中考数学总温习第三编综合专题闯关篇专题三图形变换问

第二节 图形的平移变换问题
,中考重难点冲破)
平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，可不能改变图形的大小和形状，只改变图形的位置．在图形的转变进程中，解决此类问题的方式很多，而关键在于解决问题的着眼点，从适当的着眼点动身，再依照具体图形变换的特点确信其转变．
【例1】(2015仙桃中考)如图①，△ABC 与△DEF 是将△ACF 沿过A 点的某条直线剪开取得的(AB ，DE 是同一条剪切线)．平移△DEF 使极点E 与AC 的中点重合，再绕点E 旋转△DEF，使ED ，EF 别离与AB ，BC 交于M ，N 两点．
(1)如图②，△ABC 中，若AB ＝BC ，且∠ABC＝90°，则线段EM 与EN 有何数量关系？请直接写出结论； (2)如图③，△ABC 中，若AB ＝BC ，那么(1)中的结论是不是还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【学生解答】解：(1)EM ＝EN.证明：过点E 作EG⊥BC，G 为垂足，作EH⊥AB，H 为垂足，连接BE ，如图②所示．则∠EHB＝∠EGB＝90°.∴在四边形BHEG 中，∠HBG ＋∠HEG＝180°.∵∠HBG ＋∠DEF＝180°，∴∠HEG ＝∠DEF.∴∠HEM ＝∠GEN.∵BA ＝BC ，点E 为AC 中点，∴BE 平分∠ABC.又∵EH⊥AB，EG ⊥BC ，∴EH ＝EG.在△HEM 和△GEN 中，∵∠HEM ＝∠GEN，EH ＝EG ，∠EHM ＝∠EGN，∴△HEM ≌△GEN.∴EM ＝EN ；(2)EM ＝EN 仍然成立．证明：过点E 作EG⊥BC，G 为垂足，作EH⊥AB，H 为垂足，连接BE ，如图③所示．则∠EHB＝∠EGN＝90°.∴在四边形BHEG 中，∠HBG ＋∠HEG＝180°.∵∠HB G ＋∠DEF＝180°，∴∠HEG ＝∠DEF.∴∠HEM＝∠GEN.∵BA ＝BC ，点E 为AC 中点，∴BE 平分∠ABC.又∵EH⊥AB，EG ⊥BC ，∴EH ＝EG.在△HEM 和△GEN 中，∵∠HEM ＝∠GEN，EH ＝EG ，∠EHM ＝∠EGN，∴△HEM ≌△GEN.∴EM ＝EN.
【例2】(2016汇川升学模拟)如图，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y ＝－3
4
x ＋3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF⊥x 轴于点F ，交
直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式； (2)若PE ＝5EF ，求m 的值；
(3)若点E′是点E 关于直线PC 的对称点、是不是存在点P ，使点E′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【学生解答】解：∵抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，∴
⎩⎪⎨⎪⎧0＝－（－1）2
－b ＋c ，0＝－52
＋5b ＋c ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)点P 横坐标为m ，则P(m ，－m 2＋4m ＋5)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ，－34m ＋3，F(m ，0)，∵点P 在x 轴上方，要使PE ＝5EF ，点P 应在y 轴右边，∴0<m<＝－m 2
＋4m
＋5－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34m ＋3＝－m 2＋194m ＋2，分两种情形讨论：①当点E 在点F 上方时，EF ＝－34m ＋3.∵PE＝5EF ，∴－m
2
＋194m ＋2＝5⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34m ＋3，即2m 2
－17m ＋26＝0，解得m 1＝2，m 2＝132(舍去)；②当点E 在点F 下方时，EF ＝34m －
3.∵PE＝5EF ，∴－m 2＋194m ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫34m －3，即m 2
－m －17＝0，解得m 3＝1＋692，m 4＝1－692(舍去)，∴m 的值
为2或1＋69
2
；
(3)假设存在．作出示用意如图：提示：∵E 和E′关于直线PC 对称，∴∠E ′CP ＝∠ECP；又∵PE∥y 轴，∴∠EPC ＝∠E′CP＝∠PCE，∴PE ＝EC ，又∵CE＝CE′，∴四边形PECE′为菱形．过点E 作EM⊥y 轴于点M ，
∴△CME ∽△COD ，∴CE ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪54m .∵PE ＝CE ，∴－m 2＋194m ＋2＝54m 或－m 2
＋194m ＋2＝－54m ，解得m 1＝－12，m 2＝4，
m 3＝3－11，m 4＝3＋11(舍去)．可求得点P 的坐标为P 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，114，P 2(4，5)，P 3(3－11，211－3)．
模拟题区
1．(2016遵义一中模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(－2，0)．等边三角形AOC 通过平移或轴对称或旋转都能够取得△OBD.
(1)△AOC 沿x 轴向右平移取得△OBD，则平移的距离是________个单位长度；△AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是________；△AOC 绕原点O 顺时针旋转取得△DOB，则旋转角度能够是________°；
(2)连接AD ，交OC 于点E ，求∠AEO 的度数．
解：(1)2；y 轴；120；(2)如图，∵等边△AOC 绕原点O 顺时针旋转120°取得△DOB，∴OA ＝OD ，∵∠AOC ＝∠BOD ＝60°，∴∠DOC ＝60°，即OE 为等腰△AOD 的顶角的平分线，∴OE 垂直平分AD ，∴∠AEO ＝90°.
2.(2016红花岗模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A(1，0)，
B(0，2)，抛物线y ＝12
x 2
＋bx －2的图象过C 点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l ，当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部份？
解：(1)y ＝12x 2－1
2
x －2；
(2)当直线l 移到距离O 点3－3时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部份．
中考真题区
3．(2015苏州中考)如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，将△ABC 沿直线BC 向右平移，使B 点与C 点重合，取得△DCE，连接BD ，交AC 于点F.
(1)猜想AC 与BD 的位置关系，并证明你的结论； (2)求线段BD 的长．
解：(1)AC⊥BD.理由如下：∵△DCE 由△ABC 平移而成，∴BE ＝2BC ＝6，DE ＝AC ＝3，∠E ＝∠ACB＝60°，∴DE ＝1
2BE ，∴BD ⊥DE ，∵∠E ＝∠ACB＝60°，∴AC ∥DE ，∴BD ⊥AC ；(2)在Rt △BED 中，∵BE ＝6，DE ＝3，∴
BD ＝BE 2
－DE 2
＝62
－32
＝3 3.
4．(2016聊城中考)如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 通过点A(－3，0)，B(9，0)和C(0，4)．CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D ，DE 垂直于x 轴，垂足为点E ，l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的极点．
(1)求出二次函数的解析式和点D 的坐标；
(2)将Rt △AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，取得Rt △A 1O 1F ，求现在Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部份的图形的面积；
(3)若Rt △AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度(0<t ≤6)取得Rt △A 2O 2C 2，Rt △A 2O 2C 2与Rt △OED 重叠部份的图形面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．
解：(1)y ＝－427x 2＋8
9x ＋4，D 点坐标为(6，4)；
(2)S 重叠部份＝16
3；
(3)S ＝⎩
⎪⎨⎪⎧13
t 2
（0＜t≤3），13
t 2
－3t ＋12（3＜t≤6）.
5．(2016东营中考)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A ，C 的坐标别离是(0，4)，(－1，0)，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，取得平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线通过点C ，A ，A ′，求此抛物线的解析式；
(2)点M 是第一象限内抛物线上的一动点，当点M 在何处时，△AMA ′的面积最大？最大面积是多少？并求出现在点M 的坐标；
(3)若P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，点Q 坐标为(1，0)，当P ，N ，B ，Q 组成平行四边形时，求点P 的坐标，当那个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．
解：(1)∵平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，取得平行四边形A′B′OC′，且点A 的坐标是(0，4)，∴点A′的坐标为(4，0)，∵点A ，C 的坐标别离是(0，4)，(－1，0)，抛物线通过点C ，A ，A ′，设抛物
线的解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝4，16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝3，
c ＝4，
∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2
＋3x ＋4；(2)
连接AA′，设直线AA′的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，4k ＋b ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，
b ＝4，∴直线AA′的解析式为y ＝－x ＋
4，设点M 的坐标为(x ，－x 2＋3x ＋4)，则S △AMA ′＝12
×4×[－x 2＋3x ＋4－(－x ＋4)]＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2
＋
8，∴当x ＝2时，△AMA ′的面积最大，最大值S △AMA ′＝8，∴点M 的坐标为(2，6); (3)设点P 的坐标为(x ，－x 2
＋3x ＋4)，当P ，N ，B ，Q 组成平行四边形时，∵平行四边形ABOC 中，点A ，C 的坐标别离是(0，4)，(－1，0)，∴点B 的坐标为(1，4)，∵点Q 坐标为(1，0)，P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，①当BQ 为边
时，PN ∥BQ ，PN ＝BQ ，∵BQ ＝4，∴－x 2＋3x ＋4＝±4，当－x 2
＋3x ＋4＝4时，解得：x 1＝0，x 2＝3，∴P 1(0，
4)，P 2(3，4)；当－x 2
＋3x ＋4＝－4时，解得：x 3＝3＋412，x 2＝3－412，∴P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋412，－4，
P 4⎝
⎛⎭
⎪⎫
3－412，－4；
②当BQ 为对角线时，BP ∥QN ，BP ＝QN ，现在P 与P 1，P 2重合；综上可得，点P 的坐标为P 1(0，4)，P 2(3，4)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋412，－4，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－412，－4；如图，当那个平行四边形为矩形时，点N 的坐标为(0，0)或(3，
0)．。