2013-2018全国卷理科数学整套合集(新课标1)

2013
1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A ∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B
2、假设复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4
〔B 〕－4
5
〔C 〕4
〔D 〕45
3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小
学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样
4、已知双曲线C ：22221x y a b -=〔0,0a b >>〕的离心率为52
，则C 的渐近线方程为
A .14
y x =± B .13
y x =± C .12
y x =± D .y x =±
.5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于
A .[-3,4]
B .[-5,2]
C .[-4,3]
D .[-2,5]
6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再
向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A 、500π3
cm 3
B 、866π3
cm 3
C 、1372π3cm 3
D 、2048π3
cm 3
7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
8、某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为
A .168π+
B .88π+
C .1616π+
D .816π+
9、设m 为正整数，2()m x y +
展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二
项式系数的最大值为b ，假设13a =7b ，则m ＝ ( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8
10、已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

假
设AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( ) A 、x 245＋y 2
36＝1
B 、x 236＋y 2
27
＝1
C 、x 227＋y 2
18
＝1
D 、x 218＋y 2
9
＝1
11、已知函数()f x =22,0
ln(1),0
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，假设|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是
A .(,0]-∞
B .(,1]-∞
C .[-2,1]
D .[-2,0]
12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…
假设b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n
2，则( )
A 、{S n }为递减数列
B 、{S n }为递增数列
C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 二．填空题：本大题共四小题，每题5分。

13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，假设b ·c =0，则t =_____. 14、假设数列{n a }的前n 项和为S n ＝
21
33
n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 15、设当x =θ 时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______
16、假设函数()f x =2
2
(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、〔本小题总分值12分〕
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)假设PB=1
2
，求PA ；
(2)假设∠APB ＝150°，求tan ∠P BA 18、〔本小题总分值12分〕
如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°. 〔Ⅰ〕证明AB ⊥A 1C;
〔Ⅱ〕假设平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角
的正弦值。

19、〔本小题总分值12分〕
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。

如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，假设都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，假设为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立。

〔1〕求这批产品通过检验的概率；
〔2〕已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X 〔单位：元〕，求X 的分布列及数学期望。

(20)(本小题总分值12分)
已知圆M :2
2
(1)1x y ++=,圆N :2
2
(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.
〔Ⅰ〕求C 的方程；
〔Ⅱ〕l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
〔21〕〔本小题总分值共12分〕
已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x
e cx d +，假设曲线()y
f x =和曲线()y
g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ 〔Ⅰ〕求a ，b ，c ，d 的值
〔Ⅱ〕假设x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

23. C 1的参数方程为45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极
坐标方程为2sin ρθ=.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤≤．
〔24〕〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 2014
一．选择题：共12小题，每题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，{}
22B x x =-≤<，则A B ⋂=
A .[-2,-1]
B .[-1,2〕
C .[-1,1]
D .[1,2〕
2.32
(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --
3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则以下结论正确的选项是
A .
()f x ()g x 是偶函数
B .|
()f x |()g x 是奇函数
C .()f x |()g x |是奇函数
D .|()f x ()g x |是奇函数
4.已知F 是双曲线C ：2
2
3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为
A .3
B .3
C .3m
D .3m
位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
A .18
B .38
C .58
D .7
8
6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =
()f x 在[0,π]上的图像大致为
7.执行以下图的程序框图，假设输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =
A .20
3
B .165
C .7
2
D .158
8.设(0,)2πα∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos β
αβ
+=
，则
A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-= C .32
π
αβ+=
D .22
π
αβ+=
9.不等式组1
24
x y x y +≥⎧⎨
-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：
1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.
其中真命题是
A .2p ，3p
B .1p ，4p
C .1p ，2p
D .1p ，3p
10.已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，假设
4FP FQ =，则||QF =
A .7
2
B .5
2
C .3
D .2
11.已知函数()f x =3231ax x -+，假设()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为
A .〔2，+∞〕
B .〔-∞，-2〕
C .〔1，+∞〕
D .〔-∞，-1〕
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A .6
2
B .4
2
C .6
D .4
二．填空题：本大题共四小题，每题5分。

13.8()()x y x y -+
的展开式中27x y 的系数为 .(用数字填写答案)
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，假设1
()2
AO AB AC =
+，则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题总分值12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.
(Ⅰ)证明：2
n n a a λ+-=；
〔Ⅱ〕是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.
18. (本小题总分值12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 〔同一组数据用该区间的中点值作代表〕； 〔Ⅱ〕由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μδ，其中μ近似为样本平均
数x ，2δ近似为样本方差2s .
〔i 〕利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；
〔ii 〕某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间〔〕的产品件数，利用〔i 〕的结果，求EX . 附：
150≈12.2.
假设Z ～2
(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.
19. (本小题总分值12分)如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，
1AB B C ⊥.
(Ⅰ) 证明：1AC AB =；
〔Ⅱ〕假设1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC ，求二面角111A A B C --的余
弦值.
20. (本小题总分值12分) 已知点A 〔0，-2〕，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦
点，直线AF 的斜率为23
3
，O 为坐标原点.
(Ⅰ)求E 的方程； 〔Ⅱ〕设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.
21. (本小题总分值12分)设函数1
(0ln x x
be f x ae x x
-=+，曲线()y f x =在点〔1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.
(Ⅰ)求,a b ； 〔Ⅱ〕证明：()1f x >.
请考生从第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t
y t
=+⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
〔Ⅱ〕过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
24.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲
假设0,0a b >>，且
11
a b
+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；
〔Ⅱ〕是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
2015
（1） 设复数z 满足1+z
1z
-=i ，则|z|= 〔A 〕1 〔B 2 〔C 3 〔D 〕2
〔2〕sin20°cos10°-con160°sin10°= 〔A 〕32-
〔B 〕32 〔C 〕12- 〔D 〕12
〔3〕设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为
〔A 〕∀n ∈N, 2n >2n 〔B 〕∃ n ∈N, 2n ≤2n 〔C 〕∀n ∈N, 2n ≤2n 〔D 〕∃ n ∈N, 2n =2n
〔4〕投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
〔A 〕0.648 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕
〔5〕已知M 〔x 0，y 0〕是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，假设12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是
〔A 〕〔3，3
〔B 〕〔3，3
〔C 〕〔223-，223〕 〔D 〕〔2323〕
〔6〕《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有〔 〕 斛斛斛斛
〔7〕设D 为△ABC 所在平面内一点3BC CD =，则〔 〕 〔A 〕1433AD AB AC =-+ (B)14
33
AD AB AC =- 〔C 〕4133AD AB AC =
+ (D) 41
33
AD AB AC =- (8)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如下图，则()f x 的单调递减区间为 (A)
13,,44k k k Z ππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭ (B)
132,2,44k k k Z ππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭
(C) 13,,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝
⎭ (D)
132,2,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝
⎭
〔9〕执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的n= 〔A 〕5 〔B 〕6 〔C 〕7 〔D 〕8 （10）2
5()x
x y ++的展开式中，52x y 的系数为
〔A 〕10 〔B 〕20 〔C 〕30〔D 〕60
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如下图。

假设该几何体的外表积 为16 + 20π，则r=
〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕4〔D 〕8
()f x =(21)x
e x ax a --+,其中a 1，假设存在唯一的整数x 0，
使得0()f x 0，则a 的取值范围是〔 〕
A.
3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
二、填空题：本大题共3小题，每题5分 〔13〕假设函数f (x )=x ln 〔x +
2
a x +a =
〔14〕一个圆经过椭圆
22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴正半轴上，则该圆的标准方程为 。

〔15〕假设x ,y 满足约束条件10040
x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则y
x 的最大值为 .
〔16〕在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是_____
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

〔17〕n S 为数列{n
a n a ＞0，22n n a a +=43n S +.
〔1〕求{n a }的通项公式： 〔2〕设1
1
n
n n b a a +=
,求数列{}n b 的前n 项和
〔18〕如图，四边形ABC D 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC 。

〔1〕证明：平面AEC ⊥平面AFC
〔2〕求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值
19. 〔本小题总分值12分〕某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x 〔单位：千元〕对年销售量y 〔单位：t 〕和年利润z 〔单位：千元〕的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作
了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. x
y
w
2
1
()
n
i
i x x =-∑
2
1
()
n
i
i w w =-∑
1
()()n i
i
i x x y y =--∑ 1
()()
n
i
i
i w w y y =--∑
563
1469
表中i i
w x =w =
18
8
1
i
i w
=∑
〔I 〕根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型〔给
出判断即可，不必说明理由〕；
〔II 〕根据〔I 〕的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
〔III 〕已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据〔II 〕的结果答复以下问题： 〔i 〕当年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ 〔ii 〕当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
1
2
1
()()
=
()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-
〔20〕〔本小题总分值12分〕
在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，
〔Ⅰ〕当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
〔Ⅱ〕y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。

21.已知函数f 〔x 〕=31,()ln 4
x ax g x x ++=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；
〔Ⅱ〕用min
{},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h 〔x 〕零点的个数
22. 在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()22
2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
〔I 〕求12,C C 的极坐标方程.
〔II 〕假设直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=
∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积
23. 〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲
已知函数()12,0f x x x a a =+--> .
〔I 〕当1a = 时求不等式
()1f x > 的解集； 〔II 〕假设
()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
2016
一. 选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 〔1〕设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =
〔A 〕3(3,)2--〔B 〕3(3,)2-〔C 〕3(1,)2〔D 〕3(,3)2
〔2〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +
〔A 〕1〔B 2〔C 3D 〕2
〔3〕已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a
〔A 〕100〔B 〕99〔C 〕98〔D 〕97
〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
〔A 〕1/3 〔B 〕1/2 〔C 〕2/3 〔D 〕3/4
〔5〕已知方程22
2213x y m n m n
-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 〔A 〕(–1,3) 〔B 〕(–1,3) 〔C 〕(0,3) 〔D 〕(0,3)
〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。

假设该几何体的体积是283
π，则它的外表积是
〔A 〕17π〔B 〕18π〔C 〕20π〔D 〕28π
〔7〕函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为
〔8〕假设101a b c >><<，，则
〔A 〕c c a b <〔B 〕c c ab ba <〔C 〕log log b a a c b c <〔D 〕log log a b c c <
〔9〕执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足
〔A 〕2y x =〔B 〕3y x =〔C 〕4y x =〔D 〕5y x =
(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25C 的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABB 1A 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为 (A)32(B )22 (C)33 (D)13
12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，
为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且
()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 〔A 〕11 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕5
二、填空题：本大题共3小题，每题5分
(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =.______ (14)5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是______.〔用数字填写答案〕
〔15〕设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为______。

〔16〕某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

生产一件产品A 需要甲材料，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。

该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为_____元。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
〔17〕〔此题总分值为12分〕 ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
〔I 〕求C ；
〔II 〕假设7,c ABC =33，求ABC 的周长．
〔18〕〔此题总分值为12分〕
如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．
〔I 〕证明：平面ABEF ⊥EFDC ；
〔II 〕求二面角E -BC -A 的余弦值．
〔19〕〔本小题总分值12分〕
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
〔I 〕求X 的分布列；
〔II 〕假设要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；
〔III 〕以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？
20. 〔本小题总分值12分〕
设圆22
2150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B 〔1,0〕且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
〔I 〕证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
〔II 〕设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
〔21〕〔本小题总分值12分〕
已知函数f (x )=(x −2)e x +a(x −1)2有两个零点.
(I)求a 的取值范围；
(II)设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1+x 2<2.
〔23〕〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{
x=acost，
y=1+asint，
〔t为参数，a＞0〕。

在以坐标原点为极点，x轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.
〔I〕说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
〔II〕直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，假设曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。

〔24〕〔本小题总分值10分〕，选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.
〔I〕在答题卡第〔24〕题图中画出y= f(x)的图像；
〔II〕求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。

2017
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则
A ．{|0}A
B x x =< B ．A B =R
C ．{|1}A B x x =>
D ．A B =∅
2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．
14 B ．π8 C ．12 D ．π4
3．设有下面四个命题
1p ：假设复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ； 2p ：假设复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3p ：假设复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：假设复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为
A ．13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24,p p
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．假设4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．假设(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是
A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3] 6．621(1)(1)x x
++展开式中2x 的系数为 A ．15
B ．20
C ．30
D ．35 7．某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
8．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在
和两个空白框中，可以分别填入
A ．A >1 000和n =n +1
B ．A >1 000和n =n +2
C ．A ≤1 000和n =n +1
D ．A ≤1 000和n =n +2
9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3
)，则下面结论正确的选项是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2 10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2
与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
11．设xyz 为正数，且235x y z ==，则
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获
取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .
14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，则32z x y =-的最小值为 .
15．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=〔a >0，b >0〕的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。

假设∠MAN =60°，则C 的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。

D 、E 、F 为圆O 上的点，
△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。

当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积〔单位：cm 3〕的最大值为_______。

17．〔12分〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
〔1〕求sin B sin C ;
〔2〕假设6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
18.〔12分〕如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.
〔1〕证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
〔2〕假设P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值.
19．〔12分〕
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸〔单位：cm 〕．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．
〔1〕假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；
〔2〕一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
〔ⅰ〕试说明上述监控生产过程方法的合理性；
〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得16119.9716i i x x ===∑，1616222211
11()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ
，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+之外的学科网数据，用剩下的数据估计μ和σ〔精确到〕． 附：假设随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，
160.99740.959 2=0.0080.09≈．
20.〔12分〕
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+〔a >b >0〕，四点P 1〔1,1〕，P 2〔0,1〕，P 3〔–12〕，P 4〔1，2〕中恰有三点在椭圆C 上.
〔1〕求C 的方程；
〔2〕设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.假设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
21.〔12分〕
已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--
〔1〕讨论()f x 的单调性；
〔2〕假设()f x 有两个零点，求a 的取值范围
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
〔θ为参数〕，直线l 的参数方程为 4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）. 〔1〕假设a =−1，求C 与l 的交点坐标；
〔2〕假设C 上的点到l a.
23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕
已知函数f 〔x 〕=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.
〔1〕当a =1时，求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集；
〔2〕假设不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
2018
1．设，则 A ．
B ．
C ． D
2．已知集合，则
A ．
B ．
C ．
D ．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的选项是
A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记为等差数列的前项和.假设，，则
A ．
B ．
C ．
D ．
5．设函数.假设为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A ． B ． C ． D ． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则 A ． B ． C ． D ．
1i 2i 1i
z -=++||z =0121{}220A x x x =-->A =R {}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->}{}{|1|2x x x x ≤-≥n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101232()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =ABC △AD BC E AD EB =3144AB AC -1344AB AC -3144AB AC +1344AB AC +
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱外表上的点在正视图上的对应点为，圆柱外表上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A ．
B ．
C ．3
D ．2
8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点〔–2，0〕且斜率为
的直线与C 交于M ，N 两点，则= A ．5
B ．6
C ．7
D
．8 9．已知函数．假设g 〔x 〕存在
2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1
，0〕
B ．[0，+∞〕
C ．[–1，+∞〕
D ．[1，+∞〕
10．以下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三
角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则
A ．p 1=p 2
B ．p 1=p 3
C ．p 2=p 3
D ．p 1=p 2+p 3
11．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .假设为直角三角形，则|MN |=
A ．
B ．3
C ．
D ．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A B C D 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13．假设，满足约束条件，则的最大值为_____________．
M A N B M N 1725223FM FN ⋅e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩
，，，，()()g x f x x a =++ABC △2
213
x y -=OMN △32x y 220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
32z x y =+
14．记为数列的前项和.假设，则_____________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．〔用
数字填写答案〕
16．已知函数，则的最小值是_____________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：60分。

17．〔12分〕
在平面四边形中，，，，.
〔1〕求；
〔2〕假设
.
18．〔12分〕
如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
〔1〕证明：平面
平面；
〔2〕求与平面所成角的正弦值.
19．〔12分〕
设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. 〔1〕当与轴垂直时，求直线的方程；
〔2〕设为坐标原点，证明：.
20．〔12分〕
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果断定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
n S {}n a n 21n n S a =+6S =()2sin sin2f x x x =+()f x ABCD 90ADC ∠=45A ∠=2AB =5BD =cos ADB ∠DC =BC ABCD ,E F ,AD BC DF DFC △C P PF BF ⊥PEF ⊥ABFD DP ABFD 2
2:12
x C y +=F F l C ,A B M (2,0)l x AM O OMA OMB ∠=∠)10(<<p p
〔1〕记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．
〔2〕现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以〔1〕中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，假设有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． 〔i 〕假设不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; 〔ii 〕以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．〔12分〕
已知函数． 〔1〕讨论的单调性；
〔2〕假设存在两个极值点，证明：． 〔二〕选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
〔1〕求的直角坐标方程；
〔2〕假设与有且仅有三个公共点，求的方程.
23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕
已知.
〔1〕当时，求不等式的解集；
〔2〕假设时不等式成立，求的取值范围.
)(p f )(p f 0p 0p p X EX 1()ln f x x a x x
=-+()f x ()f x 12,x x ()()1212
2f x f x a x x -<--xOy 1C ||2y k x =+x 2C 2
2cos 30ρρθ+-=2C 1C 2C 1C ()|1||1|f x x ax =+--1a =()1f x >(0,1)x ∈()f x x >a。