中考数学 课外提升作业 中档题突破 专项训练二 实际应用与方案设计

解：(1)设 A 商品的进货单价为 x 元，B 商品的进货单价为 y 元， 3x＋2y＝1 100， x＝200，
根据题意，得5x＋3y＝1 750，解得y＝250， 答：A 商品的进货单价为 200 元，B 商品的进货单价为 250 元．
(2)①设运往甲地的 A 商品为 x 件，则设运往乙地的 A 商品为(200－x)件， 运往甲地的 B 商品为(240－x)件，运往乙地的 B 商品为(60＋x)件， 则 y＝20x＋25(200－x)＋15(240－x)＋24(60＋x)＝4x＋10 040， ∴y 与 x 的函数解析式为 y＝4x＋10 040. ②投资总费用 w＝200×200＋300×250＋y＝4x＋125 040. 自变量的取值范围是 0≤x≤200， ∵k＝4＞0， ∴w 随 x 增大而增大． 当 x＝0 时，w 取得最小值，w 最小＝125 040 元， ∴最佳调运方案为：调运 240 件 B 商品到甲地，调运 200 件 A 商品、60 件 B 商品到乙地，最小费用为 125 040 元．
解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b(k≠0)，
840＝160k＋b， 依题意得960＝190k＋b，
k＝4， 解得b＝200， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝4x＋200.
(2)设老张明年种植该作物的总利润为 W 元， 依题意得：W＝[2 160－(4x＋200)＋120]·x＝－4x2＋2 080x ＝－4(x－260)2＋270 400， ∵－4＜0， ∴当 x＜260 时，W 随 x 的增大而增大， 由题意知：x≤240， ∴当 x＝240 时，W 最大，最大值为 －4(240－260)2＋270 400＝268 800(元)， 答：种植面积为 240 亩时总利润最大，最大利润 268 800 元．
解：(1)设 A 种茶叶每盒进价为 x 元，则 B 种茶叶每盒进价为 1.4x 元， 依题意，得81.440x0－4 x000＝10， 解得 x＝200， 经检验，x＝200 是原方程的解，且符合题意， ∴1.4x＝280. 答：A 种茶叶每盒进价为 200 元，B 种茶叶每盒进价为 280 元．
考向 2：购买、分配、费用最小问题 3．(2021·黔东南州)黔东南州某销售公司准备购进 A，B 两种商品，已 知购进 3 件 A 商品和 2 件 B 商品，需要 1 100 元；购进 5 件 A 商品和 3 件 B 商品，需要 1 750 元． (1)求 A，B 两种商品的进货单价分别是多少元？
(2)若放养 x 天后一次性销售，2 000 只的销售总额为 197 500 元，求 x 的值； (3)该商家在第几天一次性销售，2 000 只能获得最大利润，最大利润是 多少元？
解： (1)①∵计划售价定为每只 80 元，每天每只上涨 1 元，x 天后每只 上涨 x 元， ∴x 天后每只大闸蟹的市场价为(80＋x)元， 故答案为：80＋x. ②平均每天有 10 只大闸蟹死去，则 x 天后死去的大闸蟹共有 10x 只，做 成骨粉饲料的大闸蟹销售总额为 50x 元，故答案为：10x，50x.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式(不求自变量的取值范围)； (2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过 240 亩．若老张明 年销售该作物每亩的销售额能达到 2 160 元，当种植面积为多少时，老 张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝ 每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)
(2)设第二次购进 A 种茶叶 m 盒，则购进 B 种茶叶(100－m)盒，
m
m
100－m
依题意，得(300－200)×2＋(300×0.7－200)×2＋(400－280)× 2
100－m ＋(400×0.7－280)× 2 ＝5 800，解得 m＝40，
∴100－m＝60.
答：第二次购进 A 种茶叶 40 盒，B 种茶叶 60 盒．
类型二：函数的实际应用 考向 1：利润最大问题 1．( 2021·鄂州)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府 大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴 120 元．张远村 老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明 年每亩土地种植该作物的成本 y(元)与种植面积 x(亩)之间满足一次函数 关系，且当 x＝160 时，y＝840；当 x＝190 时，y＝960.
2．(2021·硚口区模拟)某商家用 50 元/只的进价购回 2 000 只阳澄湖大 闸蟹，放养在池塘内，计划售价定为每只 80 元，经市场调查发现，此后 该大闸蟹的市场价每天每只可上涨 1 元，但是平均每天有 10 只大闸蟹死 去，死去的大闸蟹均于当天以 5 元/只的价格全部售给饲料厂做成骨粉饲 料． (1)用含 x 的代数式填空： ①x 天后每只大闸蟹的市场价为______元； ②x 天后死去的大闸蟹共有______只，做成骨粉饲料的大闸蟹销售总额为 ________元；
(2)若该公司购进 A 商品 200 件，B 商品 300 件，准备把这些商品全部运 往甲、乙两地销售．已知每件 A 商品运往甲、乙两地的运费分别为 20 元 和 25 元；每件 B 商品运往甲、乙两地的运费分别为 15 元和 24 元．若运 往甲地的商品共 240 件，运往乙地的商品共 260 件． ①设运往甲地的 A 商品为 x(件)，投资总运费为 y(元)，请写出 y 与 x 的 函数解析式； ②怎样调运 A，B 两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？(投 资总费用＝购进商品的费用＋运费)
专项训练二 实际应用与 方案设计
类型一：方程(组)、不等式的实际应用 考向 1：购买、分配问题 1．(2020·泰安)中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力 的茶文化.2020 年 5 月 21 日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国 际茶日在中国召开．某茶店用 4 000 元购进了 A 种茶叶若干盒，用 8 400 元购进 B 种茶叶若干盒，所购 B 种茶叶比 A 种茶叶多 10 盒，且 B 种茶叶 每盒进价是 A 种茶叶每盒进价的 1.4 倍．
考向 3： 决策判断、方案问题 5．( 2021·连云港)为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已 知 2 瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B 型消毒液共需 41 元，5 瓶 A 型消毒液和 2 瓶 B 型消毒液共需 53 元． (1)这两种消毒液的单价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的数量不少于 A
4．(2021·贺兰县模拟)云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资
260 吨从该市区运往该县甲、乙两地，若用大、小两种货车共 20 辆，恰
好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和
10 吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
车型运往地 甲地(元/辆) 乙地(元/辆)
大货车
解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电 m 度，B 焚烧炉发电 n 度，
m－n＝50，
m＝300，
根据题意得100(m＋n)＝55 000，解得n＝250，
答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电 300 度，B 焚烧炉发电 250 度．
(2)改进工艺后每焚烧一吨垃圾 A 焚烧炉发电 300(1＋a%)度，B 焚烧炉发 电 250(1＋2a%)度，依题意有 100×300(1＋a%)＋100×250(1＋2a%)≥55 000×[1＋(5＋a)%]， 整理得 5a≥55，解得 a≥11， ∴a 的最小值为 11.
720
800
小货车
500
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
650
(1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货 车为 a 辆，前往甲、乙两地的总运费为 w 元，求出 w 与 a 的函数关系式(写 出自变量的取值范围)； (3)在(2)的条件下，若运往甲地的物资不少于 132 吨，请你设计出使总 运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
解：(1)设大货车用 x 辆，则小货车用(20－x)辆，根据题意，得 16x＋10(20－x)＝260，解得 x＝10， 则 20－x＝10. 答：大货车用 10 辆，小货车用 10 辆．
(2)由题意，得 w＝720a＋800(10－a)＋500(9－a)＋650[10－(9－a)] ＝70a＋13 150， 则 w＝70a＋13 150(0≤a≤9 且 a 为整数)．
考向 2：工程、行程问题 2．(2021·玉林)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有 A，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为 100 吨，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比 B 焚烧炉多发电 50 度，A，B 焚烧炉每天共发电 55 000 度． (1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉各发电多少度？ (2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉的发电量分别增加 a%和 2a%，则 A，B 焚烧炉每天共发电至少增 加(5＋a)%，求 a 的最小值．
(1)A，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？ (2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 A，B 两种茶叶共 100 盒(进 价不变)，A 种茶叶的售价是每盒 300 元，B 种茶叶的售价是每盒 400 元．两 种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部 售出后，第二次所购茶叶的利润为 5 800 元(不考虑其他因素)，求本次 购进 A，B 两种茶叶各多少盒？
解：(1)设小刚跑步的平均速度为 x 米/分钟，则小刚骑自行车的平均速
度为 1.6x 米/分钟．
1 800
1 800
根据题意，得 1.6x ＋4.5＝ x ，解得 x＝150，经检验，x＝150 是原
方程的解，
所以小刚跑步的平均速度为 150 米/分钟．
(2)由(1)得小刚跑步的平均速度为 150 米/分钟， 则小刚跑步所用的时间为 1 800÷150＝12(分钟)，骑自行车所用的时间 为 12－4.5＝7.5(分钟)， ∵在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，∴小刚从开始跑步回家到赶 回学校需要 12＋7.5＋3＝22.5(分钟)． ∵22.5>20，∴小刚不能在上课前赶回学校．
(2)由题意得： (80＋x)(2 000－10x)＋50x＝197 500， 整理，得 x2－125x＋3 750＝0， 解得 x1＝50，x2＝75.
(3)设该商家在第 x 天一次性销售，可获得的利润为 w，由题意得： w＝(80＋x)(2 000－10x)＋50x－50×2 000＝－10x2＋1 250x＋60 000， ∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
(3)由 16a＋10(9－a)≥132，解得 a≥7， 又∵0≤a≤9， ∴7≤a≤9 且 a 为整数． ∵w＝70a＋13 150，k＝70＞0，w 随 a 的增大而增大， ∴当 a＝7 时，w 最小，最小值为 w＝13 640. 答：使总运费最少的调配方案是：7 辆大货车、2 辆小货车前往甲地；3 辆大货车、8 辆小货车前往乙地．最少运费为 13 640 元．
1 250 ∴当 x＝－2×(－10)＝62.5， 又∵x 为整数， ∴当 x＝62 或 x＝63 时，2 000 只能获得最大利润， 最大利润 w＝－10×622＋1 250×62＋60 000＝99 060. 答：该商家在第 62 或 63 天一次性销售，2 000 只能获得最大利润，最大 利润是 99 060 元．
3．(2021·包头)小刚家到学校的距离是 1 800 米．某天早上，小刚到学 校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有 20 分钟，于是他立即按原路 跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车 时间比跑步时间少用了 4.5 分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均 速度的 1.6 倍． (1)求小刚跑步的平均速度； (2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，他能否在上课前赶 回学校？请说明理由．