高中数学人教A版选修4-4课件：1-3简单曲线的极坐标方程(1)

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【做一做 1-2】 在极坐标系中,极点为 O ,求圆心为 ������ 8,
π 3
, 半径为
5 的圆的方程. 解 :在圆上任取一点 P(ρ,θ),连接 OP,PA , π π 则在 △AOP 中 ,|OA|=8,|AP|=5,∠AOP= − ������或∠AOP=θ− .
由余弦定理得 cos∠AOP= 即 ρ2-16ρ cos ������ρ2-16ρ cos ������π 3 π 3
82 +������ 2 -52 2×8× ������
3
3
,
+ 39 = 0.
故所求圆的极坐标方程为 + 39 = 0.
名师点拨求平面曲线的极坐标方程,就是要找极径ρ和极角θ之间 的关系,常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形 的面积相等等来建立ρ,θ之间的关系.
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2.求极坐标方程的步骤 剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似, 就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲 线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极 坐标方程,具体如下: (1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点. (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和 极角θ之间的关系式. (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程. (4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确, 化简过程都是同解变形,证明可以省略.
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3.常见的直线和圆的极坐标方程 剖析(1)直线的极坐标方程(a>0). ①过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α(ρ∈R)或 θ=α+π(ρ∈R); ②垂直于极轴且和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:ρcos θ=a; ③平行于极轴且和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:ρsin θ=±a; ④不经过极点,和极轴成α角,与极点间的距离为a的直线的极坐 标方程:ρsin(α-θ)=a.
ρ=2sin θ=2cos ������π 2
表示圆心为 1,
π 2
, 半径为1 的圆.
答案:一条直线和一个圆 (2)若ρ<0,则-ρ>0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.
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3 1
)
A.两条相交直线 C.一条直线 答案:A
B.两条射线 D.一条射线
π 2
【做一做 2-2】 曲线 θ=0,θ= (������≥0)和 ρ= 4 所围成图形的面积 是
答案:4π
.
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【做一做2-3】 极坐标方程ρcos θ=sin 2θ所表示的曲线 是 . 解析:∵ρcos θ=sin 2θ=2sin θcos θ, ∴cos θ=0或ρ=2sin θ. cos θ=0表示一条直线,
1.直角坐标系与极坐标系的区别 剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的 方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只 看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲 线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程 不是一一对应的. (2)在直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可 是在极坐标系中,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如
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(2)若圆经过极点O,圆心坐标是C(a,0)(a>0),则圆的极坐标方程是 ρ=2acos θ . 【做一做1-1】 极坐标方程ρ=1表示( ) A.直线 B.射线 C.圆 D.椭圆 答案:C
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1.圆的极坐标方程 (1)曲线C的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上 任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合 方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐 标方程. 名师点拨1.由于平面内点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线 的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐 标有多个表示形式,这里要求至少有一个能满足极坐标方程.有些 表示形式可能不满足方程. 2.今后我们遇到的极坐标方程多是ρ=ρ(θ)的形式,即ρ为θ的一个 函数. 3.在极坐标系中,由点的对称性可得极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的 对称性:若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图 形关于过极点且垂直于极轴的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关 于极点对称.
三
简单曲线的极坐标方程
-1-
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1.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线,过极点或圆心 在极点的圆)的方程. 2.通过比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体 会用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.
给定曲线 ρ=θ,设点 P 的一个极坐标为
π π 4 4
,
, 那么点P 适合方程
π 9π 4
ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点 P 的另一个极坐标
,
4
就不适
合方程ρ=θ了.所以在极坐标系中,确定某一个点P是否在某一条曲 线C上,只需判断点P的极坐标中是否有一种形式适合曲线C的方程 即可.
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2.直线的极坐标方程 (1)直线l经过极点,从极轴Байду номын сангаас直线l的角是α,则直线l的极坐标方程 为θ=α或θ=α+π(ρ∈R).
【做一做 2-1】 极坐标方程 sin θ= (������ ∈R)表示的曲线是(