函数的对称性 高中数学知识点

3.2.2函数的对称性
1.函数对称性的概念
(1)轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两侧的图象能够完全重合，则称该函数具备轴对称，称该直线为该函数的对称轴
(2)中心对称：如果一个函数的图象绕一个点旋转180°，所得的图象能与原函数图象完全重合，则称该函数具备中心对称，称该点为该函数的对称中心
2.函数的自对称
(1)若函数()f x 的图象关于点(),a b 中心对称，则()()2f a x f a x b −++=;反之亦然
(2)若函数()f x 的图象关于直线x=a 对称，则()()f a x f a x +=−;反之亦然.
一般地，若函数()f x 满足()()f a x f b x c −++=,则它的图象关于点,22a b c +⎛⎫
⎪⎝⎭中心对称；若函数()f x 满足()()f a x f b x −=+,则它的图象关于直线2
a b x +=对称； ①()y f a x =+是偶函数()()()()2f a x f a x f x f a x ⇔+=−⇔=−⇔()f x 关于x a =对称；
②()()()f a x f b x f x +=−⇔关于2
a b x +=对称； ③()y f a x =+是奇函数()()()f a x f a x f x ⇔+=−−⇔关于点(),0a 中心对称； ④()()()()()2f x a f x a f x a f x f x +=−⇔+=⇔是周期为()20T a a =≠的周期函数
1.
2. 已知二次函数()f x 同时满足条件：①()()11f x f x +=−;②()f x 的最大值为15;
③()0f x =两根的立方和为17.求()f x 的解析式。

3. （1）求函数()2
1
x f x x =−图像的对称中心； （2）若函数()()()
4f x x a x a x =+−+−的图像是中心对称图形，求实数a 的值
4. 已知函数()22f x x x =−，若关于x 的方程()()0f x f a x t +−−=有4个不同的实
数根，且所有实数根之和为2，求实数t 的取值范围
5. 已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x −=−，若函数1x y x +=
与()y f x =的交点为()()()1122,,,,
,m m x y x y x y ，则()1m i i i x y =+=∑m 3.函数的互对称
(1)已知函数()y f x =,则函数()y f a mx =+与函数()y f b mx =−的图象关于直线2b a x m
−=轴对称.注：对称直线方程可简单记为变量相等，即a+mx=b-mx. (2)已知函数()y f x =,则函数()y f x a m =−+与函数()y f b x n =−−+的图象关于点,22a b m n ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
中心对称.注：与对称直线方程相比，对称中心的横坐标可简单记为变量相等时的变量值，即x a b x −=−,可得2b a x +=
,而纵坐标就是上下平移的平均值 6. 对于定义在R 上的函数()f x ,有下列四个命题
①若()f x 是奇函数，则()1f x −的图象关于点()1,0A 对称；
②若函数()1f x −的图象关于直线1x =对称,则()f x 为偶函数；
③函数()1y f x =+与函数()1y f x =−的图象关于直线1x =对称；
④若对x R ∈,有()()11f x f x +=−,则()y f x =的图象关于直线1x =对称.其中正确命题的序号为。