高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.2 Word版含答案

§1.2充分条件与必要条件
【课时目标】 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．
1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的__________，q是p的__________．
2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________条件．
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件
二、填空题
7．用符号“⇒”或“⇒”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；
(2)ab≠0________a≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．
9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
12．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
【能力提升】
13．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝
max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．
1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对于
否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．
§1.2 充分条件与必要条件
知识梳理
1．充分条件 必要条件
2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．
因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]
2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]
3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]
4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]
6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a
<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12
，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1) ⇒ (2)⇒
8．a >2
解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为
－a <x <－1.由题意有(－2，－1)
(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.
9．b ≥－2a 解析 由二次函数的图象可知当－b 2a
≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．
10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，
但x ＝y ⇒|x |＝|y |，
∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．
△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．
∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．
∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
11．证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，
则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．
当xy >0时，即x >0，y >0，或x <0，y <0，
又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，
∴等式成立．
当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．
总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．
②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，
则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，
即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |，
∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.
综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．
12．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．
13．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，
∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．
∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a
. 又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c
， 即a b ＝a c 或b c ＝a c
， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]
14．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，
∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，
∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，
∴a n ＋1－a n ＝2为常数．
又a 1＝S 1＝4＋c ，
∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c ，
∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2.
∴c ＝－1，反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，
可得a n ＝2n ＋1 (n ≥1)为等差数列，
∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.。