初中数学中考导练讲义第22讲与圆有关的位置关系

第 22 讲与圆有关的地点关系【章节知识清单】
知识点一：与圆有关的地点关系
1. 点与
设点到圆心的距离为 d.
圆的地点(1)d<r ? 点在⊙ O 内； (2)d＝r ? 点在⊙ O 上； (3)d>r ? 点在⊙ O 外．关系
地点关系相离相切订交2. 直线图形
和圆
的位
公共点个数0 个 1 个 2 个置关
系数目关系d＞ r d＝ r d＜ r
知识点二：切线的性质与判断
（ 1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
3. 切线
（ 2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
的判断
（ 3）经过半径外端点而且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（ 1）切线与圆只有一个公共点.
4. 切线
（ 2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
的性质（ 3）切线垂直于经过切点的半径.
（ 1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做* 5. 切线这点到圆的切线长.
（ 2）切线长定理：从圆外一点能够引圆的两条切线，两切线长相等，长
圆心与这一点的连线均分两条切线的夹角.
重点点拨及对应举例
判断点与圆之间的地点关系，将该
点的圆心距与半径作比较即可 .
因为圆是轴对称和中心对称图形，
因此对于圆的地点或计算题中经常
出现分类议论多解的状况 .
例：已知：⊙ O 的半径为 2，圆心到直线 l 的距离为 1，将直线l 沿垂直于 l 的方向平移，使l 与⊙ O 相切，则平移的距离是1或3.
切线判断常用的证明方法：①知道
直线和圆有公共点时，连半径，证
垂直；②不知道直线与圆有没有公
共点时，作垂直，证垂线段等于半
径.
利用切线的性质解决问题时，往常
连过切点的半径，利用直角三角形
的性质来解决问题 . 例：如图，
AB 、AC 、
DB 是⊙ O 的切线，
P、C、 D 为切点，假
如 AB=5 ，AC=3 ，则
BD 的长为 2.
知识点四：三角形与圆
图形
5.三角
形的外
接圆
6.三角
形的内
切圆有关观点圆心确实内、外心的性内切圆半径与三角形边的关系：
定质（1）随意三角形的内切圆（如图a），设经过三角形各定点的三角形三到三角形的三角形的周长为 C，则 S△ ABC=1/2Cr.
圆叫做三角形的外接条垂直平三个极点的（2）直角三角形的内切圆（如图b）圆，外接圆的圆心叫做分线的交距离相等①若从切线长定理推导，可得
三角形的外心，这个三点r=1/2(a+b+c); 若从面积推导，则可得r=. 角形叫做圆的内接三这两种结论可在做选择题和填空题时直
角形策应用 .
与三角形各边都相到三角形到三角形的
切的圆叫三角形的三条三条边
内切圆，内切圆的角平的距离
圆心叫做三角形的分线相等
例：已知△ ABC 的三边长 a=3，b=4 ，c=5，心里，这个三角形叫的交
圆的外切三角形点则它的外切圆半径是 2.5.
【章节典例分析】
【例题 1】O 为圆心，作半径为2 的圆，若直线 y=﹣x b 与⊙ O 订交，（2017 广西百色）以坐标原点+
则 b 的取值范围是（）
A ．0≤ b＜ 2B．﹣ 2 C．﹣ 2 2 D．﹣ 2 ＜b＜2
【考点】 MB ：直线与圆的地点关系；F7：一次函数图象与系数的关系．
【剖析】求出直线 y=﹣x+b 与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时 b 的值，则订交时 b 的值在相切时的两个 b 的值之间．
【解答】解：当直线y=﹣x+b 与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在 y=﹣x+b 中，令 x=0 时， y=b，则与 y 轴的交点是（ 0， b），
当y=0 时， x=b，则A 的交点是（b，0），
则 OA=OB ，即△ OAB 是等腰直角三角形．
连结圆心O 和切点C．则OC=2．
则 OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x +b 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣ x+b 与⊙ O 订交，则 b 的取值范围是﹣ 2 ＜b＜2 ．
（ 2017 日照）
【例题 2】如图， AB 是⊙ O 的直径， PA 切⊙ O 于点 A ，连结 PO 并延伸交⊙ O 于点 C，连结 AC ，AB=10 ，∠ P=30°，则 AC 的长度是（）
A．B．C．5 D．
【考点】 MC ：切线的性质．
【剖析】过点 D 作 OD⊥AC 于点 D，由已知条件和圆的性质易求
OD 的长，再依据勾股定理即可求出AD 的长，从而可求出AC 的长．
【解答】解：
过点 D 作 OD⊥AC 于点 D，
∵AB 是⊙ O 的直径， PA 切⊙ O 于点 A，
∴AB ⊥AP，
∴∠ BAP=90°，
∵∠ P=30°，
∴∠ AOP=60°，
∴∠ AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠ OAD=30°，
∵AB=10 ，
∴OA=5，
∴OD= ，
∴AD==，
∴AC=2AD=5，
应选 A．
【例题 3】 2017 浙江湖州
）如图，已知∠ AOB=30° ，在射线 OA 上取点 O 1，以 O 1 为圆心的圆
（
与 OB 相切；在射线 O 1 O 2，以 O 2 为圆心， O 2 1 为半径的圆与 OB 相切；在射线 O 2
A 上取点 O
A 上取点 O 3，以 O 3 为圆心， O 3 2 为半径的圆与 O
B 相切； ；在射线 O 9 上取点
O 10，以 O 10 为圆心， O 10 9 为
O
A
O
半径的圆与 OB 相切．若⊙ O 1 的半径为 1，则⊙ O 10 的半径长是 29
．
【考点】 MC ：切线的性质．
【剖析】作 O 1 C 、O 2D 、 O 3E 分别⊥ OB ，易找出圆半径的规律，即可解题．
【解答】解：作 O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥ OB ，
∵∠ AOB=30° ，
∴OO 1=2CO 1，OO 2=2DO 2， OO 3 =2EO 3，
∵O 1O 2=DO 2，O 2O 3=EO 3，
∴圆的半径呈 2 倍递加，
∴⊙ O n 的半径为 2n ﹣ 1
CO 1，
∵⊙ O 1 的半径为 1，
∴⊙ O 10 的半径长 =29
，
故答案为 29．
【例题 4】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交 AC 于点 E，AC 的反向延伸线交⊙ O 于点 F．
（1）求证： DE⊥AC ；
（2）若 DE+EA=8，⊙ O 的半径为 10，求 AF 的长度．
【剖析】（1）欲证明 DE⊥ AC ，只要推知 OD∥ AC 即可；
（2）如图，过点 O 作 OH⊥ AF 于点 H，建立矩形 ODEH ，设 AH=x ．则由矩形的性质推知： AE=10﹣x，
2 2 2
的长度，联合 OH⊥AF ，获得 AF=2AH=2 × 8=16．
【解答】（1）证明：∵ OB=OD，
∴∠ ABC= ∠ODB ，
∵AB=AC ，
∴∠ ABC= ∠ACB ，
∴∠ ODB= ∠ACB ，
∴OD∥AC．
∵DE 是⊙ O 的切线， OD 是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，过点 O 作 OH⊥ AF 于点 H，则∠ ODE=∠DEH= ∠OHE=90°，
∴四边形 ODEH 是矩形，
∴OD=EH， OH=DE．
设 AH=x ．
∵DE+AE=8， OD=10，
∴AE=10﹣x，OH=DE=8 ﹣（ 10﹣x ）=x﹣ 2．
在 Rt△ AOH 中，由勾股定理知： AH 2+OH2=OA 2，即 x2+（x﹣2）2=102，
解得 x1 =8，x2=﹣6（不合题意，舍
去）．∴AH=8 ．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH= AF ，
∴AF=2AH=2 × 8=16．
【评论】此题考察了切线的性质，勾股定理，矩形的判断与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档
题．
【例题 5】
的（2017 呼和浩特）如图，点 A ，B，C， D 是直径为 AB 的⊙ O 上的四个点， C 是劣弧
中点， AC 与 BD 交于点 E．
（1）求证： DC2=CE?AC；
（2）若 AE=2，EC=1，求证：△ AOD 是正三角形；
（3）在（ 2）的条件下，过点 C 作⊙ O 的切线，交 AB 的延伸线于点 H，求△ ACH 的面积．
【考点】 MR ：圆的综合题．
【剖析】（1）由圆周角定理得出∠ DAC= ∠CDB ，证明△ ACD ∽△ DCE，得出对应边成比率，即可得
出结论；
（2）求出 DC=，连结OC、OD，如下图：证出BC=DC= 勾股定理得出 AB==2，得出OB=OC=OD=DC=BC= ，由圆周角定理得出∠ ACB=90°，由，证出△ OCD、△OBC 是正三角
形，
得出∠ COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠ AOD=60°，即可得出结论；
（3）由切线的性质得出 OC⊥CH，求出∠ H=30°，证出∠ H=∠ BAC ，得出 AC=CH=3 ，求出 AH 和高，由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵ C 是劣弧的中点，
∴∠ DAC= ∠CDB ，
∵∠ ACD= ∠DCE，
∴△ ACD ∽△ DCE，
∴= ，
∴DC2=CE?AC；
（2）证明：∵ AE=2， EC=1，
∴AC=3，
∴DC2 ×，=CE?AC=1 3=3
∴DC= ，
连结 OC、 OD，如下图：
∵C 是劣弧的中点，
∴OC 均分∠ DOB， BC=DC= ，
∵AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ ACB=90°，
∴AB= =2 ，
∴OB=OC=OD=DC=BC=，
∴△ OCD、△ OBC 是正三角形，
∴∠ COD=∠BOC=∠ OBC=60°，
∴∠ AOD=180° ﹣ 2×60°=60°，
∵OA=OD ，
∴△ AOD 是正三角形；
（3）解：∵ CH 是⊙ O 的切线，∴ OC⊥CH，∵∠ COH=60°，
∴∠ H=30°，
∵∠ BAC=90° ﹣ 60°=30°，
∴∠H=∠BAC ，
∴AC=CH=3 ，
∵AH=3 ，AH 上的高为BC?sin60°= ，
∴△ ACH 的面积 = ×3 ×= ．
【章节典型习题】
1.（ 2017 山东泰安）如图，圆内接四边形 ABCD 的边 AB 过圆心 O，过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点 M ，若∠ ABC=55°，则∠ ACD 等于（）
A ．20°B．35°C．40°D． 55°
2.（ 2017 齐齐哈尔）如图， AC 是⊙ O 的切线，切点为 C，BC 是⊙ O 的直径， AB 交⊙ O 于点 D，连结OD，若∠ A=50°，则∠ COD 的度数为80° ．
3.（ 2017 江苏徐州）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB= 60 °．
4.（ 2017?宁德）如图， BF 为⊙ O 的直径，直线 AC 交⊙ O 于 A ， B 两点，点 D 在⊙ O 上， BD 均分∠OBC， DE⊥ AC 于点 E．
（1）求证：直线 DE 是⊙ O 的切线；
（2）若 BF=10， sin∠ BDE=，求DE的长．
5. （ 2016 ·江西·8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是弦AC 上一动点（不与 A ，C 重合），过点P 作PE⊥ AB ，垂足为E，射线EP 交于点F，交过点 C 的切线于点D．
（1）求证： DC=DP ；
（ 2）若∠ CAB=30°，当 F 是的中点时，判断以 A ， O， C，F 为极点的四边形是什么特别四边形？说明原因．
6.（ 2017?益阳）如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点， D 在 AB 的延伸线上，且∠ BCD=∠ A ．（1）求证： CD 是⊙ O 的切线；
（2）若⊙ O 的半径为 3，CD=4，求 BD 的长．
7.（ 2017 内江）如图，在⊙ O 中，直径 CD 垂直于可是圆心 O 的弦 AB ，垂足为点 N，连结 AC ，点 E 在 AB 上，且 AE=CE
（1）求证： AC 2=AE?AB；
（2）过点 B 作⊙ O 的切线交 EC 的延伸线于点 P，试判断 PB 与 PE 能否相等，并说明原因；
（3）设⊙ O 半径为 4，点 N 为 OC 中点，点 Q 在⊙ O 上，求线段 PQ 的最小值．
【章节典型习题】参照答案
1.（ 2017 山东泰安）如图，圆内接四边形 ABCD 的边 AB 过圆心 O，过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点 M ，若∠ ABC=55°，则∠ ACD 等于（）
A ．20°B．35°C．40°D． 55°
【考点】 MC ：切线的性质； M6 ：圆内接四边形的性质．
【剖析】由圆内接四边形的性质求出∠ ADC=180° ﹣∠ ABC=125°，由圆周角定理求出∠ ACB=90°，得出∠ BAC=35°，由弦切角定理得出∠ MCA= ∠ ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠ DCM= ∠ ADC ﹣∠AMC=35°，即可求出∠ ACD 的度数．
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD 的边 AB 过圆心 O，
∴∠ ADC +∠ABC=180°，∠ ACB=90°，
∴∠ ADC=180° ﹣∠ ABC=125°，∠ BAC=90° ﹣∠ ABC=35°，
∵过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点M ，
∴∠ MCA= ∠ABC=55°，∠ AMC=90°，
∵∠ ADC= ∠AMC +∠DCM ，
∴∠ DCM= ∠ADC ﹣∠ AMC=35°，
∴∠ ACD= ∠MCA ﹣∠ DCM=55° ﹣35°=20°；
应选： A．
2.（ 2017 齐齐哈尔）如图， AC 是⊙ O 的切线，切点为 C，BC 是⊙ O 的直径， AB 交⊙ O 于点 D，连结OD，若∠ A=50°，则∠ COD 的度数为80° ．
【考点】 MC ：切线的性质．
【剖析】依据切线的性质得出∠C=90°，再由已知得出∠ ABC ，由外角的性质得出∠COD 的度数．
【解答】解：∵ AC 是⊙ O 的切线，
∴∠ C=90°，
∵∠ A=50°，
∴∠ B=40°，
∵OB=OD，
∴∠ B=∠ODB=40°，
∴∠ COD=2× 40°=80°，
故答案为 80°．
3.（ 2017 江苏徐州）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB= 60 °．
【考点】 MC ：切线的性质．
【剖析】由垂径定理易得 BD=1，经过解直角三角形 ABD 获得∠ A=30°，而后由切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质能够求得∠ AOB 的度数．【解答】解：∵ OA ⊥BC，BC=2，
∴依据垂径定理得： BD= BC=1．
在 Rt△ ABD 中， sin∠A= = ．
∴∠ A=30°．
∵AB 与⊙ O 相切于点 B，
∴∠ ABO=90° ．
∴∠ AOB=60° ．
故答案是： 60．
4. （2017?宁德）如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD均分∠
OBC， DE⊥ AC 于点 E．
（1）求证：直线 DE 是⊙ O 的切线；
（2）若 BF=10， sin∠ BDE=，求DE的长．
【考点】 ME ：切线的判断与性质； T7：解直角三角形．
【剖析】（1）先连结 OD，依据∠ ODB=∠ DBE，即可获得 OD∥AC ，再依据 DE⊥ AC ，可得 OD⊥DE，从而得出直线 DE 是⊙ O 的切线；
（2）先连结 DF，依据题意获得∠ F=∠ BDE，在 Rt△BDF 中，依据=sinF=sin∠BDE= 在 Rt△ BDE 中，依据 sin∠BDE= =，可得BE=2，最后依照勾股定理即可获得
，可得 BD=2
DE 的长．
，
【解答】解：（1）如下图，连结OD，∵OD=OB，
∴∠ ODB= ∠OBD ，
∵BD 均分∠ OBC，
∴∠ OBD= ∠DBE ，
∴∠ ODB= ∠DBE ，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD 是⊙ O 的半径，
∴直线 DE 是⊙ O 的切线；
（2）如图，连结 DF，
∵BF 是⊙ O 的直径，
∴∠ FDB=90°，
∴∠ F+∠OBD=90°，
∵∠ OBD= ∠DBE ，∠ BDE+∠DBE=90°，
∴∠F=∠BDE，
在 Rt△ BDF 中，=sinF=sin∠ BDE=，
∴BD=10×=2，
∴在 Rt △BDE 中， sin∠BDE==，
∴BE=2×=2，
∴在 Rt △BDE 中， DE===4．
【评论】此题主要考察了切线的判断以及解直角三角形的运用，解决问题的重点是作协助线，结构等腰
三角形以及直角三角形，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
5. （2016·江西·8分）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为 E，射线 EP 交于点F，交过点 C 的切线于点 D ．
（1）求证： DC=DP ；
（ 2）若∠ CAB=30°，当 F 是的中点时，判断以 A ， O， C，F 为极点的四边形是什么特别四边形？说明原因．
【考点】切线的性质；垂径定理．
【剖析】（ 1）连结 BC 、 OC，利用圆周角定理和切线的性质可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠ DPC=∠ B，等量代换可得∠ DPC= ∠ ACD ，可证得结论；
（ 2）由∠ CAB=30°易得△OBC 为等边三角形，可得∠AOC=120° ，由F是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF ，易得以 A ，O， C， F 为极点的四边形是菱形．
【解答】（ 1）证明：连结BC 、 OC，
∵AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ OCD=90°，
∴∠ OCA+ ∠OCB=90°，
∵∠ OCA= ∠OAC ，∠ B=
∠OCB ，∴∠ OAC+ ∠B=90°，
∵CD 为切线，
∴∠ OCD=90°，
∴∠ OCA+ ∠ACD=90°，
∴∠ B=∠ACD ，
∵PE⊥ AB ，
∴∠ APE= ∠ DPC= ∠ B ，
∴∠ DPC= ∠ ACD ，
∴AP=DC ；
（2）解：以 A ， O， C， F 为极点的四边形是菱
形；∵∠ CAB=30°，∴∠ B=60°，
∴△ OBC 为等边三角形，
∴∠ AOC=120°，
连结 OF， AF，
∵F 是的中点，
∴∠ AOF= ∠ COF=60°，
∴△ AOF 与△COF 均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF ，
∴四边形 OACF 为菱形．
6.（ 2017?益阳）如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点， D 在 AB 的延伸线上，且∠ BCD=∠ A ．（1）求证： CD 是⊙ O 的切线；
（2）若⊙ O 的半径为 3，CD=4，求 BD 的长．
【考点】 ME ：切线的判断与性质．
【剖析】（1）连结 OC，由 AB 是⊙ O 的直径可得出∠ ACB=90°，即∠ ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质联合∠ BCD= ∠A ，即可得出∠ OCD=90°，即 CD 是⊙ O 的切线；
（2）在 Rt△OCD 中，由勾股定理可求出OD 的值，从而可得出BD 的长．
【解答】（1）证明：如图，连结OC．
∵AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点，
∴∠ ACB=90°，即∠ ACO+∠OCB=90° ．
∵OA=OC，∠ BCD=∠ A ，
∴∠ ACO= ∠A= ∠BCD ，
∴∠ BCD+∠OCB=90°，即∠ OCD=90°，
∴CD 是⊙ O 的切线．
（2）解：在 Rt△ OCD 中，∠ OCD=90°，OC=3，CD=4，
∴OD==5，
∴BD=OD ﹣ OB=5﹣3=2．
【评论】此题考察了切线的判断与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的重点是：（ 1）经过角的计算找出∠ OCD=90°；（ 2）依据勾股定理求出 OD 的长度．
7.（ 2017 内江）如图，在⊙ O 中，直径 CD 垂直于可是圆心 O 的弦 AB ，垂足为点 N，连结 AC ，点 E 在 AB 上，且 AE=CE
（1）求证： AC 2=AE?AB；
（2）过点 B 作⊙ O 的切线交 EC 的延伸线于点 P，试判断 PB 与 PE 能否相等，并说明原因；
（3）设⊙ O 半径为 4，点 N 为 OC 中点，点 Q 在⊙ O 上，求线段 PQ 的最小值．
【考点】 MR ：圆的综合题．
【剖析】（1）证明△ AEC ∽△ ACB ，列比率式可得结论；
（2）如图 2，证明∠ PEB=∠COB=∠PBN，依据等角平等边可得：PB=PE；
（3）如图 3，先确立线段 PQ 的最小值时 Q 的地点：因为 OQ 为半径，是定值 4，则 PQ+OQ 的值最小时，PQ 最小，当 P、 Q、O 三点共线时， PQ 最小，先求 AE 的长，从而得 PB 的长，最后利用勾股定理
求 OP 的长，与半径的差就是 PQ 的最小
值．【解答】证明：（1）如图 1，连结 BC，
∵CD 为⊙ O 的直径， AB
⊥CD，∴ = ，
∴∠A= ∠ABC ，
∵EC=AE，
∴∠A= ∠ACE，
∴∠ ABC= ∠ACE ，
∵∠A=∠A，
∴△ AEC ∽△ ACB ，
∴，
∴AC 2=AE?AB；
（2）PB=PE，原因是：
如图 2，连结 OB，
∵PB 为⊙ O 的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠ OBP=90°，
∴∠ PBN+∠ OBN=90°，
∵∠ OBN+∠COB=90°，
∴∠ PBN=∠ COB，
∵∠ PEB=∠ A+∠ ACE=2∠A ，∠COB=2∠A，
∴∠ PEB=∠ COB，
∴∠ PEB=∠ PBN，
∴PB=PE；
（3）如图 3，∵ N 为 OC 的中点，∴ON= OC= OB，
Rt△OBN 中，∠ OBN=30°，
∴∠ COB=60°，
∵OC=OB，
∴△ OCB 为等边三角形，
∵Q 为⊙ O 随意一点，
连结 PQ、 OQ，
因为 OQ 为半径，是定值4，
则 PQ+OQ 的值最小时， PQ 最小，当
P、Q、 O 三点共线时， PQ 最小，∴Q
为 OP 与⊙ O 的交点时， PQ 最小，
∠A= ∠COB=30°，
∴∠ PEB=2∠A=60°，
∠ABP=90°﹣30°=60°，
∴△ PBE 是等边三角形，
Rt△OBN 中， BN= =2 ，
∴AB=2BN=4，
设 AE=x ，则 CE=x， EN=2﹣x，
Rt△CNE 中， x2=22+（ 2﹣x）2，
x=，
∴BE=PB=4﹣=，
Rt△OPB 中， OP===，∴PQ=﹣4=．
则线段 PQ 的最小值是．。