立体几何中的向量方法

l
l
a
b
m
a b
m
|ab | cos l , m的夹角为 ， | a || b |
a u
lຫໍສະໝຸດ al

|au| cos( ) l , 的夹角为 ， 2 | a || u |
u
u v
u


v
// u // v u v
l
a b
m
l m a b ab 0
l
a

u
l a // u a u
u

v

u v u v 0
解：设平面的法向量为n （x，y，z），
则n AB， n AC （x，y，z） (2, 2,1) 0，（x，y，z） (4,5,3) 0,
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3z 0 y 1
定直线l的位置，还可 以具体表示出l上的任 意一点P。
平面
a O b
●
P
OP xa yb ( x、y R )
点O和 a、b 不仅可以确定平面
的位置，还可以具体表示出 内的任 意一点P。
法向量：若 a ，则 a 叫做平面
的法向量。
平面 的法向量为(1,1/2,2),
且 l // ，则m= .
例3、一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
l
m
a b
l // m a // b a b
a
u
l

l // a u a u 0
平面
a
●

A
过点A，以 a 为法向量
的平面是完全确定的
例1：已知两点（ A 1， - 2， 3），（ B 2， 1， - 3），求A，B连线与 三坐标平面的交点。
分析： 设AB连线与yoz平面的交点为C （0，y1，z1）， 由OC （ 1 t） OA tOB得
设平面 ， 的法向量分别 练习2： 为 u， v ，根据下列条件判 断 ， 的位置关系：
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v (2,4,4) (3)u (2,3,5), v (3,1,4)
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
思考1：
1、如何确定一个点在空间的位置？
2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），
能确定一条直线在空间的位置吗？
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z )
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
3、给一个定点和两个定方向（向量），
能确定一个平面在空间的位置吗？
4、给一个定点和一个定方向（向量），
能确定一个平面在空间的位置吗？
一、点、直线、平面的位置的向量表示
点
●
P
空间中任意一点P的
O 基点
●
位置可用向量 OP 表示
直线
l
a
●
●
P
A
AP a ( R ) 点A和 a 不仅可以确
点击
点击
点击
设直线l，m的方向向量分别为 ，b ， a 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
探究3：夹角 (0 )
2 |ab | ， cos 线线夹角 l , m的夹角为 | a || b | 点击 |au| ， sin 线面夹角 l , 的夹角为 | a || u | 点击 | uv | 面面夹角 , 的夹角为 ， cos | u || v | 点击



| uv | , 的夹角为 ， cos | u || v |
u

v


| uv | cos , 的夹角为 ， | u || v |
（0，y1，z1）（ 1 t） (1, -2,3) t (2,1, -3) （0，y1，z1） (1 t， - 2 3t， 3 - 6t） OC （0， 5， 9）
5 1 7 1 （ ，，）， 0 ( , , 0) 3 3 4 4
例2：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。
(3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
二、线线、线面、面面间的位置关系与向 量运算的关系
设直线l，m的方向向量分别为 ，b ， a 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
线线平行 l // m a // b a b 线面平行 l // a u a u 0 面面平行 // u // v u v
练习3：
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),
平面 的法向量为(-2,-4,k), 若 // ，则 k= 若 , 则 k= ； 。
2、已知 l ，且 l 的方向向量为(2,m,1)， 平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= 3、若 l 的方向向量为(2,1,m), .

三、简单应用
设直线l，m的方向向量分别 练习1： 为a， b ，根据下列条件判断 l，m的位置关系：
(1)a ( 2,1,2), b (6,3,6) ( 2)a (1,2,2), b ( 2,3,2) ( 3)a (0,0,1), b (0,0,3)
探究1：平行关系
点击
点击
点击
设直线l，m的方向向量分别为 ，b ， a 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
探究2：垂直关系
线线垂直 l m a b a b 0 线面垂直 l a // u a u 面面垂直 u v u v 0