2023学年高二第一学期浙江省名校协作体联考+答案解析(附后)

2023学年高二第一学期浙江省名校协作体联考
一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.向量，
且
，则实数的值为( )
A.
B.
C. 3
D. 7
2.已知i 是虚数单位，则( )
A.
B.
C.
D.
3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )
A. B. C. 8 D.
4.设m ，n 为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题错误的是( )
A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若且
，则
D. 若
且
，则
5.函数
的部分大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，则的最大值为
( )
A.
B. C.
D.
7.如图，各棱长均相等的正三棱柱中，点M 为棱
的中点，点N 为棱
的三等分点
靠近
，点P 为棱
上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥体积为定值
B. 三棱锥体积为定值
C. 当时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等
D. 当时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等
8.已知函数在区间
上是减函数，则实数a 的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）
9.在平面直角坐标系中，角以x 正半轴为始边，终边与单位圆原点为圆心交于点，则符合条
件的角可以是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知非零实数a ，b ，c 满足，
，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. b ²
C.
D.
11.已知时，，则关于函数下列说法正确的是( )
A. 方程的解只有一个
B. 方程的解有五个
C. 方程，的解有五个
D. 方程，的解有五个
12.如图三棱锥的所有棱长均相等，M，N为棱AD，BC上包括端点的动点，直线MN与平面ABC、平面BCD所成的角分别为，，则下列判断正确的是( )
A. 正负与点M、点N位置都有关
B. 正负由点M确定，与点N位置无关
C. 最大为
D. 最小为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知一个圆锥的高为1，且轴截面为等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为__________.
14.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上则
的最小值为__________.
15.已知，，则__________.
16.如图，正的外接圆O半径为，点M是劣弧AB上的一动点，则
的最小值为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题10分
设a是实数，复数，是虚数单位
在复平面内对应的点在第一象限，求a的取值范围；
求的最小值.
18.本小题12分
已知集合，集合
若，求实数m的取值范围；
是否存在实数m，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
19.本小题12分
已知函数
求的单调递增区间；
若在上存在最小值，求实数t的取值范围.
20.本小题12分
已知梯形木板ABCD，，米，米，现要把木板沿线段MN锯成面积相等的两部分，其中点M在线段AB上，N在另外的三条边上.
当N在线段BC上，设，，求mn的值；
求锯痕MN的最小值.
21.本小题12分
用文具盒中的两块直角三角板直角三角形和直角三角形绕着公共斜边翻折成的二面角，如图
和，，，，，将翻折到，使二面角成，E为边CD上的点，且
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值.
22.本小题12分
已知函数，
时，
求不等式的解集；
若对任意的，，求实数m取值范围；
若存在实数a，对任意的都有恒成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面向量垂直的坐标运算，属于基础题.
利用平面垂直的坐标运算直接求解即可.
【解答】解：
，即
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的运算及复数的概念，属于基础题.
利用复数四则运算法则直接运算即可.
【解答】
解：
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平面直观图与原平面图形的面积计算问题，是基础题．
求出直观图正方形的面积为4，利用平面直观图与原平面图形的面积之间的关系可得结果.
【解答】
解：直观图正方形的面积为：
，
则原平面图形的面积是：
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面的位置关系，用了线面平行的性质定理，线面垂直的性质，面面平行的性质，属于基础题;
由线面垂直，平行的判定与性质和面面平行的性质判断A、B、C、D选项即可.
【解答】解：对于A，垂直于同一平面的两直线平行，故A正确;
对于B，若，，根据线面垂直的判定定理得到，故B正确;
对于C，若且，则m与n可能相交，平行或异面，故C错误;
对于D，若且，一条直线垂直于平行平面中的一个，也垂直于另一个，故D正确.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，判断或证明函数的奇偶性，难度较易.
根据函数的奇偶性排除A；根据函数值的正负排除B，
【解答】
解：排除A，
当时，，当时，，则排除B和C，满足条件的为
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查向量的数量积运算、正弦定理以及逆用两角和与差的正弦公式，属于基础题.
由向量的数量积运算、正弦定理以及和角差角公式化简可得和
，联立之后可得，求出的范围，可得结果.【解答】
解：由已知，
，
，
，
由正弦定理，
，
，①
又，
，
，
，②
联立①②，得，
，
，
，
又在中，，
的最大值为或舍去，此时
故的最大值为
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的体积，属于中档题.
依据椎体的体积公式，考虑底面积和高的变化，可研究体积.【解答】
解：对于A：
点P为棱上的动点
点P到平面的距离不是定值，即不是定值，
三棱锥体积不是定值
对于B：
点P为棱上的动点
点P到平面的距离不是定值，即不是定值，
三棱锥体积不是定值
对于C：
点M为棱的中点，点P为棱的中点，
又点N为棱的三等分点靠近
当时，三棱柱被截面MNP分成的上下两部分体积不相等
对于D：
点M为棱的中点
又点N为棱的三等分点靠近，
当时，三棱柱被截面MNP分成的上下两部分体积相等
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角函数中已知函数单调性求参，为中档题.
【解答】
解：，其中，
可令，若在区间上是减函数，易得，，
解得，但又，则
则
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
利用三角函数定义求出，解三角方程，即可得到符合条件的角
【解答】
解：在单位圆上的点，其横坐标对应的余弦值，
，
或，
的取值可以为，
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了利用不等式判断不等关系，属于基础题.
利用特殊值法和不等式的性质逐个判断即可.
【解答】
解：对于A：，，
，故A正确
对于B，C：当，，时，
b²，，故BC错误
对于D：，，
，
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数零点及方程根的个数，属于难题.
利用零点与方程根的关系，借助图象，即可判断A选项；，令，则有
，再依次判断方程的根，即可判断B选项；令求解计算得到
，再依次判断方程的根；令，则，，依次判断方程的根的个数，即可判断D选项.
【解答】解：由题知的图象如图所示
对于A，时，无解，
时，与的图象有唯一交点，，故方程的解只有一个正确，故A正确；
对于B，若方程，令，则有，
由图象可得：有一个解，有三个解，有两个解，共六个解，故B错误；
对于C，方程，时，令，则有
，
故无解，三个解，两个解，共有五个解，故C正确；
对于D，令，则，，分别对应三个解与两个解，共五个解，故D正确.
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面所成的角以及二面角，属于较难题.
先找出线面角和二面角，即，，再研究最值.
【解答】
解：如图，取BC中点，作，则即为M在平面ABC上的射影，
，，
作，同理，
因此，
因此的正负只与点M的位置有关，故A错误，B正确;
由于，不妨设棱长为1，
由于，
故，
从而，，
于是，则，
又，故，故C正确;
，故D正确.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的轴截面与侧面积计算问题，是基础题.
根据条件求出圆锥的底面半径和母线长，再计算圆锥的侧面积.
【解答】
解：由条件圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，
可知等腰直角三角形斜边的高为1，
得母线长，底面圆的半径为，
则该圆锥的侧面积为
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数型函数图象过定点和基本不等式，中档题.
令可求出点，代入直线方程可得，再利用基本不等式进行求解.【解答】
解：函数的图象恒过定点，
又点A在直线上，则有，
则，
当且仅当时取等号.
故答案为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考察对数的运算性质，属于基础题.
利用对数运算法则，代入求解得到求出，求出，即可计算的答案.【解答】
解：已知，，且，
，
，
，或舍，
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积问题
【解答】
解：
，
当时此时点M是劣弧AB上，取最小值为
17.【答案】解：由题意得，在复平面内对应的点，
在第一象限可得
，，
，
当时取到最小值
【解析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的模以及复数的乘法，难度不大.
化简，可得求得结果;
利用二次函数求得结果.
18.【答案】解：根据题意，得
由或，
则或
解得或
所以实数m的取值范围是或
假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，
所以，即，
则
解得：
故存在实数，使得是的必要不充分条件.
【解析】本题考查集合的交并补的混合运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题.
化简集合N，求得补集，利用求得结果;
假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，可得，即求得结果.
19.【答案】解：因为
，
由，
得，
所以的递增区间为：，
设，则
由图像可得
，
，，
实数t的取值范围为
【解析】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的单调性与最值，属于中档题.
先化简函数再求其单调递增区间；
结合正弦函数的图象求解即可.
20.【答案】解：
当N在BC上时，
当时，
当N在CD上时，M，N分别是AB，CD中点时，符合条件，
此时，所以
当N在DA上时，由对称性知，
综上可得锯痕MN最小为米.
【解析】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的实际应用，为中档题.
由面积公式可直接得到mn的值；
由基本不等式，可求MN的长度最小值.
21.【答案】解：证明：取BC中点F，连结，EF
由已知知，
又，则，，，
，
，
即，
且，又，平面，
平面，
平面，
作于点H，由平面，知，平面BCD，平面BCD，
又由二面角为即，
，，
过D作，可得，则，
，
，
所以，
法二：以F为坐标原点建系如图，
则，，，，
，，
设平面的法向量，
，
解得，
，
，为所求.
【解析】本题考察线面垂直的判定，线面垂直的性质，直线与平面所成角的求法，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.
利用线面垂直的判定可得平面，再由线面垂直的性质可得结果;
法一：作于点H，可得平面BCD，由二面角为，可得，
，过D作，可得，，，利用线面角的定义可得结果;法二：利用空间向量的方法求解即可.
22.【答案】解：当时，
在R上单调递增，
当时，，不成立
当时，
此时m不存在
当时，
综上，
时，恒成立
时，，需，
，
不等式
当时，
，
存在a满足以上不等式，则
此时
当时，同理可得：有解
解得：
综上可得：
【解析】本题考查了利用函数的单调性解不等式与函数的恒成立问题，属于较难题.
转化为，求解即可；
讨论m与0的关系，解不等式；
由，讨论m的范围，再解不等式.。