C 的方程为)1,0(0≠=x y
……………5分
（2）M 的轨迹C 的方程为)1,0(0≠=x y )1,0(0≠=x y 不符合题意，舍去
M 的轨迹C 的方程为)0(42≠=x x y 时，
当l 斜率存在时，设l 的方程为)1(-=x k y ，由⎩⎨⎧=-=x
y x k y 4)1(2
得0)42(2
2
2
2
=++-k x k x k
设),(11y x A ，),(22y x B ，则2
2214
2k
k x x +=+，121=x x 所以11
211
1111sin sin 21212121=+++++=+++=+=
+x x x x x x x x BF AF βα 当l 与x 轴垂直时，也可得1sin sin =+βα ………12分
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）1
k e
=
………2分 （Ⅱ）x
ax x f -=1)('
若0≤a ，则0)('>x f ，所以)(x f 在()+∞,0上单调递增；
若0>a ，当)1,0(a x ∈时，0)('>x f ，当⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞∈,1a x 时，0)('
<x f ，所以)(x f 在1(0,)a 上单
调递增，在1
(+)a
∞，上单调递减． ………6分
（Ⅲ）令)1)(1(ln )(2≥--=x x a x x x g ，则ax x x g 21ln )('
-+=
令ax x x g x F 21ln )()('
-+==，则x
ax
x F 21)('
-=
① 若0≤a ，)(x g 在[)+∞,1上单调递增，0)1()(=≥g x g ，从而
()()1
x
h x m x x +≥，不符合题意．
② 若210<<a ，当⎪
⎭
⎫ ⎝⎛∈a x 21,1时，0)('>x F ，所以)('
x g 在1(1,)2a 上单调递增，从而 021)1()(''>-=>a g x g
所以)(x g 在⎪⎭⎫
⎢⎣⎡a 21,1上单调递增，0)1()(=≥g x g ，所以()()1x h x m x x +≥，不符合题意．
③若2
1≥a ，则0)('≤x F 在[)+∞,1上恒成立．所以021)1()('
'≤-=≤a g x g ，从而)(x g 在[)
+∞,1上单调递减，所以0)1()(=≤g x g ，即
()()1
x
h x m x x +≤，符合题意．综上所述，a 的取值范围是1
[,)2
+∞. ……………12分 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
解:(1)Q PA 是⊙O 的切线，切点为A ∴PAE ∠=45ABC ∠=︒ 又∵PE PA = ∴PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒
由于1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理可知92
=⋅=PB PD PA ，既3==PA EP
故ABP ∆的面积为
12PA BP ⋅=
27
2
． ……………5分 (2)在Rt APE ∆
中，由勾股定理得AE =，
由于2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得
EC EA EB ED ⋅=⋅12=,所以222
312
==EC ，故=
AC …………10分 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）依题,因2
2
2
x y ρ=+,
所以曲线1C 的直角坐标下的方程为2
2
1x y +=,
所以曲线2C 的直角坐标下的方程为2
2
(1)1x y +-=,…
又sin y ρθ=，所以2
2sin 0ρρθ-=,
即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN :
00cos sin x x t y y t θ
θ=+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数). ……………………………联立2C 的直角坐标方程得,2
0002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分 即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,
012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分
(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，
x
由对称性可知，当⎥⎦
⎤ ⎝⎛
∈2,0πα
时斜线的倾斜角为2π
α+，则切线MN 的参数方程为： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22
=-+-ααt t ，…………………8分 则αsin 2121-==t t TN TM ,
因为⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈2
,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分 此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分. 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲
解:(1)当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集.
由于1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨
-+--->⎩，或12
(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩，
或2(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩
. 所以3x <-，无解，或4x >.
综上，函数)(x f 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞U ……………5分 (2)若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--恒成立.
由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-,所以m 的取值范围是(,1]-∞-.
……………10分。