利用对称周期求函数解析式

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

利用函数对称性、奇偶性、周期性求函数解析式
1、 已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数,周期T =5,
函数y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x =2时,函数取得最小值,最小值为-5.
(1)证明:f (1)+f (4)=0;
(2)试求y =f (x ),x ∈[1,4]的解析式;
(3)试求y =f (x )在[4,9]上的解析式.
.(1)证明:∵y =f (x )是以5为周期的周期函数,∴f (4)=f (4-5)=f (-1),又y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (1)=-f (-1)=-f (4),∴f (1)+f (4)=0.
(2)解:当x ∈[1,4]时,由题意,可设f (x )=a (x -2)2-5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1-2)2-5+a (4-2)2-5=0,解得a =2,∴f (x )=2(x -2)2-5(1≤x ≤4).
(3)解:∵y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (0)=-f (-0),∴f (0)=0,又y =f (x ) (0≤x ≤1)是一次函数,∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1-2)2-5=-3,又f (1)=k ·1=k ,∴k =-3.∴当0≤x ≤1时,f (x ) =-3x ,当-1≤x <0时,f (x )=-3x ,当4≤x ≤6时,-1≤x -5≤1,∴f (x )=f (x -5)=
-3(x -5)=-3x +15, 当6<x ≤9时,1<x -5≤4,f (x )=f (x -5)=2[(x -5)-2]2-5=2(x -7)2-5.∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64(
1532x x x x .
2.已知函数()x f y =对任意实数x ,都有f(x +m)=-
)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.
1.证明:由已知f(x +2m)=f[(x +m)+m]
)(1)
(1)(11)(1)(11)(1)(1x f x f x f x f x f
m x f m x f -=+--+-+-=+++--= 于是f(x +4m)=-)
m 2x (f 1+=f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数. 3、已知是奇函数,当时,,求的解析式.
4、已知是偶函数,当时,,求的解析式.
5、已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称, 求的解析式。

6、设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称,若当x <1时,y =x 2+1,求当x >1时, ,f (x )的解析式.
7、设 , 求 关于直线对称的曲线的解析式.
8、已知函数
是偶函数,且x ∈(0,+∞)时有f (x )=x 1, 求当x ∈(-∞,-2)时, 求 的解析式.
9、已知函数是偶函数,当时,又的图象关于直线对称,求在的解析式. 定义在上的偶函数满足且当
时,.(1)求的单调区间;(2)求
的值. 10、定义在R 上的函数f (x )以4为周期,当x [-1,3]时,f (x )=|x -1|-1, 求当x [-16,-14]时f (x )的最小值。

11、设f (x )是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k ∈Z ,用表示区
间(2k -1,2k +1],已知x ∈I 0时,, 求f (x )在I k 上的解析式. 12、设
是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切∈R 均有,当<1时,求当时,函数的解析式。

13、 设f (x )是定义在(-∞,+∞)上以2为周期的周期函数,且f (x )是偶函数,当x ∈[2,3]时,f (x )=2(x -3)2+4. (1)求x ∈[1,2]时,f (x )的解析式. (2)若矩形ABCD 的两个项点A 、B 在x 轴上,C 、D 在函数y =f (x )有图像上(0≤x ≤2),求这个矩形面积的最大值.
14、设函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称,当)4(,1,12f x y x 则时+-=≤= ;当=>)(,1x f x 时 .
15、设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且)()2(x f x f -=+,又当11≤≤-x 时,
3)(x x f =,
(1)证明:直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴:(2)当]5,1[∈x
时,求)(x f 的解析式。

证(1)(1)f x f x +=- (2)(]
33(2),[1,3]()(4),3,5x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ 16、已知函数ƒ(x )的定义域为R ,且满足ƒ(x+2)=-ƒ(x );
①求证:ƒ(x )是周期函数;②设ƒ(x )为奇函数,且0≤x ≤1 时ƒ(x )=12x ,
求 ƒ(x )= -12 的所有x 之值
解、周期为4,在一个周期上的根为x=-1,则所有的根为x=4n-1;
(n ∈z)。

相关文档
最新文档