《解析》黑龙江省大兴安岭实验中学2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年黑龙江省大兴安岭实验中学高二（上）期末数学
试卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α=
2．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）
A．B． C．D．
3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
4．设函数g（x）=x（x2﹣1），则g（x）在区间[0，1]上的最小值为（）
A．﹣1 B．0 C．﹣D．
5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；
③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
A．①B．①③C．③D．②
6．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2）若|AB|=7，则AB 的中点M到抛物线准线的距离为（）
A．B．C．2 D．
7．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）
A．e B．﹣e C．D．﹣
8．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）
A．5 B．10 C．20 D．
9．如果函数在区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）
A．a≤5 B．5≤a≤7 C．a≥7 D．a≤5或a≥7
10．椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（）
A．B． C．﹣1 D．﹣1
11．函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点，则m的取值范围为（）
A．（﹣24，8）B．（﹣24，1]C．[1，8]D．[1，8）
12．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+xf′（x）＜0且f（﹣4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）
A．（﹣4，0）∪（4，+∞）B．（﹣4，0）∪（0，4） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上）
13．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是．
14．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．
15．方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是．
16．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为．
三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，如表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
（1）计算小李这5天的平均投篮命中率．
（2）用线性回归分析的方法，画出散点图，求出回归直线方程并预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
18．某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：
试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？说明理由．
19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）在（I）的条件下，求函数f（x）在[﹣4，1]上的最大值和最小值．
20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．
21．（2009•辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
22．已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围．
2015-2016学年黑龙江省大兴安岭实验中学高二（上）期
末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α=
【考点】四种命题．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．
【解答】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是
“若tan α≠1，则α≠”．
故选：C．
【点评】本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题．
2．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）
A．B． C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），可得a=2，进而可求双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），
∴a2+5=9
∴a2=4
∴a=2
∵c=3
∴
故选C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，正确运用几何量之间的关系是关键．
3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
【考点】回归分析的初步应用．
【专题】阅读型．
【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．
【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；
对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；
对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确
故选D．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．
4．设函数g （x ）=x （x 2﹣1），则g （x ）在区间[0，1]上的最小值为（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．﹣
D ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义． 【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】求函数的导数，利用函数的最值和单调性的关系进行求解即可． 【解答】解：∵g （x ）=x （x 2﹣1）=x 3﹣x ， ∴函数的导数g ′（x ）=3x 2﹣1，
由g ′（x ）＞0得x ＞或x ＜﹣，此时函数单调递增，
由g ′（x ）＜0得﹣＜x ＜
，此时函数单调递减，
则当x=时，函数取得极小值同时也是最小值此时最小值为g （＜
）=
[（
）2﹣
1]=
×（﹣）=﹣
，
故选：C
【点评】本题主要考查函数的最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
①若K 2的观测值满足K 2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；
③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
A ．①
B ．①③
C ．③
D ．②
【考点】独立性检验的基本思想． 【专题】阅读型．
【分析】观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误，从而得出答案．
【解答】解：要正确认识观测值的意义，
观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，
若k2的观测值为k=6.635，
我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，
但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故①不正确．
也不表示某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病，故②不正确．
若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，
是指有5%的可能性使得推判出现错误，③正确．
故选C．
【点评】本题的考点是独立性检验的应用，根据独立性检测考查两个变量是否有关系的方法进行判断，准确的理解判断方法及K2的含义是解决本题的关键．
6．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2）若|AB|=7，则AB 的中点M到抛物线准线的距离为（）
A．B．C．2 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，由抛物线的定义可得|AB|=7=（x1+1）
+（x2+1），求得x1+x2的值，由此求得点M到抛物线准线的距离+1的值．
【解答】解：由抛物线的方程y2=4x可得p=2，故它的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1．由抛物线的定义可得|AB|=7=|AF|+|BF|=（x1+1）+（x2+1），∴x1+x2=5．
由于AB的中点M（，）到准线的距离为+1=，
故选A．
【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．
7．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）
A．e B．﹣e C．D．﹣
【考点】导数的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，
设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，
所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．
它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，
∴k=．
故选C．
【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
8．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）
A．5 B．10 C．20 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：设P（x0，y0）
依题意可知抛物线准线x=﹣1，
∴x0=5﹣1=4
∴|y0|==4，
∴△MPF的面积为×5×4=10
故选：B
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．
9．如果函数在区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）
A．a≤5 B．5≤a≤7 C．a≥7 D．a≤5或a≥7
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【专题】计算题．
【分析】由已知中函数，我们可以求出函数的导函数的解析式，令导函数等于0，则我们可以求出函数的极值点为1和a﹣1，由函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，我们可得函数的极值点a﹣1介于4到6之间，构造关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数
∴f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]
又∵函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，
∴4≤a﹣1≤6
∴5≤a≤7
故选B．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性与导数的关系，其中根据已知中函数f（x）的解析式，求出函数的导函数f′（x）的解析式，是解答本题的关键．
10．椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（）
A．B． C．﹣1 D．﹣1
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得：椭圆+=1与直线y=2x交于（c，2c）点，代入可得离心率的值．
【解答】解：由已知可得：椭圆+=1与直线y=2x交于（c，2c）点，
即+=1，
即+=1，
即a4﹣6a2c2+c4=0，
即1﹣6e2+e4=0，
解得：e2=3﹣2，或e2=3+2（舍去），
∴e=﹣1，或e=1﹣（舍去），
故选：D
【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，根据已知构造关于a，c的方程，是解答的关键．
11．函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点，则m的取值范围为（）
A．（﹣24，8）B．（﹣24，1]C．[1，8]D．[1，8）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点，可转化为函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，故求出函数的单调性与极值，对研究出函数的图象的特征，由图象求出m的取值范围即可
【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点，即函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，下研究函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3的性质由题意f'（x）=3x2﹣6x﹣9
令f'（x）=3x2﹣6x﹣9＞0解得x＞3或x＜﹣1
又x∈[﹣2，5]
故f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3在（﹣2，﹣1）与（3，5）上是增函数，在（﹣1，3）上是减函数，
x=﹣2，﹣1，3，5时，函数值对应为1，8，﹣24，8
其图象如图，可得1≤m＜8
故选D
【点评】本题考查根的存在性及根的个数的判断，正确解答本题，关键是将函数有零点的问题转化为两个函数有交点的问题，此转化的好处是转化后的两个函数的中有一个函数是确定的，实现了由不定到定的转化变，方便了研究问题，即求参数的范围．熟练利用导数研究函数的单调性也是解本题的关键，
12．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+xf′（x）＜0且f（﹣4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）
A．（﹣4，0）∪（4，+∞）B．（﹣4，0）∪（0，4） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合；导数的乘法与除法法则．
【专题】计算题．
【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（﹣4）=0得g（4）=0、还有g（﹣4）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．
【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∵f（﹣4）=0，
∴f（4）=0；
即g（4）=0，g（﹣4）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，
设x＞0，故不等式为g（x）＞g（4），即0＜x＜4
设x＜0，故不等式为g（x）＞g（﹣4），即x＜﹣4
故所求的解集为（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
故选D．
【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上）
13．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是∃x＞0，x2+x≤0．
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】首先，将全称量词∀改为存在量词∃，然后，将x2+x＞0改成x2+x≤0即可．
【解答】解：由已知为全称命题，
它的否定为特称命题，即：
∃x＞0，x2+x≤0，
故答案为：∃x＞0，x2+x≤0
【点评】本题重点考查了全称量词和存在量词，全称命题的否定等知识，属于中档题，属于高考热点问题，这类题型是常考题型，求解此类问题关键是，量词否一否，结论否一否．
14．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．
【解答】解：y′=3x2﹣1，
令x=1，得切线斜率2，
所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），
即2x﹣y+1=0．
故答案为：2x﹣y+1=0．
【点评】本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．
15．方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是0＜k＜1．
【考点】椭圆的定义．
【专题】计算题．
【分析】先把方程整理证椭圆的标准方程，进而根据焦点在y轴推断出＞2求得k的范围，进而根据k＞0综合可得k的范围．
【解答】解：椭圆方程化为+=1．
焦点在y轴上，则＞2，即k＜1．
又k＞0，
∴0＜k＜1．
故答案为：0＜k＜1
【点评】本题主要考查了椭圆的定义．解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．
16．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为﹣37．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m的值，即可求出函数的最小值．
【解答】解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[﹣2，2]，
所以得
当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3
所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5
因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．
答案为：﹣37
【点评】本题考查利用函数的导数求最值的问题，解一元二次不等式的方法．
三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，如表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
（1）计算小李这5天的平均投篮命中率．
（2）用线性回归分析的方法，画出散点图，求出回归直线方程并预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
【考点】线性回归方程．
【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）利用提供的命中率，可求李这5天的平均投篮命中率；
（2）利用所给数据画出散点图，先求出线性回归方程，再令x=6，即可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
【解答】解：（1）小李这5天的平均投篮命中率
==0.5
（2）由表中数据可求得小李这5天的平均打篮球时间=3，=0.5
由最小二乘法可求得b=0.01，a=0.47，故线性回归方程为y=0.01x+0.47
将x=6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
18．某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：
试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？说明理由．
【考点】独立性检验的应用．
【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】根据列联表，代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【解答】解：假设H0：学生的学习积极性与对待班级工作的态度没有关系
经计算得：k=≈11.54．
∵K2＞7.879，
故可以有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
【点评】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．
19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）在（I）的条件下，求函数f（x）在[﹣4，1]上的最大值和最小值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】（1）求导函数，利用曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，建立两个方程，即可求函数f（x）的解析式；
（2）确定函数的极值点，利用函数的最值在极值点处及端点处取得，即可得到结论．
【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5，求导数得f'（x）=3x2+2ax+b，
∵在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3，
∴f'（1）=3，即3+2a+b=3，化简得2a+b=0①；
∵y=f（x）在x=时有极值，∴f'（）=0，即4a+3b+4=0 ②．
由①②联立解得a=2，b=﹣4，
∴f（x）=x3+2x2﹣4x+5；
（2）由（1）知f'（x）=3x2+4x﹣4=（x+2）（3x﹣2）
∴函数在x=﹣2及x=时有极值
∵f（﹣4）=﹣11，f（﹣2）=13，f（）=，f（1）=4
∴函数f（x）在[﹣4，1]上的最大值为13，最小值为﹣11．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】证明题；综合题．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程组，联解可得a，b的值；
（Ⅱ）转化为证明函数y=f（x）﹣（2x﹣2）的最大值不超过0，用导数工具讨论单调性，可得此函数的最大值．
【解答】解：
（Ⅰ）f'（x）=1+2ax+，
由已知条件得：，即
解之得：a=﹣1，b=3
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x﹣x2+3lnx，
设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，则
=
当时0＜x＜1，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0
所以在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
∴g（x）在x=1处取得最大值g（1）=0
即当x＞0时，函数g（x）≤0
∴f（x）≤2x﹣2在（0，+∞）上恒成立
【点评】本题着重考查导数的几何意义，以及利用导数讨论函数的单调性，求函数的最值，是一道常见的函数题．
21．（2009•辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得
，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，
可设椭圆方程为，
解得b2=3，（舍去）
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，
代入得
设E（x E，y E），F（x F，y F），
因为点在椭圆上，
所以由韦达定理得：，，
所以，．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以﹣K代K，可得，
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为．
【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．22．已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案．
（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．
当时，f'（x）=x（4x2﹣10x+4）=2x（2x﹣1）（x﹣2）．
令f'（x）=0，解得x1=0，，x3=2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
），
所以f（x）在，（2，+∞）内是增函数，在（﹣∞，0），内是减函数．
（Ⅱ）f'（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2﹣64≤0．
解些不等式，得．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是．
（Ⅲ）由条件a∈[﹣2，2]，可知△=9a2﹣64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值是f（1）与f（﹣1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，
当且仅当，即，在a∈[﹣2，2]上恒成立．
所以b≤﹣4，因此满足条件的b的取值范围是（﹣∞，﹣4]．
【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．。