专题一 相似三角形基本模型

专题一、相似三角形基本模型
经典模型
“平行旋转型”
图形梳理：
特殊情况：B 、'E 、'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
B
C
AEF 旋转到
AE‘F’
A
B
C
AEF 旋转到AE‘F’
C ，'E ，'F 共线
母子型
已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．
相似三角形常见的图形
1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、
AEF 旋转到AE‘F’C
B
A
A
B C
E
F
E'
F'AEF 旋转到
AE‘F’
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
B
(3)
D
B
(2)
D
“反A共角共边型”、“蝶型”）
（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”“三垂直型”）
(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

（5）母子型
已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．
2、几种基本图形的具体应用：
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；
（3）满足1、AC
2=AD·AB，2、∠ACD=∠
B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）当
AD AE
AC AB
或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．
B
E
A
C
D
1
2
A
B
C
D
E
1
2
A
A
B
B C C
D
D
E
E
1
2
4
1
2
B
B
C(D)
一、课前热身
1.如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 中点，BD 和CE 相交于点F ，如果DF=2， 那么线段BF 的长度为 ．
2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，∠ACD=∠B ，AC=2，AB=4，则AD= ．
3.如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 ．
4.如图，AC ⊥CD ，垂足为点C ，BD ⊥CD ，垂足为点D ，AB 与CD 交于点O ．若AC=1，BD=2，CD=4，则OC= ． 5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，AD=2cm ，DB=8cm ，则CD= cm ．
二、例题讲解
例1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：
OE OA OC ⋅=2
．
例2.如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED
例3.△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,0
120DAE =∠，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.
例4.如图所示，Rt △ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 在BC 上运动(不能到达点B ，C )，过点
D 作∠AD
E ＝45°，DE 交AC 于点E .
(1)求证：△ABD ∽△DCE ；
(2)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
例5．如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝3 cm ，BC ＝6 cm.某一时刻， 动点M 从A 点出发沿AB 方向以1 cm/s 的速 度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点 出发沿DA 方向以2 cm/s 的速度向A 点匀速运动，问： (1)经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的1
9
？
(2)是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
例6.（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.
①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；
②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的自变量取值范围；
（2）正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.
例7.已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．
（1）如图8
，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． A
B C
备用图
A
B
C D
A
B C
D
A
B C
P
Q
A
B
C
备用图
A
B
C
D
C
三、课后练习
1.已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2
．
2.如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2
．
3.如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

C
4.已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．
求证：（1）△ABE ∽△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．
5.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD
（2）当BD =1，FC =3时，求BE
6.如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且
C ADE ∠=∠．
(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x
的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
C
C
A
D
B
E
F
A
B
C
D
E
A
B
A
B
四、能力提升
1.如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，
并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
2.在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =
(2)、当m DB
AD
=，求DF DE 的值
（3）、当2
1
,
6===DB AD BC AC ，设y BF x AE ==,,求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域
B
C
3.如图，已知AD 是△ABC 的中线，M 是边AC 上的一动点，=CM nAM ，BM 交AD 于N 点。

⑴ 如图①，若1n =，则
=AN ND 。

如图②，若2n =，则=AN
ND 。

如图③，若3n =，则=AN
ND。

⑵ 猜想，AN
ND
与n 存在怎样的关系？并证明你的结论。

⑶ 当n = 时，恰有AN CM
ND AM
=。