2019届高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何第一讲直线与圆教案8

第一讲 直线与圆
[考情分析]
直线与圆的方程系为高考命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多在选择题或填空题呈现.
[真题自检]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则
a ＝( )
A ．－43
B ．－34
C. 3
D ．2
解析：因为圆x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离
d ＝
|a ＋4－1|a 2＋1
＝1，解得a ＝－4
3.
答案：A
2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2
＋y 2
－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．
解析：圆C ：x 2
＋y 2
－2ay －2＝0化为标准方程为x 2
＋(y －a )2
＝a 2
＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2
＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，
由勾股定理 得⎝
⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22
＝4π. 答案：4π
直线与直线方程
[方法结论]
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式
(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2.
(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式
d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
4．与已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)平行的直线可改为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0. 5．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， 直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 当l 1⊥l 2时，有A 1A 2＋B 1B 2＝0，
当l 1∥l 2时，A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0.
[题组突破]
1．(2017·重庆一中检测)若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数
a 的值为( )
A.12
B.32
C.14
D.34
解析：由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝3
4，故选D.
答案：D
2．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：因为两条直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b
2
，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足
ab ＝4，但是两直线重合，故选C.
答案：C
3．经过直线l 1：2x －3y ＋2＝0与l 2：3x －4y －2＝0的交点，且平行于直线4x －2y ＋7＝0的直
线方程是( ) A ．x －2y ＋9＝0 B ．4x －2y ＋9＝0 C ．2x －y －18＝0
D ．x ＋2y ＋18＝0
解析：联立两条直线的方程得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －3y ＋2＝0
3x －4y －2＝0，解得x ＝14，y ＝10.所以l 1，l 2的交点坐标是
(14,10)．设与直线4x －2y ＋7＝0平行的直线方程为4x －2y ＋c ＝0(c ≠7)，因为4x －2y ＋c ＝0过l 1与l 2的交点(14,10)，所以c ＝－36，所以所求直线方程为4x －2y －36＝0，即2x －y －18＝0.故选C. 答案：C [误区警示]
1．求直线方程时易忽视斜率k 不存在情形．
2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形． 3．有关截距问题易忽视截距为零这一情形．
圆的方程
[方法结论]
1．圆的标准方程
当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，特别地，当圆心在原点时， 方程为x 2
＋y 2
＝r 2
. 2．圆的一般方程
x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2
＋E 2
－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E 2为圆心、D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．
[题组突破]
1．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2
＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0
D ．x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0
解析：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，由x ＋1＝0且x ＋y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5，即x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0. 答案：C
2．方程x 2
＋y 2
＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，0
C ．(－2,0)
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，23
解析：方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2
＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 2
4＞0，解得－2＜a ＜23.
答案：D
3．(2017·北京西城模拟)与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2
＋y 2
－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2
＝2 C ．(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝2
D ．(x －2)2
＋(y －2)2
＝2
解析：由题意知，曲线为(x －6)2
＋(y －6)2
＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2＋(y －2)2
＝2. 答案：D
4．一束光线从圆C 的圆心C (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C 1：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1上的最短路程刚好是圆C 的直径，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝4 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2
＝5 C ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝16
D ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝25
解析：圆C 1的圆心C 1的坐标为(2,3)，半径为r 1＝1.点C (－1,1)关于x 轴的对称点C ′的坐标为(－1，－1)．
因为C ′在反射线上，所以最短路程为|C ′C 1|－r 1，即[2－－2
＋[3－－
2
－1＝4.
故圆C 的半径为
r ＝12
×4＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，故选A.
答案：A [误区警示]
方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是D 2
＋E 2
－4F ＞0，易忽视这一点．
直线与圆的位置关系
[方法结论]
1．直线和圆的位置关系的判断方法
直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2
＋B 2
≠0)与圆：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r ＞0)的位置关系如表.
2.(1)弦长的计算：直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝2r 2
－d 2
(其中d 为弦心距)． (2)切线长的计算：过点P 向圆引切线PA ，则|PA |＝|PC |2
－r 2(其中C 为圆心)．
[典例](2017·常州模拟)如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为A ，B ，另一圆N 与圆M 相切，且与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为C ，D .
(1)求圆M 与圆N 的方程；
(2)过点B 作MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦长．
解析：(1)由于圆M 与∠BOA 的两边相切，故M 到OA ，OB 的距离相等，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且直线ON 为∠BOA 的平分线，因为M (3，1)，所以M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，所以圆M 的方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝1. 设圆N 的半径为r ，连接AM ，CN ，则Rt △OAM ∽Rt △OCN ，得OM ON ＝
MA NC ，即23＋r ＝1
r
，解得r ＝3， OC ＝33，所以圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.
(2)由对称性可知，所求弦长为过点A 的MN 的平行线被圆N 截得的弦长，此弦所在直线的方程为
y ＝
33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝|33－33－3|1＋3
＝3
2， 故弦长为2r 2
－d 2
＝33. [类题通法]
1．圆上的点到直线的距离的化归思想
(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解．(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解．(3)直接设点，利用方程思想解决． 2．数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点．
[演练冲关]
1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2
＋y 2
＝4与圆(x －2)2
＋(y －1)2
＝9的位置关系为( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交． 答案：B
2．圆x 2
＋y 2
－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( ) A ．30 B ．18 C ．6 2
D ．5 2
解析：由圆x 2
＋y 2
－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32＝22，故最大距
离与最小距离的差为6 2. 答案：C
3．已知圆M ：(x ＋1)2
＋y 2
＝1，圆N ：(x －1)2
＋y 2
＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心
P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .
(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠－2)．
(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2
＋y 2
＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.
若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R
r 1，可
求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k
2
＝1，解得k ＝±2
4
. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 2
4＋y
2
3＝1，
并整理得7x 2
＋8x －8＝0，
解得x 1,2＝－4±627.所以|AB |＝1＋k 2
|x 2－x 1|＝187
.
当k ＝－
24时，由图形的对称性可知|AB |＝187
. 综上，|AB |＝23或|AB |＝18
7
.
直线、圆与其他知识的交汇问题
高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线与圆和函数、不等式、平面向量、三角、数列及圆锥曲线等知识交汇，体现命题创新．
[典例] (2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2
＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －7 ≤0，x －y ＋3≥0，
y ≥0.
若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2
＋b 2
的最大值为( ) A ．5 B ．29 C ．37
D ．49
解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点
N (6,1)处时，
a 2＋
b 2取得最大值62＋12＝37，故选C.
答案：C [类题通法]
对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法．
[演练冲关]
1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2
＋y 2
＝r 2
(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若圆上一点C 满足OC →＝54OA →＋34OB →
，则r ＝( )
A ．210 B.10 C ．2 5
D. 5
解析：已知OC →＝54OA →＋34OB →，两边平方化简得OA →·OB →
＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos
∠AOB 2
＝
55，圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2
＝2，所以2r ＝5
5，解得r ＝10. 答案：B
2．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为( ) A ．－1或1 B ．0或－4
3
C ．1
D ．－1
解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2
)x 2
＋2kbx ＋b 2
－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2
－41＋k 2
，k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝(k ＋b x 1)(k ＋b x 2)＝k 2
＋kb (x 1＋x 2x 1x 2
)＋b 2x 1x 2＝k 2＋kb (－2kb b 2－4)＋b 2＋k 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4，由k OP ·k OQ ＝k 2
，得b 2－4k 2b 2－4
＝k 2，解得k ＝±1，故选A. 答案：A
3．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →
|的最大值是________．
解析：设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2
＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝
x －
2
＋y ＋3
2
的最大值为圆(x －3)2＋y 2
＝1上的动点到点(1，－3)距离的
最大值，其最大值为圆(x －3)2
＋y 2
＝1的圆心(3,0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即
－
2
＋＋3
2
＋1＝1＋7.
答案：1＋7。