2018版高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.2.3 同角三角函数的基本关系式

1.2.3　同角三角函数的基本关系式学习目标　1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
知识点　同角三角函数的基本关系式
思考1　计算下列式子的值：
(1)sin 230°＋cos 230°；
(2)sin 245°＋cos 245°；
(3)sin 290°＋cos 290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它.
思考2　由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？梳理　(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：________________________________.
②商数关系：________________________________.
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式
sin 2α＝________；cos 2α＝________.
②tan α＝的变形公式
sin α
cos αsin α＝____________；cos α＝____________.
类型一　利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1　已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1　若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
513A. B.－ C. D.－125125512512
反思与感悟　同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.
跟踪训练1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
43命题角度2　已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
例2　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
817反思与感悟　利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
跟踪训练2　已知cos α＝－，求13sin α＋5tan α的值.
513类型二　利用同角三角函数关系化简
例3　已知α是第三象限角，化简：－.
1＋sin α1－sin α1－sin α
1＋sin α
反思与感悟　解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
跟踪训练3　化简：(1)；
cos 36°－1－cos236°
1－2sin 36°cos 36°(2)－(α为第二象限角).
1cos2α1＋tan2α1＋sin α
1－sin α类型三　利用同角三角函数关系证明例4　求证：＝.
tan αsin αtan α－sin αtan α＋sin α
tan αsin α反思与感悟　证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).
(3)比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0).
左边右边(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.
跟踪训练4　求证：＝.
cos x 1－sin x 1＋sin x
cos x
类型四　齐次式求值问题
例5　已知tan α＝2，求下列代数式的值.
(1)；(2)sin 2α＋sin αcos α＋cos 2α.
4sin α－2cos α5cos α＋3sin α141312反思与感悟　(1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.
(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式.
跟踪训练5　已知＝2，计算下列各式的值.
sin α＋cos α
sin α－cos α(1)；
3sin α－cos α
2sin α＋3cos α(2)sin 2α－2sin αcos α＋1.
1.若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
45A.－ B. C.± D.±43343443
2.已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )54
A. B.－ C.－ D.749169329
32
3.化简
的结果是( )1－sin2
3π5A.cos
B.sin 3π
53π5C.－cos
D.－sin 3π
53π5
4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________.
5.已知sin α＝，求cos α，tan α.1
5
1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.
2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.
4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换.(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.
答案精析
问题导学
知识点
思考1　3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x .
由勾股定理得
sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.
思考2　∵tan α＝，∴tan α＝.
y x sin α
cos α梳理　(1)①sin 2α＋cos 2α＝1
②tan α＝ (α≠k π＋，k ∈Z )
sin αcos απ2(2)①1－cos 2α　1－sin 2α
②cos αtan α　sin α
tan α
题型探究
例1　D
跟踪训练1　cos α＝－，
35sin α＝cos α＝－.
4345例2　解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．
817(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝＝
＝，1－cos2α1－(－817)21517tan α＝＝＝－.
sin α
cos α15
17
－81715
8(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
1－cos2α15
17158跟踪训练2　解　∵cos α＝－<0，
513∴α是第二或第三象限角．
(1)若α是第二象限角，则sin α＝＝
＝，1－cos2α1－(－513)21213tan α＝＝＝－，
sin α
cos α12
13
－51312
5故13sin α＋5tan α＝13×＋5×(－)＝0.1213125(2)若α是第三象限角，则sin α＝－＝－
＝－，1－cos2α1－(－513)21213tan α＝＝＝，
sin α
cos α－
1213－51312
5故13sin α＋5tan α＝13×(－)＋5×＝0.
1213125综上可知，13sin α＋5tan α＝0.
例3　解　原式＝－(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)(1－sin α)(1－sin α)
(1＋sin α)(1－sin α)＝－(1＋sin α)21－sin2α(1－sin α)2
1－sin2α
＝－.
1＋sin α|cos α|1－sin α
|cos α|∵α是第三象限角，∴cos α＜0.
∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号)．1＋sin α－cos α1－sin α
－cos α跟踪训练3　(1)1　(2)tan α
例4　证明　
∵右边＝tan2α－sin2α
(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan2α－tan2αcos2α
(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan2α(1－cos2α)
(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan2αsin2α
(tan α－sin α)tan αsin α
＝＝左边，
tan αsin α
tan α－sin α∴原等式成立．
跟踪训练4　证明　(比较法——作差)
∵－cos x 1－sin x 1＋sin x
cos x
＝cos2x －(1－sin2x )
(1－sin x )cos x
＝＝0，
cos2x －cos2x
(1－sin x )cos x ∴＝.
cos x 1－sin x 1＋sin x
cos x 例5　解　(1)原式＝＝.
4tan α－25＋3tan α611(2)原式＝
14sin2α＋13sin αcos α＋12
cos2αsin2α＋cos2α
＝
14tan2α＋13tan α＋12tan2α＋1＝＝.14
×4＋13×2＋125
1330跟踪训练5　(1)　(2)891310
当堂训练
1．A 2.C 3.C 4.－25
5．解　∵sin α＝>0，
15
∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin2α
＝ ＝，tan α＝＝；
1－125265sin αcos α612当α为第二象限角时，cos α＝－，26
5tan α＝－.6
12。