拉普拉斯变换与传递函数

例12 F(s) s3 拉氏反变换，求f(t)
(s1)(s2)
解： F(s) s3 a1 a2 (s1)(s2) s1 s2
a1(s1)(ss1)s(32)s12
a2(s2)(ss1)s(32)s21
f(t)L 1 s2 1 L 1 s 1 2 2 e t e 2 t
例13
为求此积分, 假设令st=u, s为右半平面内任一
复数, 那么得到复数的积分变量u. 因此, 可先考
虑积分
R t m e st d t 0
sR u
0
s
m
e u
du s
1 s m 1
sR u m e u d u
0
再设 s re j ,
2
2
积分路线是OB直线段, B对应着
4〕传递函数只适用于线性定常系统
控制系统的微分方程与传递函数
控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模 型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系 统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变， 便需要重新列写并求解微分方程。
-zi 零点
m<n
-pi 极点
a1 a2 .. . an
sp1 sp2
spn
系数ak是极点-pk上的留数
ak (spk)BA((ss))spk
L1sakpk
ak
epkt
f ( t ) L 1 F ( s ) a 1 e p 1 t a 2 e p 2 t a n e p n t
信号的拉氏变换之比
设输入为r(t),输出为 y(t) ,那么系统的传递 函数为:
G(s) Y(s) R(s)
传递函数的引入
单容水箱:
令 零初始条件下对微分方 程进行拉氏变换
G(s)H(s) K Qi(s) Ts1
A a
dH dt
H
1 a
Q
i
H H (t)
Q i Q i(t) T A
G(s)s3 5s2 9s7 (s1)(s2)
，求f(t)
解： G (s)s3 5 s2 9 s7s2 s 3
(s 1 )s(2 )
(s 1 )s(2 )
长除法
S +2 S2+3s+2/s3+5s2+9s+7
s3+3s2+2s 2s2 +7s +7 2s2 +6s +4 S +3
s2 a1 a2 s1 s2
0
|
1 s |m 1
rR |sin |
|
e rR
cos
( rR
cos
jv)m
|dv
0
1
| s |m 1
rR |sin |
|
e rR
cos
( rR
cos
jv)m
|dv
0
1 | s |m 1
e rR |sin | rR cos ( r 2 R 2 cos
2
m
v2) 2
dv
0
令 v rR cos tan a , d v rR cos sec 2 a d a
L [f(t) ]e ke t sd tte (s k )td t
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间 为 Re(s)>Re(k)
d F(s) d f (t) estd t
ds
ds 0
d [ f (t) est ]d t 0 ds
2
j
e (s jk )td t
0
e ( s j k ) t d t
0
2
j
s
1 jk
e (s jk )t
0
1 s jk
e (s jk )t
0
2
j
1 s jk
1 s jk
s2
k
k2
同理可得
L [cos kt ] cos kt e st d t 0
1 (e jkt e jkt ) e st d t
Lddxnt(nt) snX(s)
各初值为0时
3) 积分定理
X (s) 1
Lx(t)d t x(t)dt
ss
t 0
L x( t) dtn
X(s) sn
n
各初值为0时
4〕终值定理
lim x(t)lim sX (s)
t
s 0
5) 初值定理
x(0)lix m (t)lism X (s)
t 0
F(s) s2 2s3 (s1)3
拉氏反变换，求f(t)
解：F(s)B A((ss))s2(s21s)33 sb11(sb 21)2(sb 31)3
(s 1 )3B A ( (s s) )B (s) b 1 (s 1 )2 b 2(s 1 ) b 3
b3
(s1)3
A(s) B(s)s1
2
d d (s B ) s s 1 2 b 1 (s 1 ) b 2s 1 b 2 2 s 2 s 1 0
d
(t) e (s b )td
t
b
e (s b )td t
0
0
e (s b )t
t0
b e (s b )t s b
0
1
b s b
s
s b
例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换
sin 2t sin 3t 1 (ej2t ej2t )(ej3t ej3t ) 4
1 (ej5t ejt ejt ej5t ) 4
0
1
s m 1
um
AB
eud u
1 s m 1
u e d u rR cos j rR sin m u
rR cos
令 u rR cos j v , d u jd v
1 rR cos j rR sin m u
s u e d u m 1 rR cos
j s m 1
rR sin e ( rR cos jv ) ( rR cos j v ) m d v
a1(s1)(ss1)s(32)s12 a2(s2)(ss1)s(32)s21
d d g ( t ) L 1 s L 1 2 L 1 s 2 1 L 1 s 1 2 d d ( t ) t2 ( t ) 2 e t e 2 t
例14
sR=rRcosq+jrRsinq, A对应着rRcosq, 取一很小正
数e, 那么C对应se=recosq+jresinq,
D对应recosq. 考察R
,
的情况.
虚轴
B
C
a
v
O
D
A t (实轴)
根据柯西积分定理, 有
1
s m1
um
D A B CD
eud u
1 sm
DA AB BC CD
d2 d B (2ss) s12b1s12b12s12
b1 1
f(t) L 1 s1 1 L 1 (s 2 1 )3 e t L 1 d d 2 2(s s 1 1 ) e t t2 e t
传递函数
定义 零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入
s
例1 求单位阶跃函数
u(t) 10
t 0的拉氏变 t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estdt 0
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
e stdt 1est 1
0
s0 s
所以L
[u(t)]
1 s
(Re(s) 0).
例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).
20
1 2
e d ( s j k ) t t
0
e ( s j k ) t d t
0
1 2
s
1 jk
e (s jk )t
0
1 s jk
e (s jk )t
0
1 2
s
1 j
k
1 s jk
s2
s k2
例4 求幂函数f(t)=tm (常数m>1)的拉氏变换.
L[tm] tmestdt 0
1) 线性定理
设： X(s)L x(t) Lax(t)aX(s)
Lx1(t)x2(t)X1(s)X2(s)
2) 微分定理
L dd ( xtt) sX (s)x(0)
L dd2 x ( 2tt) s2X(s)s( x 0)x •(0)
dxn(t)
L
dtn
snX(s)
sn1x(0)
•
sn2 x(0)x(n1)(0)
拉普拉斯变换与传递函数
要求掌握：拉氏变换的定义；
几种典型函数的拉氏变换及反变换；
拉氏变换的性质；
局部分式反变换法；
传递函数的概念。
重点： 机理建模
拉氏变换
控制环节及系统 控制方系程统模分型析设计
微分方程模〔型传递函代数数〕
拉氏反变换
拉普拉斯(Laplace )变换
定义
1.拉氏变换的定义
Lx(t)X(s)0 x(t)estdt
tf
(t) estd t
L
[tf
(t)]
0
这就说明, F(s)在Re(s)>c内是可微的. 根据 复变函数的解析函数理论可知, F(s)在 Re(s)>c内是解析的.
例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
L [sin kt ]
sin
kt
e st d t
0
1 (e jkt e jkt ) e st d t 2j 0
L
[sin2t sin3t]
1 4
s
1 j5
1 s
j
1 s
j
s
1 j5
1 4
s
2
2s 25
s
2s 2 1
(s
2
12s 25)(s
2
1)
例9 平移函数，f(t)平移 b
例10 f(t)乘以e –βt 例11 时间比例尺的改变
局部分式拉氏反变换
F (s)B (s)k(sz1)s(z2).s. .zm () A (s) (sp 1)s(p 2).s. .p n ()
传递函数的求取
d n y y (n) dt n
对微分方程进行拉氏变换
(零初始条件) 系统微分方程:
•
a0y(n) a1y(n1) an1yany
dy
•
y
dt
•
b0r(m) b1r(m1) bm1rbmr
零初始条件拉氏变换: a 0 sn a 1 sn 1 a n 1 s a nY (s) b 0 sm b 1 sm 1 b m 1 s b m R (s)
其中 x(t)----原函数, X(s)----象函数, l
复变量 s = + j
2.拉氏反变换的定义
x(t)L1
X(s)
1
2j
jj X(s)estd
s
单位阶跃函数的拉氏变换
x(t)u (t)0 (t0 )
1(t 0)
Lu(t) estdt1
0
s
L1
1 s
u(t)
拉氏变换的性质与定理
dt
0
d (t )e st d t 0
e st
1
t0
例7 求函数f(t)=ebtd(t)bebtu(t)(b>0)的拉氏变换.
L [ f ( t )] f ( t ) e st d t 0
[e b t d ( t ) b e b t u ( t )] e st d t 0
上式
1 | s |m 1
|
|
e
rR
cos
( rR
cos
) m 1 sec
m2 a
da
0
|
s
1 |m 1
e rR cos
( rR
cos
) m 1
| |
sec
0
m2 a
da
R 0 即 AB R 0
同理
1
s m 1
u m eud u
CD
1 s m 1
u m eud u
DC
1 s m 1
r cos jr sin u m e u d u
r cos
1 | s |m1
e r cos
(r
cos )m1
| | s ec m 2 a
0
da
0 0 即 CD 0 0
故
1
s m 1
tm
0
etd t
1 s m 1
u m eud u 0
0
即 1 s m 1
a K 1
a TsH ( s ) H ( s )
( Ts 1 ) H ( s ) KQ
H (s)
K
Q i ( s ) Ts 1

KQ i ( s ) i(s )
如果Qi (s)不变,那么输出H(s)的特性完
Q i(s)
H(s)
全由G(s)的形式与数值决定.可见,G(s)
G(s)
反映了系统自身的动态本质.
整理得传递函数:
G(s)Y(s) R(s)
ba00ssmnba11ssmn11 bam n11ssabm n
B(s) A(s)
传递函数的性质
1) 传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与输入量的大 小和性质无关
2〕实际系统的传递函数是S的有理分式〔n≥m〕
3〕传递函数与微分方程有相通性，两者可以相互转换
0
1
s m1
um
DA
eud u
1 s m 1
rR cos u m e u d u
r cos
R 0
1 s m1
t m
0
etd t
(m 1) s m1
1
s m1
um
BC
eud u
1 s m1
um
CB
eud u
1 s m 1
sR u m e u d u
s
R 0
1 s m1
u m eud u
u m e ud u
0
1 s m 1
t m e td t
0
(m 1) s m 1
L
[t m ]
(m 1) s m 1
(Re(
s) 0)
当 m 为正整数时
,L
[t m ]
m! s m 1
(Re( s ) 0 )
例6 求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换.
L [d (t )]
d
(t ) e st