2019年广东省汕尾市海湾中学中考数学专题模拟试卷(含解析)

2019年广东省汕尾市海湾中学中考数学专题模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如果a与﹣2互为倒数，那么a是（）
A．﹣2B．﹣C．D．2
2．下列计算正确的是（）
A．b2•b3＝b6B．（﹣a2）3＝a6
C．（ab）2＝ab2D．（﹣a）6÷（﹣a）3＝﹣a3
3．下列图案中是轴对称图形的是（）
A．2008年北京B．2004年雅典
C．1988年汉城D．1980年莫斯科
4．一次函数y＝2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（）A．y＝2x﹣3B．y＝2x+2C．y＝2x+1D．y＝2x
5．下列说法正确的是（）
A．为了检验一批零件的质量，从中抽取10件，在这个问题中，10是抽取的样本
B．如果x1、x2、…、x n的平均数是，那么样本（x1﹣）+（x1﹣）+…+（x n﹣）＝0
C．8，9，10，11，11这组数的众数是2
D．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
6．数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）
A．﹣1B．1﹣C．2﹣D．﹣2
7．如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是（）
A．B．C．D．
8．一种商品每件进价为a元，按进价增加25%定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利（）
A．0.125a元B．0.15a元C．0.25a元D．1.25a元
9．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖、参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）
A．B．C．D．
10．如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，如图所示的图象中最符合故事情景的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．9的算术平方根是．
12．分解因式：x3﹣4x＝．
13．如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆P A与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB＝4cm，
AB＝5cm，⊙O的半径R＝4.5cm，此时P点到圆心O的距离是cm．
14．有一个直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D＝120°，则该零件另一腰AB的长为cm．（结果不取近似值）
15．已知反比例函数y＝，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为．（写出满足条件的一个k的值即可）．
16如图所示，用两块大小相同的等腰直角三角形纸片做拼图游戏，则下列图形：①平行四边形（不包括矩形、菱形、正方形）；②矩形（不包括正方形）；③正方形；④等边三角形；⑤等腰直角三角形，其中一定能拼成的图形有（只填序号）．
17．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是米．
18．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
根据前面各式的规律可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝（其中n为正整数）．
三、解答题（每题6分，共24分）
19．解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
20．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是度．
21．温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗？如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度（℃），右边的刻度是华氏温度（℉），设摄氏温度为x（℃），华氏温度为y（℉），则y是x的一次函数．
（1）仔细观察图中数据，试求出y与x之间的函数表达式；
（2）当摄氏温度为零下15℃时，求华氏温度为多少？
22．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子．
（1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；
（2）在吃粽子之前，小明准备用一个均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3，4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．
四、解答题（共72分）
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E 点．
求证：（1）F是BC的中点；
（2）∠A＝∠GEF．
24．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．
25．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．
26．下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…方程组n．
（1）将方程组1的解填入图中；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中；
（3）若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？27．如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格．将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n﹣1）×（n﹣1）的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止．
请你认真观察思考后回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2．
①当n＝2时，求S1：S2的值；
②是否存在使得S1＝S2的n值，若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．
28．如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x
轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t1，t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．
29．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【解答】解：∵a与﹣2互为倒数，
∴a是﹣．
故选：B．
2．【解答】解：A、应为b2•b3＝b5，故本选项错误；
B、应为（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项错误；
C、应为（ab）2＝a2b2，故本选项错误；
D、（﹣a）6÷（﹣a）3＝（﹣a）6﹣3＝﹣a3，正确．
故选：D．
3．【解答】解：结合定义可得，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
故选：D．
4．【解答】解：原直线的k＝2，b＝3；向下平移2个单位长度得到了新直线，那么新直线的k＝2，b＝3﹣2＝1．
∴新直线的解析式为y＝2x+1．
故选：C．
5．【解答】解：A、10只是样本容量，10件零件的质量才是样本，故A选项错误；
B、等式只要把括号去掉就是这n个数的和与平均数的n倍的差等于0，故B选项正确；
C、这组数中出现次数最多的数是11，即它的众数是11，故C选项错误；
D、一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，故D选项错误．
故选：B．
6．【解答】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，
∴AB＝﹣1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB．
∴点C的坐标为：1﹣（﹣1）＝2﹣．
故选：C．
7．【解答】解：一次性纸杯的口径大于底面直径，从上面看到的是两个同心圆．
故选：C．
8．【解答】解：依题意可得，a×（1+25%）×0.9﹣a＝0.125a元．故选A．
9．【解答】解：因为20个商标有5个中奖，翻了两个都中奖，所以还剩18个，其中还有3个会中奖，所以这位观众第三次翻牌获奖的概率是．
故选：B．
10．【解答】解：∵乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，
∴排除C，
∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，
∴排除A，
∵乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，
∴排除B，
∴D正确．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是|±3|＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
13．【解答】解：连接PO交圆于C，并延长PO交圆于D；
∵PB＝4cm，AB＝5cm，
∴P A＝9cm；
由割线定理，得：PB•P A＝PC•PD；
设点P到圆心的距离是xcm，则有：
（x﹣4.5）（x+4.5）＝36，
解得x＝7.5cm．故P到O点的距离为7.5cm．
14．【解答】解：过点D作DE⊥BC交BC于点E，则DE＝AB，∠EDC＝120﹣90°＝30°，∵DE＝CD•cos30°＝10×＝5cm，
∴AB＝5cm．
15．【解答】解：∵反比例函数y＝，其图象在第一、第三象限内，
∴k﹣2＞0，
即k＞2，k的值可为3（答案不唯一，只要符合k＞2即可）．
16．【解答】解：可以拼成平行四边形，正方形，等腰直角三角形．所以填1，3，5．17．【解答】解：把y＝3.05代入y＝中得：
x1＝1.5，x2＝﹣1.5（舍去），
∴l＝1.5+2.5＝4米．
故答案为：4
18．【解答】解：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…x+1）＝x n+1﹣1．
故答案为：x n+1﹣1．
三、解答题（每题6分，共24分）
19．【解答】解：x2﹣4x﹣12＝0，
分解因式得：（x﹣6）（x+2）＝0，
∴x﹣6＝0，x+2＝0，
解方程得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴原方程的解是x1＝6，x2＝﹣2．
20．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠2，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠2；
又∵AB∥CD，
∴∠1+2∠2＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝65°．
故答案为：65．
21．【解答】解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b，
由温度计的示数得x＝0，y＝32；x＝20时，y＝68．
将其代入y＝kx+b，得（任选其它两对对应值也可）．
解得．所以y＝x+32；
（2）当摄氏温度为零下15℃时，即x＝﹣15，
将其代入y＝x+32，得y＝×（﹣15）+32＝5．
所以当摄氏温度为零下15℃时，华氏温度为5°F．
22．【解答】解：（1）
∴P（两只都为红枣馅）＝；（3分）
（2）这样模拟不正确（4分）
理由如下：连续两次掷骰子点数朝上的情况有（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共16种，而满足条件的情况有4种（5分）
∴P（点数3，4向上）＝（6分）
∴这样模拟不正确．（7分）
四、解答题（共72分）
23．【解答】证明一：
（1）连接DF，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴BD＝DC＝AB，（2分）
∵DC是⊙O的直径，
∴DF⊥BC，（4分）
∴BF＝FC，即F是BC的中点；（5分）
（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，
∴DF∥AC，（6分）
∴∠A＝∠BDF，（7分）
∵∠BDF＝∠GEF（圆周角定理），（8分）
∴∠A＝∠GEF．（9分）
证明二：
（1）连接DF，DE，
∵DC是⊙O直径，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°．（1分）
∵∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
∴EF＝CD，DF＝EC．（2分）
∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴EF＝CD＝BD＝AB．（3分）
∴△DBF≌△EFC．（4分）
∴BF＝FC，即F是BC的中点．（5分）
（2）∵△DBF≌△EFC，
∴∠BDF＝∠FEC，∠B＝∠EFC．（6分）
∵∠ACB＝90°（也可证AB∥EF，得∠A＝∠FEC），∴∠A＝∠FEC．（7分）
∵∠FEG＝∠BDF（同弧所对的圆周角相等），（8分）
∴∠A＝∠GEF．（9分）
（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）
24．【解答】解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°，
∴AC＝2AB，DB＝AB．
设AB＝x，则BD＝x，AC＝2x，CB＝50+x，
∵tan∠ACB＝tan30°，
∴AB＝CB•tan∠ACB＝CB•tan30°．
∴x＝（50+x）•．
解得：x＝25（1+），
∴AC＝50（1+）（米）．
答：缆绳AC的长为50（1+）米．
25．【解答】解：（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2
连接OA，OA2，，
点A旋转到A2所经过的路线长为．
26．【解答】解：（1），
用（1）+（2），得2x＝2，
∴x＝1，
把x＝1代入（1），得y＝0，
∴；
（2），
；
（3）由题意，得10+9m＝16，
解得m＝，
该方程组为，它不符合（2）中的规律．
27．【解答】解：（1）根据题意，可得应盖住正方形ABCD的对角线上的12个格．当是边长为2的纸片时，则需要1+（12﹣2）＝11张纸片．当边长为3的时候，则需要1+（12﹣3）＝10张纸片．当边长为n+4时，则需要1+（12﹣4）＝9张纸片，依此类推进行计算；
（2）第一个面积为n2，第二个为一个包边，共有12﹣n个，每个由2n﹣1个小正方形构成，包边的总面积为（12﹣n）×（2n﹣1）
∴①S1＝10×3+4＝34，S2＝144﹣34＝110．
∴S1：S2的值是34：110＝17：55．
②根据题意，得S1＝（12﹣n）×（2n﹣1）+n2；S2＝144﹣（12﹣n）×（2n﹣1）﹣n2，
若S1＝S2时，（12﹣n）×（2n﹣1）+n2＝144﹣（12﹣n）×（2n﹣1）﹣n2，
整理得，则n＝4或21．
∵2≤n≤11，
∴n＝21舍去，
故n＝4．
28．【解答】解：（1）S梯形OPFE＝（OP+EF）•OE＝（25+27）×1＝26．
设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y，
则y＝（28﹣3t+28﹣t）t＝﹣2t2+28t＝﹣2（t﹣7）2+98，
所以当t＝7秒时，梯形OPFE的面积最大，最大面积为98；
（2）当S梯形OPFE＝S△APF时，
﹣2t2+28t＝，解得t1＝8，t2＝0（舍去）．
当t＝8秒时，FP＝8；
（3）由，
且∠OAB＝∠OAB，
可证得△AF1P1∽△AF2P2．
29．【解答】解：（1）连接PC．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP＝PB，CP⊥AB，∠ACP＝∠ACB＝45°．
∴∠ACP＝∠B＝45°．
又∵∠DPC+∠CPE＝∠BPE+∠CPE＝90°，
∴∠DPC＝∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD＝PE；
（2）共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE＝0时，PE＝PB；
②CE＝2﹣，此时PB＝BE；
③当CE＝1时，此时PE＝BE；
④当E在CB的延长线上，且CE＝2+时，此时PB＝EB；
（3）MD：ME＝1：3．
过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．
∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四边形CFMH是平行四边形．
∵∠C＝90°，
∴▱CFMH是矩形．
∴∠FMH＝90°，MF＝CH．
∵，HB＝MH，
∴．
∵∠DMF+∠DMH＝∠DMH+∠EMH＝90°，
∴∠DMF＝∠EMH．
∵∠MFD＝∠MHE＝90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴．。