高考复习江苏省如皋中学高三质量调研卷数学试题

3．设M={平面内的点(a,b )}，N={f (x )|f (x )=acos 2x ＋bsin 2x } ，给出M 到N 的映射： f ：(a,b )→f (x )= acos 2x ＋bsin 2x 则点(1,3)的象f (x )的最小正周期为：
A ．π
B ．2π
C ．π2
D ．π
4
4．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是
A 6S
B 11S
C 13S
D 12S
编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m &n = k , m &(n + 1) = k + 2，则 1&2005 的输出结果为
（ ） A 4008 B 4006 C 4012 D 4010 给定下列命题：
（1）y =sin x 在第一象限是增函数
（2）△ABC 中三内角A B C 成等差的充要条件是B =60° （3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 是正三角形
（4）函数y =A sin(ωx +φ)的周期是T =
2π
ω
，其中正确命题的序号为 （ ）
A ．①②③④
B ．①④
C ．②③
D ．①②④
7．不等式)10(2sin log ≠>>a a x x a 且对任意)4
,0(π
∈x 都成立，则a 的取值范畴
为 （ B ） A )4,
0(π
B )1,4(π
C )2,1()1,4(ππ⋃
D [,1)4
π
8 已知函数2
23)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则)2(f 等于
(A) 11或18 (B) 11 (C) 18 (D) 17或18
9．若n
x
x )1(+展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为
(A) 52104C (B) 52103C (C) 52102C (D) 51
102C
10．设)(x f 为偶函数，关于任意的0>x 的数，都有)2(2)2(x f x f --=+，已知
4)1(=-f ，那么)3(-f 等于
(A) 2 (B) 2- (C) 8 (D) 8- 二、填空题
11．已知集合{
}
R x y y A x
∈-==,12
，集合{}
R x x x y y B ∈++-==,322，
则集合{}
B x A x x ∉∈且=______________
12．已知函数)20,0)(2sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f ，若对任意R x ∈有
)12
5
()(πf x f ≥成立，则方程0)(=x f 在[]π,0上的解为 _____________
13．数列{}n a 的首项为21=a ，且))((2
1
211N n a a a a n n ∈+++=+ ，记n S 为数
列{}n a 前n 项和，则n S __________________
14．已知向量)sin 3,cos 3(),sin 2,cos 2(ββαα==b a ，其夹角为
60，则直线
21sin cos +
-ααy x =0与圆2
1)sin ()cos (2
2=++-ββy x 的位置关系是_________
15．将最小正周期为2
π
的函数)2,0)(sin()cos()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x g 的图象向左平移4
π
个单位，得到偶函数图象，则满足题意的ϕ的一个可能值为 __________
16．若函数⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧+=x x x f 24
1log ,log 3min )(，其中{}q p ,m in 表示q p ,两者中的较
小者，
则()1f x <的解为 _____________
三、解答题
17．已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，3
2
1)(x tx x f -=（t 为常数）
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想)(x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当9≥t 时，证明：函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上
18．如图所示，已知A B C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，
BC 过椭圆中心O ，且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |．
(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)假如椭圆上有两点P Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：PQ AB ．
A
答案：
1 B
2 B
3 A
4 B
5 A
6 B
7 C
8 B
9 D 10 D
11 (2,)+∞ 12
2,63
ππ
13 1
32()
2
n - 14 相交 15
4
π 16．{|0216}x x x <<>或
17．解(]2,0∈x 时，[)0,2-∈-x ， 则 332
1)(21)()(x tx x x t x f +-=--
-=- ∵函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，即()()x f x f -=-
∴()321x tx x f +-=-，即 32
1
)(x tx x f -=，又可知 ()00=f ∴函数)(x f 的解析式为 3
2
1)(x tx x f -= ，[]2,2-∈x
（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=221x t x x f ，∵]6,2[∈t ，[]0,2-∈x ，∴02
1
2≥-x t ∵ ()[]
27832121213
3
222
2222
t x t x t x x t x x f =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= ∴2
2
2
1x t x -
=，即 36,322t x t x -
==[])0,236(-∈-t 时，t t f 962min -=
猜想)(x f 在[]2,0上的单调递增区间为⎦
⎤
⎢⎣⎡36,
0t （3）9≥t 时，任取2221≤<≤-x x ， ∵()()()()
0212221212121<⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-
-=-x x x x t x x x f x f
∴()x f 在[]2,2-上单调递增，即()()()[]2,2f f x f -∈，即()[]42,24--∈t t x f ∵9≥t ，∴1442,1424≥--≤-t t ，∴[]42,2414--∈t t
∴当9≥t 时，函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上． 18 (1)解：以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，设A (2，0)，
则椭圆方程为1422
2=+b
y x --------------------------- 2分
∵O 为椭圆中心， ∴由对称性知|OC |＝|OB |
又∵0=⋅BC AC ， ∴AC ⊥BC
又∵|BC |＝2|AC |， ∴|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形
∴点C 的坐标为(1，1) ∴点B 的坐标为(－1，－1) ----------------- 4分
将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得3
42=
b ， 则求得椭圆方程为14
342
2=+y x ------------------------------------------
6分 (2)证：由于∠PCQ 的平分线垂直于OA (即垂直于x 轴)， 不妨设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为－k ，
因此直线PC QC 的方程分别为y ＝k (x －1)+1，y ＝－k (x －1)+1
由⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=1434
1)1(22y x x k y 得：
(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0 （*）--------------------------------------------8分
∵点C (1，1)在椭圆上， ∴x ＝1是方程(*)的一个根，
∴x P •1＝1316322+--k k k 即 x P ＝131
632
2+--k k k 同理x Q ＝1
31
6322+-+k k k --------------------------------------------------- １０分
∴直线PQ 的斜率为
31
1
312213)
13(22)(222=+--+-=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P ---------1２分 又∵3
1
=
AB k ，∴PQ AB ．---------------------------------------------------13分。