(完整word)中考复习专题—圆综合

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中考复习专题（六）——圆综合专训
题型一:圆与直线
1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ,过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．
（1)求证：EF 是⊙O 的切线;
（2）如果∠A ＝60º，则DE 与DF 有何数量关系？请说明理由; （3）如果AB ＝5，BC ＝6，求tan ∠BAC 的值．
2. 如图，在Rt △ABC 中,∠C=90º，以AC 为直径作⊙O,交AB 于D ，过点O 作OE ∥AB ，交BC 于E 。

（1)求证，ED 为⊙O 的切线; （2）如果⊙O 的半径为
2
3
，ED=2，延长EO 交⊙O 于F ，连接DF 、AF 求△ADF 的面积. （第22题）
F
C
B
E
D
A O
O
A
D
E
B
C
3.（2012，兰州）如图，Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE 、OE ．
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2)若
tan C ＝错误!，DE ＝2，求AD 的长．
C
4.（2010兰州)如图，已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC，∠COB=2∠PCB。

（1）求证：PC是⊙O的切线;
（2）求证：
1
2
BC AB
；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.
5。

如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC,O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．EH= CD, （1）求证：OE∥AB；
(3）若BE=4BH，求（2）求证：AB是⊙O的切线；
2
3
的值．
6．已知△ABC 内接于⊙O ，BT 与⊙O 相切于点B ，点P 在直线AB 上，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ,交直线AC 于点F ．
（1）如图，当点P 在线段AB 上时，求证：PA ·PB ＝PE ·PF ； (2）当点P 在BA 延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由; (3）若AB ＝4 ，2，cos ∠EBA ＝ 错误! ,求⊙O
7．如图,AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，射线AM 、BN 为半圆O 的切线．在AM 上取一点D ，连接BD 交半圆于点C ,连接AC ．过O 点作BC 的垂线OE ，垂足为点E ，与BN 相交于点F ．过D 点作半圆O 的切线DP ,切点为P ,与BN 相交于点Q ．
（1）求证:△ABC ∽△OFB ；
(2）当△ABD 与△BFO 的面枳相等时，求BQ 的长； （3）求证:当D 在AM 上移动时（A 点除外），点Q 始终是线段BF 的中点．
B
Q
F
4
8.（2013•恩施州）如图所示,AB 是⊙O 的直径，AE 是弦,C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F,过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ． （1)求证：CG 是⊙O 的切线． （2）求证：AF=CF ．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA 的长．
9.(2013•荆州)如图，AB 为⊙O 的直径,弦CD 与AB 相交于E ，DE =EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ,过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H .
（1）求证：AH=HD ；（2）若cos ∠C =4
5
,DF =9,求⊙O 的半径.
H
G F
E D
O
C
B A
10。

(2013•襄阳）如图,△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O 的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
(1）求证:DP∥AB;
（2)若AC=6,BC=8，求线段PD的长．
11.(2013•南宁)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF,AF的延长线交DE于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线;
（2)求tan∠ABE的值；
（3)若OA=2，求线段AP的长．
5
6
12。

（2013•钦州）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°,O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与AC 、BC 边分别交于点E 、F 、G ，连接OD,已知BD=2，AE=3，tan ∠BOD=． （1)求⊙O 的半径OD ；
（2）求证：AE 是⊙O 的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
13。

（2013•茂名)如图，在O 中，弦AB 与弦CD 相交于点G ，OA CD ⊥于点E ，过点B 的直线与CD 的延长线交于点F ，AC BF ∥。

（1）若FGB FBG ∠=∠，求证:BF 是O 的切线；
（2)若3tan 4
F ∠=,CD a =，请用a 表示O 的半径；
（3)求证：22GF GB DF GF -=⋅.
O
（第24题图）G
F
E
D
C
B
A
14.（2013•内江）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PDB；
（2）求证:BC2=AB•BD；
(3）若PA=6，PC=6，求BD的长．
7
8 题型二：圆与三角形
1．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 中点O 为圆心，错误! AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ,连结AE 、AD 、DC ． （1）求证：D 是错误!的中点；
（2）求证：∠DAO ＝∠B ＋∠BAD ；
（3)若 错误! ＝ 错误! ，且AC ＝4，求CF 的长.
2.（2011菏泽）如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC,AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4， （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB 的长；
(3）延长DB 到F,使得BF=BO ，连接FA,试判断直线FA 与⊙O 的位置关系,并说明理由．
3。

(2009本溪）如图所示，AB 是⊙O 直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC=∠ODB ． （1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB=10,BC=8时，求BD 的长．
O
A B
D
C E
F
4。

如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．
(1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3)若EF=4，DE=3，求AD的长．
5。

（2010荆门）如图，圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：AC•CD=PC•BC；
(2）当点P运动到AB弧中点时,求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．
9
10
6．如图,⊙O 的弦AD∥BC,过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，AC∥DE 交BD 于点H ，
DO 及延长线分别交AC 、BC 于点G 、F. (1）求证：DF 垂直平分AC ； （2）求证:FC ＝CE;
（3)若弦AD ＝5㎝,AC ＝8㎝，求⊙O 的半径.
7。

在ABC Rt ∆中，090=∠C ，AD 是BAC ∠的平分线,点E 在AB 边上，以AE 为直径的⊙O 经过点D 。

（1）判断BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）求证：BD AD DE AB •=•;
（3）设⊙O 交AC 于点F ，连接EF ，若tan ∠BAC=34,求BC
EF
的值。

D
8.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，AD 是角平分线，AD DE ⊥交AB 于E ,ADE ∆的外接圆⊙O 与边AC 相交于点F ,过F 作AB 的垂线交AD 于P ，交⊙O 于G ，连接GE 。

(1）求证：BC 是⊙O 的切线；
(2）若2,3
4tan ==∠BE G ，求⊙O 的半径;
（3）在（2）的条件下，求AP 的长.
9.（四川省广安市）如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦,点D 为劣弧AC 上一点,弦DE ⊥AB 分别交⊙O 于点D 、E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ．P 是ED 延长线上一点，且PC ＝PF ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；
(2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2
＝DE ·DF ，为什么？
(3）在（2)的条件下，若OH ＝1，AH ＝2,求弦AC 的长．
A
10。

如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F,且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线;
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数;
(3）如果CD=15，BE=10，sinA=
5
13
，求⊙O的半径．
11．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2)，求FG
FC
的值．
12。

（2012湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，2AC=AB,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．
(1)如图1，求证:△PCD∽△ABC；
(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由;
(3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
13。

（2013•广东)如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°,弦BD=BA，AB=12，BC=5,
BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证：∠BCA=∠BAD;
(2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线.
14。

(13•呼和浩特）如图,AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证:点F是AD的中点；
(2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．
15。

(2013•玉林)如图，△ABC是⊙O内接正三角形,将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，
（1）求∠DQN的度数；
（2）求证：△DNQ≌△ANM；
（3）猜想△DNQ的周长与AC的长度有什么关系。

16。

（2013•包头）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG•AB=12,求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．
17。

（2013•遂宁）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD,垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．
（1）求证:CF是⊙O的切线;
（2)求证：△ACM∽△DCN；
（3）若点M是CO的中点,⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．
题型三:圆与四边形
1.（2012天水）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，已知直径AD=6,∠ABC=120°，∠ACB=45°,连接OB 交AC 于点E ． （1）求AC 的长． （2）求CE ：EA 的值． （3）在CB 的延长
线上取一点P ，使CB=2
1
BP,求证：直线PA 与⊙O 相切．
2。

（2012资阳）如图，在△ABC 中,AB=AC ，∠A=30°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接DE ，过点B 作BP 平行于DE ，交⊙O 于点P ，连接EP 、CP 、OP （1）BD=DC 吗？说明理由； （2）求∠BOP 的度数； （3)求证：CP 是⊙O 的切线；
3．（2012宜宾）如图，⊙O 1、⊙O 2相交于P 、Q 两点，其中⊙O 1的半径r 1=2，⊙O 2的半径r 2=．过点Q 作CD⊥PQ，分别交⊙O 1和⊙O 2于点C ．D ，连接CP 、DP ，过点Q 任作一直线AB 交⊙O 1和⊙O 2于点A ．B ，连接AP 、BP 、AC ．DB,且AC 与DB 的延长线交于点E ． （1）求证：
；
A
(2)若PQ=2，试求∠E度数．
4。

（2011盐城）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
（2)连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是
平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，
并说明理由．
5.（2012珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B）,把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上．
(1）当P、C都在AB上方时（如图1)，判断PO与BC的位置关系（只回答结果);
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．
6.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A,AD 是⊙O 的弦，OC ⊥AD 于F,交⊙O 于E ，连接DE 、BE 、BD 、AE 。

（1）求证：∠C=∠BED ；
（2）如果AB=10，tan ∠BAD=4
3
，求AC 的长；
（3)如果DE ∥AB ，AB=10，求四边形AEDB 的面积.
7。

（2013•荆门）如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M 、C 重合）,以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F ，切点为E ． （1)求证：OF ∥BE;
（2）设BP=x ，AF=y,求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围;
（3)延长DC 、FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 与H （图2)，问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG(E 、F 、O 与E 、H 、G 为对应点)?如果存在，试求（2）中x 和y 的值；如果不存在，请说明理由．
8.（2013•宜昌）半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线L的同侧，⊙O与L相切于点F，DC在L上。

（1)过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点。

①填空：如图1,当点A在⊙O上时,∠EBA的度数是；
②如图2，当E,A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置
．．．．,向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动,M,N分别是边BC,AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围。

（2013•晋江）如图10，在平面直角坐标系xoy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x
y 相交于点P，以OP为半径的⊙P
轴向右平移，直线l与直线x
题型四：圆与圆 1．（2010湖北十堰)(本小题满分9分）如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ,连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C 。

（1）求证：O 2C ⊥O 1O 2；
（2)证明：AB ·BC =2O 2B ·BO 1；
（3）如果AB ·BC =12,O 2C =4,求AO 1的长.
2．（2006成都）已知：如图，O 与A 相交于C D ，两点，A
O ，分别是两圆的圆心，ABC △内接于O ,弦CD 交AB 于点G ，交O 的直径AE 于点F ,连结BD ． (1)求证:ACG DBG △∽△； （2）求证：2AC AG AB =； （3）若
A ,O
的直径分别为15，且:1:4CG CD =，求AB 和BD 的长．
3．（2010湖北黄石）在△ABC 中,分别以AB 、BC 为直径⊙O 1、⊙O 2,交于另一点D.
E
（1）证明：交点D必在AC上；
（2)如图甲，当⊙O
1与⊙O
2
半径之比为4︰3，且DO
2
与⊙O
1
相切时，判断△ABC的形状，并求tan∠O
2
DB
的值;
（3）如图乙,当⊙O
1经过点O
2
，AB、DO
2
的延长线交于E，且BE＝BD时，求∠A的度数。

4.（2011湖北黄石）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点(不与A，B，O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D。

（1）如图(1），若AC是⊙O2的直径,求证：AC=CD;
（2）如图（2),若C是⊙O1外一点,求证：O1C⊥AD;
(3)如图（3），若C是⊙O1内一点，判断(2）中的结论是否成立。

5．(2010广州市)如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧错误!上的任一点(与端点A、B不重合)，DE⊥AB于点E，以D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
(1)求弦AB的长;
（2）判断∠ACB是否为定值，若是,求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
21
22 (3）记△ABC 的面积为S ,若
2
DE S
＝34,求△ABC 的周长．
6.（2013济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y=(x ＞0)图象上任意一点,
以P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点A 、B ． （1）求证：线段AB 为⊙P 的直径； （2）求△AOB 的面积; （3)如图2，Q 是反比例函数y=（x ＞0)图象上异于点P 的另一点，以Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴
分别交于点C 、D ．
求证：DO •OC=BO •OA ．
题型五:圆与坐标系
1.（2013•衡阳）如图,在平面直角坐标系中，已知A （8，0），B （0，6），⊙M 经过原点O 及点A 、B ． （1）求⊙M 的半径及圆心M 的坐标;
(2）过点B 作⊙M 的切线l,求直线l 的解析式；
（3)∠BOA 的平分线交AB 于点N,交⊙M 于点E ，求点N 的坐标和线段OE 的长．
C
P D
O
B
A
E
23
A
B
O
x
y=x
(图10）
P
y A B
O
x
y=x
（备用图)
P
y
l
l
2.（2013•晋江）如图10,在平面直角坐标系xoy 中，一动直线l 从y 轴出发,以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，直线l 与直线x y =相交于点P ,以OP 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点A ,与y 轴正半轴交于点B .设直线l 的运动时间为t 秒．
（1）填空：当1=t 时，⊙P 的半径为 ,=OA ，=OB ；
（2)若点C 是坐标平面内一点，且以点O 、P 、C 、B 为顶点的四边形为平行四边形. ①请你直接写出所有符合条件的点C 的坐标；（用含t 的代数式表示）
②当点C 在直线x y =上方．．
时，过A 、B 、C 三点的⊙Q 与y 轴的另一个交点为点D ，连接DC 、DA ，试判断DAC ∆的形状，并说明理由。

3.（2013•常州）在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （6,0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC,OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ． (1)当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为 45°或135° ;
（2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC 的面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值． （3）连接AD ，当OC ∥AD 时，
①求出点C 的坐标；②直线BC 是否为⊙O 的切线？请作出判断，并说明理由．
24
25
A
B
C
D
E F G O
成都中考链接
1.（2007成都）如图,A 是以BC 为直径的O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．
（1)求证：BF EF =;
（2）求证：PA 是O 的切线；
（3）若FG BF =，且O 的半径长为32,求BD 和FG 的长
度．
2。

（2008成都）如图，已知⊙O 的半径为2，以⊙O 的弦AB 为直径作⊙M ，点C 是⊙O 优弧AB 上的一个动点（不与点A 、点B 重合).连结AC 、BC,分别与⊙M 相交于点D 、点E ，连结DE 。

若AB=23. 求∠C 的度数； （2）求DE 的长；
（3）如果记tan ∠ABC=y ，
AD
DC
=x （0〈x 〈3），那么在点C 的运动过程
中，试用含x 的代数式表示y.
3.（2009成都)如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点,连结0G ．
（1）判断0G 与CD 的位置关系,写出你的结论并证明;
O
D G C
A E
F
B
P
26
（2）求证：AE=BF ；
(3）若3(22)OG DE ⋅=-,求⊙O 的面积。

4。

（2010成都)已知：如图,ABC ∆内接于O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ． (1）求证：P 是ACQ ∆的外心; （2)若3
tan ,84
ABC CF ∠=
=，求CQ 的长； (3）求证：2()FP PQ FP FG +=．
5.（2011成都）已知:如图,以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥ A C ，垂足为K 。

过D 作DH ∥KB,DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．
（1）求证：AE=CK ；
27
（2)如果AB=a ，AD=1
3
a (a 为大于零的常数），求BK 的长：
(3）若F 是EG 的中点，且DE=6,求⊙O 的半径和GH 的长．
6.（2012成都)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证:KE=GE ；
（2)若KG 2
=KD •GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； (3）在(2）的条件下，若sinE=，AK=
，求FG 的长．
7.（2013，成都）如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接圆⊙O ,AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠。

（1)试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由：
（2）若
3
tan
4
ADB
∠=
,PA AH
=，求BD的长;
（3）在(2)的条件下,求四边形ABCD的面积。

28。