线性代数知识点归纳

线性代数复习要点
第一部分 行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行（列）展开法则
3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算：
① (定义法)12
1212
1112121222()
1212
()n n n
n n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ=
=
-∑
1
②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
1122,,
0,.
i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++
=⎨≠⎪⎩
③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
1122
1122***0**0*0
nn
nn
b b A b b b b =
=
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则
=
=()mn A O
A A O A B
O B
O B
B
O A A
A B B O B O
*
=
=*
*=-1
⑤ 关于副对角线：
(1)2
1121
21
1211
1()
n n n
n
n n n n n n n a O a a a a a a a O
a O ---*
==-1
⑥ 范德蒙德行列式：()1
22
22
12
11
11
12
n i
j
n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111
⑦ a
b -型公式：1
[(1)]()n a b b
b
b a b
b
a n
b a b b b a
b b b b
a
-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.
⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.
(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法)
2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n
n
k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；
3. 证明0A =的方法：
①、A A =-； ②、反证法；
③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.
4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij
ij ij M A A M ++=-=-
第二部分 矩阵
1. 矩阵的运算性质
2. 矩阵求逆
3. 矩阵的秩的性质
4. 矩阵方程的求解
1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122
212
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
称为m n ⨯矩阵. 记作：()
ij
m n
A a ⨯=或m n A ⨯
① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算
a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.
b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.
c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中
12121122(,,
,)j j
ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==++
+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BA
AB A ==⇒=或B=0
不成立.
a. 分块对角阵相乘：11
112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122n
n n A A A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○
行向量；
11112
1111112
112
212222212222212120
00000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b a
b b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○
列向量.
111211111212
121222212122221211220
00000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：m
n
m n
A A A
+=， ()()
m n mn
A A =
⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作T
A . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵
T
A A =.
A 是反对称矩阵
T A A =-.
b. 分块矩阵的转置矩阵：T
T
T T
T A B A C C D B
D ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⑥ 伴随矩阵： ()
11
21112222*12n T
n ij
n
n
nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **
AA A A A E ==,1
*n A A
-=, 1
1
A
A --=.
分块对角阵的伴随矩阵：*
*
*A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *
(1)(1)mn mn A A B B
B A
**⎛
⎫
-⎛⎫= ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.
①伴随矩阵法 1
A A A *-= ○注： 1
a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
1
主换位
副变号
② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−
→初等行变换
③ 分块矩阵的逆矩阵：1
11A A B B ---⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1
11A B B A
---⎛
⎫
⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1
111A C A A CB O B O
B ----⎛⎫-⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1
111A O A O C B B CA
B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭ ④
1
2
31111
2
13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
, 3
2
1
1
1
112
13a a a a a a -⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1AB BA E A B -==⇒=）
3.
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1
，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换
☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
① 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ② 对A 施行一次初等○
列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○
右乘A .
注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.
5.关于A 矩阵秩的描述：
①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0； ②、()<r A r ，A 的r 阶子式全部为0； ③、()≥r A r ，A 中存在r 阶子式不为0； ☻矩阵的秩的性质：
① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n
② ()()()T
T
r A r A r A A ==
③ ()()r kA r A k =≠ 其中0
④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩
若若0的列向量全部是的解
⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B
⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O
A A
B A
C B C ο⨯⇔=⎧⎪
=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩
⎩ 只有零解
在矩阵乘法中有左消去律；
若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩
在矩阵乘法中有右消去律.
⑧ ()r
r
E O E O r A r A A O O O O ⎛⎫⎛⎫
=⇒
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +
⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭
☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法
6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)
A B E X −−−−
→初等行变换
(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
初等列变换(II)的解法：构造
T T T T
A X
B X X
=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得
第三部分 线性方程组
1. 向量组的线性表示
2. 向量组的线性相关性
3. 向量组的秩
4. 向量空间
5.线性方程组的解的判定
6. 线性方程组的解的结构（通解）
（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βααα，若存在一组数12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，
则称β是12,,
,n ααα的线性组合，或称称β可由12,,
,n ααα的线性表示.
线性表示的判别定理:
β可由12,,,n ααα的线性表示
由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：
①、11112211211222221122n n n n m m nm n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=
⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解
②、111211121
222221
2
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β
③、()121
2
n n x x a
a a x β
⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）
⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，
则m s
AB C ⨯=⇔()()1112
121222121212
,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫
⎪ ⎪
⋅⋅⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⇔i i A c β= ，(,,)i s =1,2
⇔i β为i Ax c =的解
⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
⇔12,,
,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.
即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.
即： 11121112122
22212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔111122121
211222
22211222n n m m mn m
a a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪
⎨⎪⎪++
+=⎩
3.线性相关性
判别方法：
法1
法2
法3
推论
♣ 线性相关性判别法（归纳）
♣ 线性相关性的性质
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.
⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识
向量组的秩 向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量
的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r ααα
矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .
向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系
③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.
向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .
④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 5. 线性方程组理论
线性方程组的矩阵式 Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ++
+=
1112111212222212
,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
1
（1）解得判别定理
（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬
=⎪⎪++⎭
==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解
211212112212112212),(7),,,,1
00k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλλη
ληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪
⎪=⇔-=⎪
=⎪⎪+++=⇔+++=⎪
⎪+++=⇔+++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则
也是的解 是的解
(3) 判断12,,
,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：
① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,
,s ηηη都是Ax ο=的解；
③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.
(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤
12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元；
令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解
212...,,...,n r n r
n r k k k k α---++其中为任意常数.
（5）其他性质
一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*
是Ax β=的一个解，1,,
,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关
√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
, 且有结果：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）； 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.
第四部分 方阵的特征值及特征向量
1. 施密特正交化过程
2. 特征值、特征向量的性质及计算
3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化
1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ②),T
n a 与),T
n b 的内积1
(,)n
i i n n i a b a b αβ===+
+∑
③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥ ④),,T
n a 的长度22
1
(,)n
i n i a a ααα====++∑
⑤(,1αα==. 即长度为1的向量.
2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=
③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=
3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，
则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ②
0E A λ-=（或0A E λ-=）.
③
()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.
④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ=
⑤ 12
n A λλλ= 1
n
i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.
⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.
⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()12
12,,
,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
、21122()n n A a b a b a b A =++
+,从而A 的特征值
为：11122n n A a b a b a b λ==++
+tr , 23n λλλ====0.
○注()12
,,,T
n a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.
⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:
① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0 ②()f A 的全部特征值为12(),(),
,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.
⑩ A 与T
A 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法
(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.
设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i
n r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.
则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++
其中12,,
,i n r k k k -为任意不全为零的数.
5. ①
1P AP B -= （P 为可逆矩阵）
②1P AP B -= （P 为正交矩阵）
③A 与对角阵Λ
相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质： ①
E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
○注α是A 关于0λ的特征向量,1
P α-是B 关于0
λ的特征向量. ②A B =tr tr
③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =
⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法
① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1
P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：
1
2
1n P AP λλλ-⎛⎫
⎪ ⎪=
⎪ ⎪⎝
⎭
.
② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.
○注：当i
λ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.
③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化.
8. 实对称矩阵的性质：
① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；
○
注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 T
AA E =
正交矩阵的性质：① 1
T A A -=；
② T T
AA A A E ==；
③ 正交阵的行列式等于1或-1；
④ A 是正交阵,则T
A ，1
A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.
10.
11.
123
,,
ααα线性无关,
11
21
221
11
3132
3312
1122
(,)
(,)
(,)(,)
(,)(,)
βα
αβ
βαβ
ββ
αβαβ
βαββ
ββββ
=
⎧
⎪
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
⎪
=--
⎪
⎩
正交化
单位化：1
1
1
β
η
β
=2
2
2
β
η
β
=3
3
3
β
η
β
=
技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量.
第四部分二次型
1. 二次型及其矩阵形式
2. 二次型向标准形转化的三种方式
3. 正定矩阵的判定
1. ①
111211
212222 1212
11
12
(,,,)(,,,)
n
n n
n T n ij i j n
i j
n n nn n
a a a x
a a a x
f x x
x a x x x x x x Ax
a a a x
==
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪
===
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
∑∑
其中A为对称矩阵，
12
(,,,)T
n
x x x x
=
②T
C AC B
=. （,,
A B C
为实对称矩阵为可逆矩阵）
③二次型的规范形中正项项数p r p
-2p r
- (r为二次型的秩)
④两个矩阵合同⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数分别相等.
⑤两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价
⑥两个矩阵合同的必要条件是：()()
r A r B
=
2. 12(,,
,)T
n f x x x x Ax =经过
合同变换
可逆线性变换
x Cy = 化为21
n
i i f d y =∑标准形.
① 正交变换法
② 配方法
（1）若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;
（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换
()1,2,,,i i j j i j
k
k x y y x y y k n k i j x y
=-⎧⎪
=+=≠⎨⎪=⎩且,
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方. ③ 初等变换法 3. 正定二次型 12,,
,n x x x 不全为零，12(,,,)n f x x x >0.
正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.
4. ()T
f x x Ax =为正定二次型⇔（之一成立）： （1） x ο∀≠ ，T
x Ax >0； （2）A 的特征值全大于0； （3）f 的正惯性指数为n ；
（4）A 的所有顺序主子式全大于0；
（5）A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得T
C AC E =； （6）存在可逆矩阵P ，使得T
A P P =； 5. （1）合同变换不改变二次型的正定性. （2） A 为正定矩阵⇒ii a >0 ； 0A >. （3） A 为正定矩阵⇒1
,,T
A A A -*
也是正定矩阵. （4） A 与B 合同，若A 为正定矩阵⇒B 为正定矩阵
（5） ,A B 为正定矩阵⇒A B +为正定矩阵，但,AB BA 不一定为正定矩阵. 6. 半正定矩阵的判定
一些重要的结论
(),n
T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，
0总有唯一解 是正定矩阵 12,s i
A p p p p n
B AB E AB E
⎧⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵
存在阶矩阵使得 或
○
注：全体n 维实向量构成的集合n
叫做n 维向量空间.
()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆
0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩特征向量
⎫
⎪
≅⎪−−−
→⎬⎪⎪⎭
具有
向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：
①称为
n
的标准基，
n
中的自然基，单位坐标向量；
②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；
⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.。