电路基础与集成电子技术-第3章 正弦交流电路

2007.03
P
1 T
T
0
p(t)dt
1 T
T
UI [cos
0
-
cos(2t
)]dt
UIcos
不管对二端电路内部是否含有电源，均适用，如果二端电
路内部不含有电源，那么端电压端电流的相差 即是二端电路 的等效阻抗的阻抗角。通常将cos 称为功率因数。
3.5.2 功率因数的提高
功率因数是衡量交流电路作功情况的重要参数，作功的
第3章----正弦交流电路
2007.03
第3章----正弦交流电路
2007.03
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3.2.3 基尔霍夫定律的相量形式
n
Ik (t) 0
k 1
n
Uk (t) 0
k 1
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3.3 正弦信号通过电路元件R、C、L
3.3.1 正弦信号通过电阻器R
i
u
R
u,i, p
Um
O
π i 2π 3π
t
u
i(t)
u(t) R
3.4.2 回路的导纳
导纳的定义
Y1 Z
I
I1 R U
I2
1
ZC
j
C
ZL jL
1
1
Y1 Z1 R jL
Y2
1 Z2
jC
Y
Y1
Y2
R
1
jL
jC
1 j2 2LC jCR R jL
1 2LC jCR R jL
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3.5 正弦交流电路的功率和功率因数
电阻性负载，cos=1。
如果WLWC，那么二端电抗性电路就与电网之间有能量 往返，就有无功功率，功率因数就小于1。不难理解
Q Qk
无功功率守恒
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S
P
功率三角形
根据P=UIcos ，定义S=UI Q
S称为视在功率，即=0°、cos=1
时的平均功率，或是对应无电抗性元件 的纯电阻性电路的情况，S、P重合。
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U m LI m
Um Im
U I
L
XL
X L L 2πfL
UI jL
X
XL
R
XC
f
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p pL ui U m I m sin t sin(t 90) U m I m sin t cos t
p
1 2
U
m
(3)电流相量的幅值Im=CUm，有效值I=0.707Im；
(4)容抗是表示电容器电路对交流电的阻抗，容抗与电容量和频 率的乘积成反比；
(5)电容器的瞬时功率以2的频率变化，在p>0时电容器充电，
在p<0时电容器放电； (6)电容器的平均功率等于0，为了衡量电容器交换能量的水平，
定义了无功功率。 QC=-UI
U msint
R
I msint
U IR
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u,i, p
j
p
Um
0
IU
1 O
π
P UI t
i 2π 3π
u
p
pR
ui U m I msin2t
UmIm 2
(1 cos2t) UI (1 cos2t)
P
1 T
T
0
p(t)dt
1 T
T
UI
0
(1
cos2t)dt
电路基础与集成电子技术
哈尔滨工业大学 电子学教研室编
蔡惟铮
主编
齐明 于泳 副主编
第3章----正弦交流电路
2010年03月
2007.03
第1篇 电路基础
第1章 电路元件与电源 第2章 电路的基本定律 第3章 正弦交流电路
第3章----正弦交流电路
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第3章 正弦交流电路
内容提要：本章介绍了正弦信号的参数， 相量的概念，正弦信号的表示方法，正弦信号
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u
u
Um
u1 u2
Um
u1
u2
O
1 2
t πO
2 Um
t
滞后，若初相角2>1，<0
1 2
u
正交，若= /2
Um
u1 u2
O
Um u1
u2
t
t
O
Um
Um
同相，若1=2，=0
反相，若=
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3.1.2 有效值
u
i1 R i2
u
C
L
IC I2
U
2
I
I1
用电容补偿功率因数，实质上是减少了电感与电网之间 的能量交换，其中全部或一部分由电容与电感之间在电路的 内部进行了能量的交换，从而提高了功率因数。
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3.5.3 无功功率与视在功率
在讨论电容和电感时，曾经提到电容和电感本身不消耗功
另一直角边
Q=UIsin
无功功率Q
P平均功率 Q无功功率 S视在功率
P2+Q2=S2
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视在功率是交流设备的标牌上注明的容量，单位是 (VA)，或(kVA)，是设备额定电压和额定电流的乘积。功 率因数越大，设备的无功功率就越小，平均功率就越大， 使得电网作功的能力得以充分发挥。
前面已经讨论了电容和电感电路的瞬时功率、无功功率和 平均功率等问题，在此进一步讨论一般的电抗性电路的功率以 及功率因数等概念。
3.5.1 二端电抗性电路的功率
i(t)
u(t) 2U sin t
总的电容性、电 感性看相位角
i(t) 2I sin(t )
u(t)
N
p(t) u(t)i(t) 2UI sin t sin(t )
率，平均功率为0，并定义了电容和电感的无功功率和符号。为
此在计算二端电抗性电路的平均功率时，就可以不计算电容和
电感的平均功率，于是二端电抗性电路的平均功率仅为电阻上
的平均功率
n
P
I
2 k
Rk
k 1
平均功率守恒
在复杂的二端电抗性电路中有多个电感性支路和电容性支 路，如果全部电感性支路的能量WL等于全部电容性支路的能 量WC，那么二端电抗性电路就不会与电网有能量交换，相当
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3.1 正弦交流电的参数
3.1.1 相位差
相位差是指两个相同角频率的正弦信号，他们的初
相角不同，例如
u1 U m1sin(t 1 )
u
u2 U m2sin(t 2 )
两个同 频率正弦波 初相角之差
Um
u2 u1
O
2 1
即为相位差
1 2
t
超前，若初相角1>2，>0
I
m
s
in
2t
UI
s
in
2t
u,i, p
QL=+UI
p 0电感吸收能量
Um
i
π
3π
t
O
2π
p 0电感释放能量
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(1)电感器中的电流与电压同频率； (2)电感器中的电流在相位上滞后电压90°；
(3)电流相量的幅值Im=Um/L，有效值I=0.707Im；
(4)感抗是表示电感器电路对交流电的阻抗，感抗与电感量和频 率的乘积成正比；
UI
R
ZL
ZC
R
jL
j1
C
R
j(L
1)
C
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I
I1
I2
Z
UI
(R ZL )ZC (R ZL ) ZC
R
U
ZC
j 1
C
ZL jL
(R jL) 1
jC
R (jL 1 )
jC
(R jL) 1 2 LC jCR
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为了与一般的复数相区别，特别把正弦量的复数称为相量， 用上方加“•”的大写斜体字母表示
Um U m (cos jsin ) U me j U m
U U (cos jsin ) Ue j U
Um 是幅值相量， U 是有效值相量。
Re[Ue jt ] U cos t
UI[cos cos(2t )]
与纯电感、电容电路相同的是，以2t 的角频率变化；当p>0
时电路从电源吸取功率，当p<0时电路向电源回馈功率。不同的是， 纯电感、电容电路p>0和p<0的部分相等，平均功率为0。在此p>0 和p<0的部分二者不相等，即平均功率不等于0。平均功率为
第3章----正弦交流电路
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3.3.3 正弦信号通过电感器L
j
U
i
u,i, p
i(t)=Imsint
u
L
Um
i
I
0
1
π
3π
t
O
2π
ut
L
di(t) dt
L
d(I
m s int )
dt
LI
mcost
LI
m s in (t
90)
ut LI msin(t 90) U msin(t 90)
UI
P UI I 2 R U 2 R
W Pt
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(1)电阻器中的电流与电压同频率；
(2)通过电阻的电流与加在电阻两端的电压是同相的，没有相差。
(3)电流相量与电压相量满足
U IR
(4)电阻是表示电路对交流电的阻力，等于电压相量与电流相量
之比；
R
U I
(5)电阻获得的瞬时功率始终大于0，平均功率
45
A
30
有向半径旋转 可以得到正弦波， 那么有向线段可以 视为复数，所以正 弦信号也可以用复 数来表示。
2 f
0
195
t
01560
225
30
Um
有向线段的半径的长度就是幅度Um，逆时针旋转的角速
度就是，有向半径旋转的起始点的角度就是初相角。
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I
2 m
T
1
cos2t
dt
T0
T0 2
I
2 m
T
(
dt
T
cos2t
dt)
T 02 0 2
I 2m (T 0) I m
T2
2
U U m 0.707U m 2
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3.2 相量
3.2.1 相量的概念及其表示法
u U msin(t )
Um 90
u
P UI I 2 R U 2 R
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j
3.3.2 正弦信号通过电容器C
I
i
u,i, p
u(t)=Umsint C
Um
0
iπ
3π
O
2π
U
1
t
i
dq dt
C
du dt
C
d(U msint)
dt
CUmcost
CUm
(s int
90)
i CU m (sint 90) I m (sint 90)
Im[Ue jt ] Usint
如果通过电阻则没有虚部。
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3.2.2 相量图及相量的运算
j U
j A+B
B
60 I
30
0
1
0
-B
A 1
A-B
在表示正弦相量时，可以用带箭头的有向线段在复平面上画 出，称为相量图。使用相量图可以完成相量的加、减运算，采用 平行四边形法则，对角线即为解。
的计算等。正弦信号通过电路元件R、C、L 的
特点和相关参数计算。讨论了正弦交流电路的 阻抗和导纳，有功功率、无功功率和功率因数 等问题。
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第3章 正弦交流电路
3.1 正弦交流电的参数 3.2 相量 3.3 正弦信号通过电路元件R、C、L 3.4 阻抗与导纳 3.5 正弦交流电路的功率和功率因数
(5)电感器的瞬时功率以2的频率变化，在p>0时电感器储能，
p<0时电感器释放能量； (6)电感器的平均功率等于0，为了衡量电感器交换能量的水平，
定义了无功功率。
QL=+UI
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3.4 阻抗与导纳
3.4.1 回路的阻抗
iR
L
u
C
i
Байду номын сангаас
R ZL jL
u
ZC
j 1
C
Z
j
A=a+jb
b
A
r
r a 2 b 2 arctan b
a
0
a 1
复数还可以用指数形式表示，因为
a rcos b rsin
A a jb r cos jr sin r(cos jsin )
欧拉公式
cos e j e-j
2
, sin e j e-j
2j
A re j
A=r
大小与功率因数有关， 越小，cos 越大，平均功率越大。 由于工业设备中有许多感性负载，使得90°≥＞0°，
功率因数cos 会减小。
提高功率因数最简单的办法是采用电容器并联在电路的适 当位置，以补偿电路的感性负载，使电路趋于电阻性，即功率 因数接近等于1。
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i
I m CU m I CU
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Um Im
U I
1
C
1
2fC
XC
XC
UI
1
jC
u,i, p
XC
p 0 电容充电
Um
iπ
3π
t
O
2π
f
p 0 电容放电
QC=-UI
p
1 2
U
m
I
m
s in
2t
UI
s in
2t
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(1)电容器中的电流与电压同频率； (2)电容器中的电流在相位上超前电压90°；
i
R
Um
u
I
R
O Um
t
O
一个直流电流I 和交流 i 流经负载电阻R ，消耗的能量相等
i I msint
T
Ri 2dt RI 2T
0
I 2
1
T
RI 2 msin 2dt
RT 0