直线与圆锥曲线的交点(直线与椭圆的位置关系)高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

切点为点 P，则点 P 到直线 l 的距离 d 最小；
平行线 m 与 l 之间的距离等于 d；
设直线 m 的关系式为： y x c ( c ＞0)
m
P
x
o
解析：作直线 m ∥ l ，且与椭圆 E 相切，切点为点 P，则点
P 到直线 l 的距离 d 最小；平行线 m 与 l 之间的距离等于 d；
所以 d
3 5 5
2
10
x2
2

y
1 上点 P 的坐标为（2 cos , sin )
解法二：设椭圆 4
则点 P 到直线 x y 3 5 0 的距离
d
2 cos sin 3 5
2
其中 cos

5 cos( ) 3 5
2
2 5
5
, sin
.
x1－2x2－2
x2 2
将 y＝k(x－1)代入 ＋y ＝1 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
2
2k2－2
4k2
所以，x1＋x2＝ 2
，x1x2＝ 2
.
2k ＋1
2k ＋1
4k3－4k－12k3＋8k3＋4k
则 2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝
＝0，
2
2k ＋1
从而 kMA＋kMB＝0，故 MA，MB 的倾斜角互补，
5
5
1 cos( ) 1
当 cos( ) 1时， d取得最小值 10
x2
2

y
1 上的点到直线 x y 3 5 0 的距离
即椭圆 4
的最小值为 10 .
x2 y2
3.已知椭圆 C： 2 ＋ 2＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为
直线与椭圆的位置关系
基 础
相切
一个公共点
知识回顾
相交
两个公共点
相离
没有公共点
直线与椭圆的位置关系
y＝kx＋m
联立x2 y2
得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2
a2＋b2＝1，
＝0，设一元二次方程的判别式为 Δ，则
方程组有两个不同的根⇔Δ>0⇔有 两个 公共点⇔相交；
A
D．不确定
思路分析：方法一（代数法）联立方程组，消去
y得到x的二次方程，用△判断；
方法二（几何法）画图，由特殊点的位置来确定
直线与椭圆的位置关系。
)
2
x
2
y 1
2.求椭圆 E： 4
上的点到直线 l: x y 3 5 0 最
小距离是多少？
y
l
思路导引：作直线 m∥ l 且与椭圆 E 相切，
y xm
解析：联立
2
x
y2 1
4
2
2
5
x

8
mx

4
m
4 0
得
则△= 64 m 2 20 (4m 2 4) 16 (5 m 2 )
（1）直线l与椭圆E相交，则△＞0得 5 m
5
（2）直线l与椭圆E相切，则△=0得 m 5
(3)直线l与椭圆E相离,则△＜0得 m 5或m 5
a b
2
2 ，直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.
(1)求椭圆 C 的方程；
10
(2)当△AMN 的面积 3 为时，求 k 的值．
[思路引导] （1）待定系数法求椭圆 C 的方程（2）(方
法一）联立方程组得根与系数的关系→用 k 表示弦长|MN|及
点 A 与直线的距离→由 S△AMN＝
则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
2k2－4
4k2
x1＋x2＝
，x1x2＝
，
2
2
1＋2k
1＋2k
所以|MN|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
2 1＋k24＋6k2
＝
.
2
1＋2k
|k|
又点 A(2,0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝
，
2
1＋k
|k| 4＋6k2
32 8
2
2
AB 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 2

25 5
又点 O（0,0）到直线的距离 d
1
2 6
所以 SAOB AB d
2
5
6
2
y
A
O
x
B
突破
自我挑战
x2 y2
1．直线 y＝2x－1 与椭圆 ＋ ＝1 的位置关系是(
9 4
A．相交
B．相切
C．相离
求面积和
10
求得 k.（方法二）拆分法
3
[解]

a＝2，
c
2
(1)由题意得 ＝ ，
a 2
2
2
2

a ＝b ＋c ，
x2 y2
得 b＝ 2，所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1.
y＝kx－1，
2
2
(2)由 x ＋y ＝1，
4 2
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，
设 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1< 2，x2< 2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA＋kMB
y1
y2
＝
＋
，
x1－2 x2－2
由 y1＝kx1－k，y2＝kx2－k 得 kMA＋kMB＝
2kx1x2－3kx1＋x2＋4k

由已知可得，点 A 的坐标为1，

2
2
或1，－ .
2
2
2
2
所以 AM 的方程为 y＝－ 2 x＋ 2或 y＝ 2 x－ 2.
(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当 l 与 x 轴垂直时，直线 OM 为 AB 的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.
所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
升华
归纳总结
直线与椭圆的位置关系：
1.相切——求直线方程或椭圆方程
2.相交——求弦长及弦长的相关问题
3.相离——求椭圆上的点到直线的距离的最值
思考
课后训练
x2 y2
1.若直线 y＝kx＋1 与椭圆 ＋ ＝1 总有公共点，
则 m 的取值范围
5 m
是(
)
A．m>1
B．m>0
C．0<m<5 且 m≠1
设直线 m 的关系式为： y x c ( c ＞0)
x2
2
2
2
y

x

c
代入

y

1
5
x

8
cx

4
c
4 0
把
得
4
2
16
(
5

c
)0
∵△=
∴ c 5 （ c ＞0）
当 c 5 时，直线 m 的方程为 x y 5 0
而直线 l 的方程为 x y 3 5 0
（4）当 m 3 时，直线 l 与椭圆 E 相交于 A﹑B 两点，若点 O 是
坐标原点，则△AOB 的面积是多少？
y x 3
由
得 5 x 8 3x 8 0
x
2
y 1
4
2
2
8 3
8
设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则 x1 x2
，x1 x2
5
5
D．m≥1 且 m≠5
2.已知椭圆的焦点在 x
轴上，离心率 e
3
2
，若椭
16 2
y

x

2
圆截直线
所得线段 AB 的长为 5 ，求椭
圆的方程。
x2
y2 1
3.设椭圆 C： 2
的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交
于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0)．
(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；
1
所 以 △ AMN 的 面 积 S ＝ 2 |MN|·
d＝
，由
1＋2k2
|k| 4＋6k2
10
＝ 3 ，得 k＝±1.
1＋2k2
10
所以当△AMN 的面积为 3 时，k＝±1.
拓展延伸：在其他条件不变的情况下，

时”改

将（2）问中“∆的面积为
为“∆的面积最大时”，求k的值。
答案提示：当 不存在时， 最大 =
(2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
[思路引导] (1)解出点 A，B 的坐标→求出直线 AM 的方程．
(2)设出直线方程及 A，B 的坐标→联立方程得根与系数
的关系→直线 MA、MB 的斜率之和为 0→∠OMA＝∠OMB.
[解] (1)由已知得 F(1,0)，l 的方程为 x＝1，
方程组有且有一个根⇔Δ＝0⇔有 一个 公共点⇔相切；
方程组没有根⇔Δ<0⇔ 没有 公共点⇔相离．
弦长公式
设 AB 为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的
2
2
2
AB

1

k
x

x

(
1

k
)
(
x

x
)
4 x1 x2
1
2
1
2
斜率为 k，则
1
1
AB 1
y y 1 2 ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
1 2
2
k
k
(k 为直线 AB 斜率)
核 心
考点突破
x2 2
例:已知直线 l : y x m ,椭圆 E: 4 y 1 .试问当
m 取何值时，
直线 l 与椭圆 E：
（1）有两个不重合的公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点.
思路引导：先联立直线和椭圆方程→消去y得到关
于x的一元二次方程→利用△判断。